数学入門 - 数学がわかる - きのむくままに

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。ポイントだけを残していきます。

今回は数学全般の入門です。テキストとして、お世話になっているFirst Bookシリーズの「数学がわかる：書籍案内｜技術評論社」を読んでみました。代数学の初歩とかの話題を期待していたんですけど、読んでみると高校レベルの数学を学生さんが興味を持てるように解説してくれている本でした。高校生にはちょっと先取りな話もちょこちょこあったりして、なかなか読み応えがあると思います。

私にとってはちょっと目的と違っていましたが、せっかく読んだので学んだところは記載し、その他はキーワードをあげ、ログとしたいと思います。ブロクだけに。(いえ、ねたじゃないです)

教材

First Book 数学がわかる

著者: 山田研也
出版社: 技術評論社
発行日: 2008-1-11
ISBN: ISBN978-4-7741-3333-1
価格: C3041 ￥1780E
書籍サイト: 数学がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)

学習範囲
第1章解けない方程式なんてない! → 数と方程式
第2章複雑な計算を解くための武器を手に入れろ! → いろいろな方程式
第3章美しい図形の話! → 図形と方程式
第4章並んだ数の性質を見抜く! → 数列
第5章矢印を移動して図形を考える! → ベクトル
第6章「極限」まで努力することが大事! → 微分・積分
第7章試せば予想できる! → 確率

第1章解けない方程式なんてない! → 数と方程式

1-1 式と計算

数学に文字を導入する理由
交換法則、結合法則、分配法則
展開公式
分数式
因数分解

1-2 因数分解

素因数分解、因数分解
展開公式を利用した因数分解
立方の和、差
因数定理の活用
複2次式

1-3 方程式

恒等式と方程式
2次方程式の解法
解の公式

1-4 複素数、高次方程式

有理数、無理数、虚数
複素数の四則演算
共益な複素数
負の数の平方根
高次方程式の解き方
代数学の基本定理 (ガウスの定理)
n次方程式は複素数の範囲内でn個の解を持つ。

第2章複雑な計算を解くための武器を手に入れろ! → いろいろな方程式

2-1 2次関数のグラフ

関数とは
2次関数
2次関数のグラフの平行移動
平方完成
放物線

2-2 三角比・三角関数

正弦・余弦・正接の意味
三角比・特殊な角度の三角比の値
三角比の拡張
三角関数
動径、始線、一般角

2-3 指数関数

10進数
指数法則
累乗根、有理数の指数
0、負の数の指数
指数関数のグラフとその性質

2-4 対数関数

対数
対数の性質

第3章美しい図形の話! → 図形と方程式

3-1 三角形の五心

垂直二等分線の性質
三角形の合同条件
外心、外接円
チェバの定理
重心、内心、垂心 (チェバの定理による証明)
傍心
外心、重心、垂心の関係

3-2 正弦定理、余弦定理

正弦定理
余弦定理
三角測量 (正弦定理の応用)

3-3 図形と方程式

中線定理
座標
解析幾何学、初等幾何学(ユークリッド幾何学)
既に証明されている定理を活用したり補助線をひいたりしながら図形の性質を明らかにする幾何学を初等幾何学(ユークリッド幾何学)という。座標を導入して図形の性質を明らかにする幾何学を解析幾何学という。
軌跡
図形と方程式
円の方程式

第4章並んだ数の性質を見抜く! → 数列

4-1 等差数列、等比数列

数列、項、初項、一般項
等差数列、公差
等比数列、公比
等差数列の和
等比数列の和

4-2 数列の和

数列の和 $\sum$
$\sum$ の性質
平方数の和

4-3 数学的帰納法

基本方針

第5章矢印を移動して図形を考える! → ベクトル

5-1 ベクトル

向きと大きさ
有向量
位置を問題にしない有向量
ベクトルの加法、減法、実数倍
ベクトルの分解
中点連結定理のベクトルを使った証明

5-2 ベクトルの内積

積の定義
交換法則、分配法則、結合法則
正射影ベクトル

5-3 数ベクトル、内積と成分

幾何ベクトル、数ベクトル
成分表示、成分、基底ベクトル
一次結合
数ベクトルの加法、減法、実数倍
基本ベクトル
成分による内積の計算
ベクトルのなす角

第6章「極限」まで努力することが大事! → 微分・積分

6-1 微分法

平均速度と瞬間速度
極限 $\lim$
極限値
微分係数
導関数
微分する

6-2 導関数とその応用

最大値
微分係数の図形的意味
$x^n$ の導関数の導出
導関数の性質
増減表とグラフ
単調に増加、単調に減少、極大値、極小値

6-3 積分法(1)

区分求積法

6-4 積分法(2)

定積分
下端、上端、被積分関数
定積分の基本性質

6-5 微分積分学の基本定理

微分積分学の基本定理の証明
微分積分学の基本定理の導出

第7章試せば予想できる! → 確率

7-1 確率、順列

確率
場合の数
試行、事象
樹形図
積の法則
和の法則
並び方の総数、順列
自分中心主義

7-2 組み合わせ、反復試行

独立な事象の確率
順序を気にしない取り出し方
反復試行の確率

7-3 期待値

確率変数
期待値
数学的確率
大数の法則 (ベルヌーイ)