高校数学 - 数列 - きのむくままに

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第7回は数列です。この先学習する微積などの基礎に当たる部分ですね。極限を理解するにも数列の理解は必須です。がんばるぞぃ!

数学を勉強し始めてはじめて $\Sigma$ がでてくる単元です。 $\Sigma$ の記号って、わくわくしませんでした?また漸化式と数学的帰納法が登場します。漸化式は未来を決める式ですね(嘘)。すっかり忘れていたのはナイショの話。

教材

新編数学B 平成26年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: 啓林館
発行日: 2013-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-04576-6
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第1章数列
第1節等差数列・等比数列
1. 数列とその項
2. 等差数列
3. 等比数列
第2節いろいろな数列
1. 和の記号Σ
2. 数列の和と一般項
第3節漸化式と数学的帰納法
1. 漸化式
2. 数学的帰納法

数列

等差数列・等比数列

数列とその項

数列 ( numerical sequence )、項 ( term )

数を1列に並べたものを数列、数列の各数を項という。

第 $n$ 項、初項 ( first term )、末項 ( last term )、項数

数列を一般的に表すには
$a_1,a_2,a_3,a_4,\cdots,a_n,\cdots$
のように書く。このとき、各項を以下のようにいう。
$a_1 第1項\\ a_2 第2項\\ \vdots\\ a_n 第n項\\$
特に第1項を初項、有限数列では最後の項を末項、後の個数を項数という。

一般項 ( general term )

数列の第 $n$ 項が $n$ の式で表されるとき $a_n$ を一般項という。

数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$ を $\lbrace a_n\rbrace$ と書く。また数列を一般項で代表させて表すこともある。

有限数列 (finite sequence)、無限数列 ( infinite sequence )

項数が有限の数列を有限数列、無限の数列を無限数列という。

等差数列

等差数列 ( sequence of numbers with common difference, arithmetic progression, arithmetic sequence ) 、公差 ( common difference )

一般に、初稿に一定の数 $d$ を次々に加えていってできる数列を等差数列といい、 $d$ を交差という。

等差数列の一般項

初項 $a$ 、公差 $d$ の等差数列の一般項 $a_n$ は
$a_n = a + (n-1)d$

等差数列における3つの項の間の関係

3つの数があるとき
$a, b, cがこの順で等差数列のとき \iff 2b=a+c$

等差数列の和 ( arithmetic series )

初項 $a$ 、項数 $n$ の等差数列の和 $S_n$ は
1. 末項を $l$ とすると
$S_n=\frac{1}{2}n(a+l)$
2. 公差を $d$ とすると
$S_n=\frac{1}{2}n\lbrace2 a+(n-1)d\rbrace$

等比数列

等比数列 ( geometric progression, geometric sequence )、公比 ( common ratio )

一般に、初稿に一定の数rを次々にかけていってできる数列を等比数列といい、rを公比という。

等比数列の一般項

初項 $a$ 、公比 $r$ の等差数列の一般項 $a_n$ は
$a_n = ar^{n-1}$

等比数列における3つの項の間の関係

0でない3つの数があるとき
$a, b, cがこの順で等差数列のとき \iff b^2=ac$

等比数列の和 ( geometric series )

初項 $a$ 、公比 $r$ 、項数 $n$ の等比数列の和 $S_n$ は
$\begin{eqnarray*} r\neq1のときS_n&=&\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\\ r=1のときS_n&=&na \end{eqnarray*}$

いろいろな数列

和の記号

数列の和を表すのに記号 $\displaystyle\sum$ を使って次のように書く。

$\sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$

$a_k$ は数列 $\lbrace a_n\rbrace$ の一般項を表し、 $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ は $k$ が $1,2,3,\cdots,n$ と変わるときの $a_k$ をすべて加えることを表す記号である。

和の公式

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n 1&=&n \\ \sum_{k=1}^n k&=&\frac{1}{2}n(n+1) \\ \sum_{k=1}^n k^2&=&\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ \end{eqnarray*}$

$\sum$ の性質

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)&=&\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=1}^n b_k\\ \sum_{k=1}^n ca_k&=&c\sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$

数列の和と一般項

階差数列

階差数列 ( progression of differences, sequence of differences )

数列 $\lbrace a_n\rbrace$ に対して各項からすぐ前の項を引いた差 $b_n=a_{n+1}-a_n$ を項とする数列 $\lbrace b_n \rbrace$ を数列 $\lbrace a_n\rbrace$ の階差数列という。

階差数列と一般項

数列 $\lbrace a_n\rbrace$ の階差数列を $\lbrace b_n\rbrace$ とすると、 $n\ge 2$ のとき
$\begin{eqnarray*} a_n&=&a_1+b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}\\ &=&a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k \end{eqnarray*}$

数列の和と一般項

数列 $\lbrace a_n\rbrace$ の初項から第 $n$ 項までの和を $\lbrace S_n\rbrace$ とする。 $n\ge2$ のとき
$\begin{eqnarray*} S_n&=&a_1+a_1+\cdots+a_{n-1}+a_n\\ S_{n-1}&=&a_1+a_1+\cdots+a_{n-1} \end{eqnarray*}$
よって、 $S_n-S_{n-1}=a_n$
また、 $S_1=a_1$ であることを考えると
$\begin{eqnarray*} a_1&=&S_1\\ a_n&=&S_n-S_{n-1} (n\ge2) \end{eqnarray*}$

いろいろな数列の和

練習問題とその解法。略す。

漸化式・数学的帰納法

漸化式

漸化式 ( recurrence relation )

等比数列
$3, 6, 12, 24, 48, \cdots \tag{1}$
は初項 $3$ 、公比 $2$ を次々にかけて得られる数列。 $(1)$ の第 $n$ 項を $a_n$ 、第 $n+1$ 項を $a_{n+1}$ とすると
$\begin{eqnarray*} &(I)& a_1=3\\ &(II)& a_{n+1}=2a_n (n=1, 2, 3, \cdots) \end{eqnarray*}$
である。

一般に数列 $\lbrace a_n\rbrace$ は
I. 初項 $a_1$ の値
II. $a_n$ から $a_{n+1}$ を作る手続き
が与えられると決まる。II.において手続きを表す式を漸化式という。

漸化式から一般項の決定 - 漸化式を解く - 明示的な式 ( explicit formula )

一般に、 $p,q$ が定数で、 $p\neq0, 1$ のとき、漸化式が
$a_{n+1} = pa_n+q \tag{1}$
で表される数列 $\lbrace a_n\rbrace$ について
$a_{n+1}-c=p(a_n-c) \tag{2}$
となるcを見つけることができれば、数列 $\lbrace a_n-c\rbrace$ は初項 $\lbrace a_1-c\rbrace$ 、公比 $p$ の等比数列となり、その一般項を求めることができる。これを利用して $\lbrace a_n\rbrace$ の一般項を求めることができる。

この $c$ を求めるには式 $(1)$ を式 $(2)$ に代入した方程式
$pa_n+q-c=p(a_n-c)$
をとけば良い。よって
$c=pc+q$
となる。これは漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ において $a_{n+1},a_n$ を $c$ で置き換えてできる方程式となっている。

数学的帰納法

数学的帰納法 ( mathematical induction )

自然数 $n$ を含んだ事柄が、すべての自然数 $n$ について成り立つことを証明するには次のことを示せばよい。
(I) $n=1$ のときなりたつ。
(II) $n=k$ の時成り立つと仮定すると $n=k+1$ のときにも成り立つ。

例
問:
$n$ が自然数の時、 $4^n-1$ は $3$ の倍数であることを数学的帰納法で証明せよ。
解:
[証明]
(I) $n=1$ のとき、 $4^1-1=3$ であるから、 $4^n-1$ は $3$ の倍数である。
(II) $n=k$ のとき、 $4^n-1$ は $3$ の倍数であると仮定すると、自然数 $m$ を用いて
$4^k-1=3mより4^k=3m+1\\$
$n=k+1$ のとき
$\begin{eqnarray*} 4^{k+1}-1&=&4\cdot 4^k-1\\ &=&4(3m+1)-1\\ &=&12m+3\\ &=&3(4m+1) \end{eqnarray*}$
$4m+1$ は自然数であるから、 $3(4m+1)$ は $3$ の倍数である。よって $4^{k+1}-1$ は $3$ の倍数である。
(I),(II)よりすべての自然数 $n$ について $4^n-1$ は3の倍数である。
$\tag*{$\blacksquare$}$

数学的帰納法による等式の証明

略す。

数学的帰納法による不等式の証明

略す。

参考サイト

\qed for MathJax here on stackexchange - Mathematics Meta Stack Exchange
MathJaxでQ.E.Dの記号を書く方法。