線形代数入門 書籍 線形代数がわかる(1) ベクトルとスカラー

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。ポイントだけを残していきます。

今回から大学で学ぶ数学をやっていきます。まずは高校数学にも行列として登場していた線形代数から始めたいと思います。私の時代にはきっちり行列の演算があったんですが、いまは発展的な数学のなかで教えられているようです。学校によっては理系でも学習していないことがあるみたいですね。って年がバレるね(笑

大学での教科書は理論と計算がバリバリですが、意味的なことを吸収するのは自分で考える必要がありました。なかなか楽しかったですが、遅々として進まないことも往々にしてありました。今回の学習のために教科書として選んだこの書籍、線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)ですが、すごく難しい内容をとってもわかりやすく解説してくれています。要所要所にキーワードがうめこまれてて、インターネットで調べながら勉強すると、すごく簡単に今まで疑問だったことが理解できるようになってきました。この書籍を選んで本当によかったと思います。いい時代になりました。

私の記事では要点しか書いていませんので、読んでも「ふーん」って感じなんですが、もし線形代数が苦手な人はぜひこの書籍を手にとって読んでみてください。今までの理解を総整理でき、また目からウロコなことがたくさんあって、数学にとても親しみが持てるようになると思います。人生が豊かになること請け合いです(謎

さて、今回は「プロローグ」と「第1章 ベクトルとスカラー」です。この書籍では、高校生でも理解できるよう配慮されています。安心して取り組みましょう。

• • • 教材
    • プロローグ
    • 第1章 ベクトルとスカラー
      • 1-1 ベクトルのすみか
      • 1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差
      • 1-3 基底ベクトル
      • 1-4 内積
      • 1-5 外積
    • 参考サイト

教材

• First Book 線形代数がわかる
  
  著者: 中村厚、戸田晃一
  出版社: 技術評論社
  発行日: 2010-9-25
  ISBN: ISBN978-4-7741-4346-0
  価格: C3041 ￥1780E
  書籍サイト: 線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)
  
  学習範囲 (太文字の章節がこの記事の対象)
  序章 プロローグ
  ベクトルとは
  線形代数の意味
  行列と行列式
  物理と線形代数
  第1章 ベクトルとスカラー
  1-1 ベクトルのすみか
  1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差
  1-3 基底ベクトル
  1-4 内積
  1-5 外積
  第2章 行列と連立一次方程式
  2-1 行列とその演算
  2-2 連立一次方程式とガウスの消去法
  2-3 逆行列
  2-4 逆行列がない!
  第3章 行列式とその応用
  3-1 行列式って何?
  3-2 行列式の仕組み
  第4章 行列の特性を引き出す
  4-1 固有値と固有ベクトル
  4-2 対角化とは

プロローグ

• ベクトル
  「大きさあるいは強さ」と「方向」を持った値。

第1章 ベクトルとスカラー

1-1 ベクトルのすみか

• 次元
  ベクトルの「すみか」の広がる方向の数。

• ベクトルの成分表示

$$\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right)$$

1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差

• スカラー量、スカラー
  成分を持たない量のこと。
  
  例) 二次元ベクトル$\boldsymbol{ a }$をスカラー倍(例では$2$倍)する。
  $$\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \boldsymbol{ b } = 2\boldsymbol{ a }= \left( \begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ \end{array} \right) \\ $$

• ベクトルの和、ベクトルの平行移動
  $$\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v } = \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \end{array} \right)$$
  平行四辺形の対角線となる。

• ベクトルの交換法則、結合法則、分配法則
  交換法則 $\quad \boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v } = \boldsymbol{ v } + \boldsymbol{ u }$
  結合法則 $\quad (\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v }) + \boldsymbol{ w } = \boldsymbol{ v } + (\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ w })$
  分配法則 $\quad k(\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v }) = k\boldsymbol{ v } + k\boldsymbol{ u }$

• ベクトルの差
  $-1$倍して加えたものと考えることができる。平行四辺形の対角線となる。

1-3 基底ベクトル

• 平面の正規直交基底
  $\boldsymbol{ e_1 } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ e_2 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$を用いて任意の平面ベクトル$\boldsymbol{ v } = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)$は、以下のように表される。
  $$\boldsymbol{ v } = a \boldsymbol{ e_1 } + b \boldsymbol{ e_2 }$$

• 空間の正規直交基底
  $\boldsymbol{ e_1 } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ e_2 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ e_3 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$を用いて任意の平面ベクトル$\boldsymbol{ V } = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right)$は、以下のように表される。
  $$\boldsymbol{ V } = a \boldsymbol{ e_1 } + b \boldsymbol{ e_2 } + c \boldsymbol{ e_3 }$$

• 独立
  あるベクトルが、もう一方のベクトルの単なるスカラー倍でかけないとき、これらは独立であるという。

• 基底
  互いに独立で、任意のベクトルがそれらの線形結合で表されるベクトルの組のこと。

• 正規直交基底
  上記$\{e_1, e_2\}$などを指す。

1-4 内積

ここでは結論のみ記す。書籍では内積を幾何的に丁寧に求めている。

• 内積の意味
  2つのベクトルからスカラーを作成する操作。「どの方向から見ても変わらない量を取り出す=回転に対して不変な」操作と考える。

• スカラー
  回転に対して不変な量。

• 平面ベクトルの内積
  平面ベクトル$\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ b } = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \end{array} \right)$の内積を次のように定義する。
  $$\boldsymbol{a \cdot b} = a_1b_1 + a_2b_2$$

• 空間ベクトルの内積
  平面ベクトル$\boldsymbol{ A } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ B } = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)$の内積を次のように定義する。
  $$\boldsymbol{a \cdot b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

• ベクトルの長さ、挟む角と内積
  平面、空間いずれの場合もベクトルの長さ$|\boldsymbol{v}|$と内積には以下の関係がある。
  $$\boldsymbol{v \cdot v} = |\boldsymbol{v}|^2$$
  また2本のベクトル$\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$が挟む角$\theta$に対し、以下の関係がある。
  $$\boldsymbol{v \cdot w} = |\boldsymbol{v}| |\boldsymbol{w}| \cos \theta$$

1-5 外積

書籍では外積を幾何的に求めている。
なお、内積、外積についての詳細な解説は、もういちどだけ内積・外積 [物理のかぎしっぽ]の記事がとてもわかり易い。

• 外積の意味
  2つのベクトルからそのなす平面に垂直で、2角ベクトルのなす平行四辺形の面積の大きさを長さに持つベクトルを作成する操作。ベクトル積、直積ともいう。
  外積のベクトルの向きは第1項から第2項への向きを右ねじを回す方向と捉え、ねじの進む方向とする。このことから、外積の演算では交換法則は成り立たない。

• 空間反転
  ベクトルの成分全てに$-1$を掛けてベクトルの方向を反転させること。
  空間反転させたベクトルの外積の方向は変わらない。これを軸性ベクトル、または擬ベクトルという。

• 空間ベクトルの外積
  空間ベクトル$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$の外積$\boldsymbol{A \times B}$は
  $$\begin{align*} & \boldsymbol{A}から\boldsymbol{B}に向かって右ねじの方向を向き\\ & \boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}の作る平行四辺形の面積を長さに持つ \end{align*}$$
  擬(軸性)ベクトルである。

• 外積の計算
  $$\boldsymbol{ A \times B} = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{array} \right)$$

• $\boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}$の作る平行四辺形の面積$S$
  $\boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}$のなす角を$\theta$とし
  $$S=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \sin \theta = |\boldsymbol{ A \times B}|$$

参考サイト

• もういちどだけ内積・外積 [物理のかぎしっぽ]

線形代数の学習を始めるにあたって

前回で一旦高校数学の復習を終えました。いくつかの単元は飛ばしましたが、ほぼ必要となる知識の総整理はできたと思います。一週間くらいでできるかな? とかおもっていましたが、途中で複素数や二項定理、図形に苦戦して、結局3週間ほどかかりましたね。でも今までの人生の中で一番深く理解できた気がするのでおけとします。

またインターネットで色々と調べ物をした結果、良質な参考サイトや、便利な数学ツールのGeoGebraなどに出会えて、とても実りの多い3週間でした。

さて、これからは代数、解析、統計をやっていきたいと思います。このあたりは理工系では理論より応用が大事だと言われている分野ですが、できる限り理論も追いかけていきたいと思います。といっても私レベルだと、まとめたメモくらいが精一杯です。数学が好きな人のサイトを読むとわかりやすいし、面白い蘊蓄満載だし、本当にためになります。

教科書探し

まずは教科書探しをしてみます。

• 線型代数のビブリオグラフィー [数学についてのwebノート]
• 線形代数学入門のための教科書談義 - とね日記

よい教科書はよいようですね。このレベルになってくるとやたら難しいことだけ書いている本があるんですが、大学初年度などでは面食らって取り組みにくいものですね。かくいう私もなるべくわかりやすい本を探した記憶があります。とおいきおく…

まずは教科書

で、線形代数なんてすっかり忘れていて、高校レベルからできそうな、線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)を教科書として使うことにしました。
基礎的な概念や計算力が大事だと思うので、自分が理解できそうなものを選んでみました。インターネットでも結構評判は良さそうです。ただし、当然ながら大学初年度以降の内容は余り含まれていないので、それはまた別に探す必要があります。

教科書の目次

線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社では、対話形式で線形代数の学習をするときに、ポイントとなることや引っかかりそうなことを話題にして、話をすすめるスタイルです。
登場人物は学生と先生なんですが、この学生がなんともいい味を出しています。前回の章で学習したことを忘れていたり、わかったような、わからないような生返事がおおかったりと、なかなかしびれます。まるで自分を見ているよう… 先生の忍耐力、すばらしい大人力です!

序章　プロローグ

第1章　ベクトルとスカラー
1.1 ベクトルのすみか
1.2 ベクトルのスカラー倍，和と差
1.3 基底ベクトル
1.4 内積
1.5 外積（ベクトル積）

第2章　行列と連立1次方程式
2.1 行列とその演算
2.2 連立1次方程式とガウスの消去法
2.3 逆行列
2.4 逆行列がない！

第3章　行列式とその応用
3.1 行列式って何？
2.2 行列式のしくみ

第4章 行列の特性を引き出す
4.1 固有値と固有ベクトル
4.2 対角化とは

231ページありますが、内容は以上のように線形写像や二次形式がありません。この教科書で底上げできたら他の本で勉強してみたいと思います。

参考リンク

• 代数系の基礎 (共立全書 220) | 森 光弥 |本 | 通販 | Amazon
• 線形代数概論 | 矢野 健太郎, 石原 繁 |本 | 通販 | Amazon
  昔使っていた教科書。書き込みのなさが当時を偲ばせる…(笑

高校数学 - 図形

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第21回は図形です。まずは高校数学で登場する定理を集めてみました。なお、次回はこの範囲の定義や証明を延々と… 大変だぉ。

今回はGeoGebraが大活躍です。たくさん図形を書いてずいぶんGeoGebraの練習になりました。これからもどんどん使っていきたいと思います。でもまだ立体図形はうまくかけないんですよね。もっと練習しなきゃ。

以下については記載されていなかったので、チャート式 数学 I+Aを参考に追記しました。

• 三平方の定理
• 三角形の五心、傍心
• トレミーの定理

• • • 教材
    • 図形の性質
      • 定理のまとめ

教材

• 新編 数学A 平成25年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: 啓林館
発行日: 2012-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-03692-7
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第3章 図形の性質

• 新課程 チャート式 数学I+A

編者: チャート研究所
出版社: 数研出版
発行日: 2013-02-01
ISBN: ISBN978-4-410-10172-4
価格: C4341 ￥1820E

学習範囲 (目次より)
数学A 第3章 図形の性質

図形の性質

定理のまとめ

[定理] 中点連結定理
$\triangle ABC$で辺$AB, AC$の中点をそれぞれ$M,N$とすれば
$$MN /\!/ BC \ かつ \ MN=\frac {1}{2} BC$$

[定理] 三平方の定理 (補)
$\triangle ABC$で辺$BC=a, CA=b, AB=c$とすると
$$\angle C = 90^{\circ} \iff a^2+b^2=c^2$$

[定理] 中線定理 (補)
$\triangle ABC$の辺$BC$の中点を$M$とすると
$$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$$

[定理 1] 角の二等分線と辺の比
$\triangle ABCの\angle A$の二等分線と辺$BC$との交点を$D$とすると
$$AB:AC=BD:DC$$

[定理 2] 外角の二等分線と辺の比
$\triangle ABCの\angle A$の外角の二等分線と辺$BC$との交点を$D$とすると
$$AB:AC=BD:DC$$
となる。ただし$AB\neq AC$とする。

[定理] 定理2の逆 (補)
$\triangle ABC$の辺$BC$上の点$D$に対して$BD:DC=AB:AC$が成り立つならば$AD$は$\angle A$の二等分線である。

[定理 3] 三角形の辺と角の大小 (補)
$\triangle ABC$で
$(1)$ 大きい辺に対する角は、小さい辺に対する角より大きい。
$(2)$ 大きい角に対する辺は、小さい角に対する辺より大きい。

[定理 4] 三角形の辺の長さの関係 (補)
$\triangle ABC$で
$(1)$ 二辺の長さの和は、残りの一辺の長さより大きい。
$(2)$ 二辺の長さの差は、残りの一辺の長さより小さい。

[定理 5] (重心) 三角形の中線の交点
三角形の三本の中線は一点で交わり、その交点を$G$とすると、点$G$は三本の中線をそれぞれ$2:1$に内分する。

[定理 6] (内心) 三角形の角の二等分線の交点
三角形の三つの角の二等分線は一点で交わる。

[定理 7] (外心) 三角形の三辺の垂直二等分線の交点
三角形の三辺の垂直二等分線は一点で交わる。

[定理] メネラウスの定理
直線$l$が$\triangle ABC$の三辺$AB,BC,CA$またはその延長と、それぞれ点$P,Q,R$で交わるとき、次の式が成り立つ。
$$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BR}{RA} =1$$
三角形の辺と交わる場合

三角形の辺の延長線と交わる

[定理] チェバの定理
$\triangle ABC$の頂点$A,B,C$と$1点O$を結ぶ各直線が、大変またはその延長と交わる点をそれぞれ点$P,Q,R$とすると、次の式が成り立つ。
$$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1$$
$1) \ O$が$\triangle ABC$の内部

$2) \ O$が$\triangle ABC$の外部

[定理] (垂心) 三角形の頂点の垂線の交点
三角形の頂点の対辺に対する垂線は一点で交わる。

[定理] (傍心) 三角形の内角の二等分線と外角の二等分線の交点 (補)
三角形の一つの頂点における内角の二等分線と、他の二つの頂点における外角の二等分線は一点で交わる。

[定理 8] 円周角の定理
同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。このとき、円周角の大きさはその弧に対する中心角の大きさの半分である。

[定理 9] 円周角の定理の逆
$2点C,P$が直線$AB$について同じ側にあるとき、
$$\angle APB = \angle ACB \iff 4点A,B,C,Pは同じ円周上にある$$

[定理] 円の内部と外部と円周角
円の周上に$3点A,Q,B$があるとき、点$P$が直線$AB$に関して点$Q$と同じ側にあるとき
$(1)$ 点$P$が円の周上にある$\implies \angle APB = \angle AQB$
$(2)$ 点$P$が円の内部にある$\implies \angle APB \gt \angle AQB$
$(3)$ 点$P$が円の内部にある$\implies \angle APB \lt \angle AQB$

[定理] 円に内接する四角形の性質
円に内接する四角形において
$(I)$ 向かい合う内角の和は$180^{\circ}$である。
$(II)$ 一つの内角は、それに向かい合う内角のとなりにある外角に等しい。

[定理] 四角形が円に内接する条件
次のいずれかが成り立つ四角形は円に内接する。
$(I)$ 向かい合う内角の和が$180^{\circ}$の四角形は円に内接する。
$(II)$ 一つの内角が、それに向かい合う内角のとなりにある外角に等しい四角形は円に内接する。

[定理] トレミーの定理
$\square ABCD$が円に内接するとき、対角線$BD$上に$\angle BAE=\angle CAD$となるような点$E$を取るとき、以下が成り立つ。
$$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$$

[定理 10] 2本の接線の長さ
円外の点から円にひいた$2$本の接線の長さは等しい。

[定理 11] (接弦定理) 接線と弦のなす角
円の弦$AB$と点$A$における接線$l$とのなす角は、その角の内部にある弧$\stackrel{ \Large \frown }{AB}$に対する円周角$\angle APB$に等しい。

[定理 12] 方冪の定理
$(1)$ 点$P$を通る$2$直線が円とそれぞれ$2点A,B$と$2点C,D$で交わるとき、次の式が成り立つ。
$$PA\cdot PB=PC\cdot PD$$
点$P$が円の内部

点$P$が円の外部

$(2)$ 円外の点$P$を通る$2$直線の一方が円と$2点A,B$で交わり、もう一方が点$T$で接しているとき、次の式が成り立つ。
$$PA\cdot PB=PT^2$$

[定理 13] オイラーの多面体定理
$(頂点の数) - (辺の数) + (面の数) = 2$ または以下のように表す。
$V - E - F = 2$

[定理] 三垂線の定理
平面$\alpha$とその上にない点$A$があり、また$\alpha$上に直線$l$と$l$上にない点$O$がある。$l$上の$1$点を$B$とするとき
$$AB \perp, l \quad OB \perp l, \quad OA \perp OB \implies OA \perp \alpha$$

高校数学 - 図形 定理集

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第21回は図形です。まずは高校数学で登場する定理を集めてみました。なお、次回はこの範囲の定義や証明を延々と… 大変だぉ。

今回はGeoGebraが大活躍です。たくさん図形を書いてずいぶんGeoGebraの練習になりました。これからもどんどん使っていきたいと思います。でもまだ立体図形はうまくかけないんですよね。もっと練習しなきゃ。

以下については記載されていなかったので、チャート式 数学 I+Aを参考に追記しました。

• 三平方の定理
• 三角形の五心、傍心
• トレミーの定理

• • • 教材
    • 図形の性質
      • 定理のまとめ

教材

• 新編 数学A 平成25年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: 啓林館
発行日: 2012-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-03692-7
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第3章 図形の性質

• 新課程 チャート式 数学I+A

編者: チャート研究所
出版社: 数研出版
発行日: 2013-02-01
ISBN: ISBN978-4-410-10172-4
価格: C4341 ￥1820E

学習範囲 (目次より)
数学A 第3章 図形の性質

図形の性質

定理のまとめ

[定理] 中点連結定理
$\triangle ABC$で辺$AB, AC$の中点をそれぞれ$M,N$とすれば
$$MN /\!/ BC \ かつ \ MN=\frac {1}{2} BC$$

[定理] 三平方の定理 (補)
$\triangle ABC$で辺$BC=a, CA=b, AB=c$とすると
$$\angle C = 90^{\circ} \iff a^2+b^2=c^2$$

[定理] 中線定理 (補)
$\triangle ABC$の辺$BC$の中点を$M$とすると
$$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$$

[定理 1] 角の二等分線と辺の比
$\triangle ABCの\angle A$の二等分線と辺$BC$との交点を$D$とすると
$$AB:AC=BD:DC$$

[定理 2] 外角の二等分線と辺の比
$\triangle ABCの\angle A$の外角の二等分線と辺$BC$との交点を$D$とすると
$$AB:AC=BD:DC$$
となる。ただし$AB\neq AC$とする。

[定理] 定理2の逆 (補)
$\triangle ABC$の辺$BC$上の点$D$に対して$BD:DC=AB:AC$が成り立つならば$AD$は$\angle A$の二等分線である。

[定理 3] 三角形の辺と角の大小 (補)
$\triangle ABC$で
$(1)$ 大きい辺に対する角は、小さい辺に対する角より大きい。
$(2)$ 大きい角に対する辺は、小さい角に対する辺より大きい。

[定理 4] 三角形の辺の長さの関係 (補)
$\triangle ABC$で
$(1)$ 二辺の長さの和は、残りの一辺の長さより大きい。
$(2)$ 二辺の長さの差は、残りの一辺の長さより小さい。

[定理 5] (重心) 三角形の中線の交点
三角形の三本の中線は一点で交わり、その交点を$G$とすると、点$G$は三本の中線をそれぞれ$2:1$に内分する。

[定理 6] (内心) 三角形の角の二等分線の交点
三角形の三つの角の二等分線は一点で交わる。

[定理 7] (外心) 三角形の三辺の垂直二等分線の交点
三角形の三辺の垂直二等分線は一点で交わる。

[定理] メネラウスの定理
直線$l$が$\triangle ABC$の三辺$AB,BC,CA$またはその延長と、それぞれ点$P,Q,R$で交わるとき、次の式が成り立つ。
$$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BR}{RA} =1$$
三角形の辺と交わる場合

三角形の辺の延長線と交わる

[定理] チェバの定理
$\triangle ABC$の頂点$A,B,C$と$1点O$を結ぶ各直線が、大変またはその延長と交わる点をそれぞれ点$P,Q,R$とすると、次の式が成り立つ。
$$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1$$
$1) \ O$が$\triangle ABC$の内部

$2) \ O$が$\triangle ABC$の外部

[定理] (垂心) 三角形の頂点の垂線の交点
三角形の頂点の対辺に対する垂線は一点で交わる。

[定理] (傍心) 三角形の内角の二等分線と外角の二等分線の交点 (補)
三角形の一つの頂点における内角の二等分線と、他の二つの頂点における外角の二等分線は一点で交わる。

[定理 8] 円周角の定理
同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。このとき、円周角の大きさはその弧に対する中心角の大きさの半分である。

[定理 9] 円周角の定理の逆
$2点C,P$が直線$AB$について同じ側にあるとき、
$$\angle APB = \angle ACB \iff 4点A,B,C,Pは同じ円周上にある$$

[定理] 円の内部と外部と円周角
円の周上に$3点A,Q,B$があるとき、点$P$が直線$AB$に関して点$Q$と同じ側にあるとき
$(1)$ 点$P$が円の周上にある$\implies \angle APB = \angle AQB$
$(2)$ 点$P$が円の内部にある$\implies \angle APB \gt \angle AQB$
$(3)$ 点$P$が円の内部にある$\implies \angle APB \lt \angle AQB$

[定理] 円に内接する四角形の性質
円に内接する四角形において
$(I)$ 向かい合う内角の和は$180^{\circ}$である。
$(II)$ 一つの内角は、それに向かい合う内角のとなりにある外角に等しい。

[定理] 四角形が円に内接する条件
次のいずれかが成り立つ四角形は円に内接する。
$(I)$ 向かい合う内角の和が$180^{\circ}$の四角形は円に内接する。
$(II)$ 一つの内角が、それに向かい合う内角のとなりにある外角に等しい四角形は円に内接する。

[定理] トレミーの定理
$\square ABCD$が円に内接するとき、対角線$BD$上に$\angle BAE=\angle CAD$となるような点$E$を取るとき、以下が成り立つ。
$$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$$

[定理 10] 2本の接線の長さ
円外の点から円にひいた$2$本の接線の長さは等しい。

[定理 11] (接弦定理) 接線と弦のなす角
円の弦$AB$と点$A$における接線$l$とのなす角は、その角の内部にある弧$\stackrel{ \Large \frown }{AB}$に対する円周角$\angle APB$に等しい。

[定理 12] 方冪の定理
$(1)$ 点$P$を通る$2$直線が円とそれぞれ$2点A,B$と$2点C,D$で交わるとき、次の式が成り立つ。
$$PA\cdot PB=PC\cdot PD$$
点$P$が円の内部

点$P$が円の外部

$(2)$ 円外の点$P$を通る$2$直線の一方が円と$2点A,B$で交わり、もう一方が点$T$で接しているとき、次の式が成り立つ。
$$PA\cdot PB=PT^2$$

[定理 13] オイラーの多面体定理
$(頂点の数) - (辺の数) + (面の数) = 2$ または以下のように表す。
$V - E - F = 2$

[定理] 三垂線の定理
平面$\alpha$とその上にない点$A$があり、また$\alpha$上に直線$l$と$l$上にない点$O$がある。$l$上の$1$点を$B$とするとき
$$AB \perp, l \quad OB \perp l, \quad OA \perp OB \implies OA \perp \alpha$$