線形代数入門書籍線形代数がわかる(1) ベクトルとスカラー

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。ポイントだけを残していきます。

今回から大学で学ぶ数学をやっていきます。まずは高校数学にも行列として登場していた線形代数から始めたいと思います。私の時代にはきっちり行列の演算があったんですが、いまは発展的な数学のなかで教えられているようです。学校によっては理系でも学習していないことがあるみたいですね。って年がバレるね(笑

大学での教科書は理論と計算がバリバリですが、意味的なことを吸収するのは自分で考える必要がありました。なかなか楽しかったですが、遅々として進まないことも往々にしてありました。今回の学習のために教科書として選んだこの書籍、線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)ですが、すごく難しい内容をとってもわかりやすく解説してくれています。要所要所にキーワードがうめこまれてて、インターネットで調べながら勉強すると、すごく簡単に今まで疑問だったことが理解できるようになってきました。この書籍を選んで本当によかったと思います。いい時代になりました。

私の記事では要点しか書いていませんので、読んでも「ふーん」って感じなんですが、もし線形代数が苦手な人はぜひこの書籍を手にとって読んでみてください。今までの理解を総整理でき、また目からウロコなことがたくさんあって、数学にとても親しみが持てるようになると思います。人生が豊かになること請け合いです(謎

さて、今回は「プロローグ」と「第1章ベクトルとスカラー」です。この書籍では、高校生でも理解できるよう配慮されています。安心して取り組みましょう。

教材

First Book 線形代数がわかる

著者: 中村厚、戸田晃一
出版社: 技術評論社
発行日: 2010-9-25
ISBN: ISBN978-4-7741-4346-0
価格: C3041 ￥1780E
書籍サイト: 線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)

学習範囲 (太文字の章節がこの記事の対象)
序章プロローグ
ベクトルとは
線形代数の意味
行列と行列式
物理と線形代数
第1章ベクトルとスカラー
1-1 ベクトルのすみか
1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差
1-3 基底ベクトル
1-4 内積
1-5 外積
第2章行列と連立一次方程式
2-1 行列とその演算
2-2 連立一次方程式とガウスの消去法
2-3 逆行列
2-4 逆行列がない!
第3章行列式とその応用
3-1 行列式って何?
3-2 行列式の仕組み
第4章行列の特性を引き出す
4-1 固有値と固有ベクトル
4-2 対角化とは

プロローグ

ベクトル
「大きさあるいは強さ」と「方向」を持った値。

第1章ベクトルとスカラー

1-1 ベクトルのすみか

次元
ベクトルの「すみか」の広がる方向の数。
ベクトルの成分表示

$\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right)$

1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差

スカラー量、スカラー
成分を持たない量のこと。

例) 二次元ベクトル $\boldsymbol{ a }$ をスカラー倍(例では $2$ 倍)する。
$\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \boldsymbol{ b } = 2\boldsymbol{ a }= \left( \begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ \end{array} \right) \\$
ベクトルの和、ベクトルの平行移動
$\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v } = \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \end{array} \right)$
平行四辺形の対角線となる。
ベクトルの交換法則、結合法則、分配法則
交換法則 $\quad \boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v } = \boldsymbol{ v } + \boldsymbol{ u }$
結合法則 $\quad (\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v }) + \boldsymbol{ w } = \boldsymbol{ v } + (\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ w })$
分配法則 $\quad k(\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v }) = k\boldsymbol{ v } + k\boldsymbol{ u }$
ベクトルの差
$-1$ 倍して加えたものと考えることができる。平行四辺形の対角線となる。

1-3 基底ベクトル

平面の正規直交基底
$\boldsymbol{ e_1 } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ , $\ \boldsymbol{ e_2 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ を用いて任意の平面ベクトル $\boldsymbol{ v } = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)$ は、以下のように表される。
$\boldsymbol{ v } = a \boldsymbol{ e_1 } + b \boldsymbol{ e_2 }$
空間の正規直交基底
$\boldsymbol{ e_1 } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ , $\ \boldsymbol{ e_2 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ , $\ \boldsymbol{ e_3 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ を用いて任意の平面ベクトル $\boldsymbol{ V } = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right)$ は、以下のように表される。
$\boldsymbol{ V } = a \boldsymbol{ e_1 } + b \boldsymbol{ e_2 } + c \boldsymbol{ e_3 }$
独立
あるベクトルが、もう一方のベクトルの単なるスカラー倍でかけないとき、これらは独立であるという。
基底
互いに独立で、任意のベクトルがそれらの線形結合で表されるベクトルの組のこと。
正規直交基底
上記 $\{e_1, e_2\}$ などを指す。

1-4 内積

ここでは結論のみ記す。書籍では内積を幾何的に丁寧に求めている。

内積の意味
2つのベクトルからスカラーを作成する操作。「どの方向から見ても変わらない量を取り出す=回転に対して不変な」操作と考える。
スカラー
回転に対して不変な量。
平面ベクトルの内積
平面ベクトル $\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right)$ , $\ \boldsymbol{ b } = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \end{array} \right)$ の内積を次のように定義する。
$\boldsymbol{a \cdot b} = a_1b_1 + a_2b_2$
空間ベクトルの内積
平面ベクトル $\boldsymbol{ A } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right)$ , $\ \boldsymbol{ B } = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)$ の内積を次のように定義する。
$\boldsymbol{a \cdot b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
ベクトルの長さ、挟む角と内積
平面、空間いずれの場合もベクトルの長さ $|\boldsymbol{v}|$ と内積には以下の関係がある。
$\boldsymbol{v \cdot v} = |\boldsymbol{v}|^2$
また2本のベクトル $\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$ が挟む角 $\theta$ に対し、以下の関係がある。
$\boldsymbol{v \cdot w} = |\boldsymbol{v}| |\boldsymbol{w}| \cos \theta$

1-5 外積

書籍では外積を幾何的に求めている。
なお、内積、外積についての詳細な解説は、もういちどだけ内積・外積 [物理のかぎしっぽ]の記事がとてもわかり易い。

外積の意味
2つのベクトルからそのなす平面に垂直で、2角ベクトルのなす平行四辺形の面積の大きさを長さに持つベクトルを作成する操作。ベクトル積、直積ともいう。
外積のベクトルの向きは第1項から第2項への向きを右ねじを回す方向と捉え、ねじの進む方向とする。このことから、外積の演算では交換法則は成り立たない。
空間反転
ベクトルの成分全てに $-1$ を掛けてベクトルの方向を反転させること。
空間反転させたベクトルの外積の方向は変わらない。これを軸性ベクトル、または擬ベクトルという。
空間ベクトルの外積
空間ベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ の外積 $\boldsymbol{A \times B}$ は
$\begin{align*} & \boldsymbol{A}から\boldsymbol{B}に向かって右ねじの方向を向き\\ & \boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}の作る平行四辺形の面積を長さに持つ \end{align*}$
擬(軸性)ベクトルである。
外積の計算
$\boldsymbol{ A \times B} = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{array} \right)$
$\boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}$ の作る平行四辺形の面積 $S$
$\boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}$ のなす角を $\theta$ とし
$S=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \sin \theta = |\boldsymbol{ A \times B}|$

参考サイト

もういちどだけ内積・外積 [物理のかぎしっぽ]