高校数学 - 微分法(1) 微分と導関数

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第14回は微分法(1)です。

いよいよ微積本番ですよ。高校の微積分って初等関数と超越関数を扱うんですよね。結構重要な公式や、考え方を学ぶので、しっかりいきたいと思います。
この単元では基本的な導関数の作成方法や、合成関数や逆関数の微分の操作を学習します。初歩ですがかなり重要ですね。今後バンバン使っていく操作なので、必ずマスターしておきたいところ、

なお、微分法を通しで書こうと思いましたが、やってみると結構証明が多くて、分けたほうが扱いが楽そうなのでわけます。全部で4節ありますので、たぶん4つに分けることになると思います。

• • • 教材
    • 微分法
      • 微分と導関数
        • 微分可能と連続
        • 微分と導関数
          • 積と商の導関数
        • 合成関数の微分法
          • xrの導関数
          • 曲線の方程式と微分
          • 逆関数の微分

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

第5章 微分法
第1節 微分と導関数
1. 微分可能と連続
2. 微分と導関数
3. 合成関数の微分法
第2節 いろいろな関数の導関数
1. 三角関数の導関数
2. 対数関数・指数関数の導関数
3. 高次導関数
第3節 導関数の応用
1. 接線の方程式
2. 平均値の定理
3. 関数の増減
第4節 いろいろな応用
1. グラフの凹凸
2. 第2次導関数と極大・極小
3. 速度と加速度

微分法

微分と導関数

微分可能と連続

• 微分係数

関数$f(x)$について、極限値
$$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
が存在するとき、この極限値を$f(x)$の$x=a$における微分係数といい、$f'(a)$で表す。すなわち
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{1}$$
関数$y=f(x)$のグラフにおいて微分係数$f'(a)$は、点$A(a, f(a))$における接線の傾きである。
また$a+h=x$、すなわち$h=x-a$とおくと
$$h\to0のときx\to a$$
となるから$f'(a)$は次のように表すこともできる。
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

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• 微分可能と連続

微分係数$f'(a)$が存在するとき、関数$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという、ある区間の全ての$x$の値で微分可能なとき、$f(x)$はその区間で微分可能であるという。

$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば$f(x)$は$x=a$で連続である。

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証明)
$f(x)$が$x=a$で微分可能であるならば$f'(a)$が存在するから
$$\lim_{x\to a}\left\{ f(x)-f(a) \right\} = \lim_{x\to a}\left\{ (x-a) \cdot \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)} \right\} = 0\times f'(a) = 0$$
よって$\displaystyle\lim_{x\to a}\left\{ f(x)-f(a) \right\} = f(a)$となり、$x=a$で連続である。
$\tag*{$\blacksquare$}$

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逆に$f(x$)が$x=a$で連続であっても、微分可能であるとは限らない。

例)
$f(x)= | x | はx=0$で連続だが
$$\begin{align*} \lim_{h\to +0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} &= \lim_{h\to +0} \frac{|h|}{h}=\lim_{h\to +0} \frac{h}{h} = 1 \\ \lim_{h\to -0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} &= \lim_{h\to -0} \frac{|h|}{h}=\lim_{h\to +0} \frac{-h}{h} = -1 \end{align*}$$
となり、$h$への近づき方によって近づく値が異なるから$f'(0)$は存在しない。すなわち$f(x)=|x|$は、$x=0$で微分可能ではない。

微分と導関数

関数$y=f(x)$の導関数$f('x)$は、$x$の値$a$に対して微分係数$f('a)$を対応させる関数であり、次のように書ける。
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
$xの増分hを\Delta x, yの増分f(x+h)-f(x)を\Delta yで表せば$
$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
のように表すこともできる。

$y=f(x)$の導関数は$f'(x)$の他に
$$y', \left\{ f(x) \right\}, \frac{dy}{dx}, \frac{d}{dy}f(x)$$
のようにも書く。導関数を求めることを微分するという。

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• 微分法の公式

$$\begin{align*} 1) & \ \left\{ kf(x) \right\}' = kf'(x) \ \ (ただしkは定数) \\ 2) & \ \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x) + g'(x) \\ & \ \left\{ f(x)-g(x) \right\}' = f'(x) - g'(x) \\ 3) & \ \left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\ 4) & \ \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}' = - \frac {g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2}\\ & \ \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \\ 5) &\ rが有理数のとき(x^r)'=rx^{r-1} \\ 6) & \ \left\{ f(g(x)) \right\}' = f'(g(x))g'(x) \\ & \ \left[\left\{f(x)\right\}^n\right]'=n\left\{f(x)\right\}^{n-1}f'(x) \ \ (nは整数) \\ 7) & \ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} \end{align*}$$

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関数$f(x)$が微分可能ならば、その定数倍$kf(x)$も微分可能である。また関数$f(x), g(x)$が微分可能ならそれらの和、差も微分可能である。次の公式が成り立つ。

$$\begin{align*} 1) & \ \left\{ kf(x) \right\}' = kf'(x) \ \ (ただしkは定数) \\ 2) & \ \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x) + g'(x) \\ & \ \left\{ f(x)-g(x) \right\}' = f'(x) - g'(x) \\ \end{align*}$$

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証明)
$y=f(x)+g(x)$とし、$\Delta x=h$に対する$y$の増分を$\Delta y$とする。
$$\begin{align*} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{ \left\{ f(x+h)+g(x+h) \right\} - \left\{ f(x)+g(x) \right\} }{h} \\ &=\frac{ f(x+h) - f(x) }{ h } + \frac{ g(x+h) - g(x) }{ h } \end{align*}$$
よって、
$$\begin{align*} y'&=\lim_{\Delta\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{ f(x+h) - f(x) }{ h } + \frac{ g(x+h) - g(x) }{ h } \right\} \\ &=\lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h) - f(x) }{ h } + \lim_{h\to 0} \frac{ g(x+h) - g(x) }{ h } \\ &=f'(x) + g'(x) \end{align*}$$

$f'(x)-g'(x)$についても同様。
$\tag*{$\blacksquare$}$

積と商の導関数

• 積の導関数

関数$f(x), g(x)$が微分可能ならそれらの積も微分可能である。次の公式が成り立つ。

$$\begin{align*} 3) & \ \left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{align*}$$

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証明)
$y=f(x)g(x)$とし$\Delta x=h$に対する$y$の増分を$\Delta y$とする。
$$\begin{align*} \Delta y&= f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) \\ &=f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x) \\ &=\left\{ f(x+h)-f(x) \right\}g(x+h) + f(x)\left\{ g(x+h) - g(x) \right\} \end{align*}$$
よって
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$
ここでg(x)は連続であるから$\displaystyle\lim_{h\to0}g(x+h)=g(x)$であり、また
$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=f'(x) , \ \ \lim_{h\to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}=g'(x)$$
より
$$y'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

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• $x^n$の導関数

$n$が自然数のとき $(x^n)' = nx^{n-1}$

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• 二項定理を使った$x^n$の導関数導出

nが自然数のとき、二項定理
$$\begin{align*} (x+h)^n&={}_n C_0 x^n + {}_n C_1 x^{n-1}h + {}_n C_2 x^{n-2}h^2 +\cdots+ {}_n C_n h^n \\ &=x^n + n x^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \end{align*}$$
を利用し、右辺の$x^n$を左辺に移項、全体をhで割って
$$\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$$
したがって
$$\begin{align*} (x^n)'&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\left\{ nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1} \right\} \\ &=nx^{n-1} \end{align*}$$

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• 商の導関数

関数$f(x), g(x)$が微分可能ならそれらの商も微分可能である。次の公式が成り立つ。

$$\begin{align*} 4) & \ \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}' = - \frac {g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \tag{1}\\ & \ \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \tag{2} \end{align*}$$

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証明)
$4)-(1)$を証明する。
$\displaystyle y=\frac{1}{g(x)}$とし、$\Delta x=h$に対する$y$の増分を$\Delta y$とする。

$$\begin{align*} \Delta y&=\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)} \\ &=-\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)g(x)} \end{align*}$$
となるので
$$\begin{align*} \frac{\Delta y}{\Delta x}&=\left( -\frac{1}{g(x+h)g(x)} \right) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ \end{align*}$$
ここで、
$$\lim_{h\to 0} g(x+h) = g(x), \ \ \lim_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g'(x)$$
だから
$$y'=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2 }$$
$4)-(2)$を証明する。
$4)-(1)と3)$の公式により
$$\begin{align*} \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\} ' &= \left\{ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right\} ' \\ &=f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot \left( -\frac{g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \right) \\ &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \end{align*}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

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$(x^n)'=nx^{n-1}$は、$n$が負の整数の場合も成り立つことを証明する。

証明)
$n=-1$とおくと、$m$は正の整数であるから
$$\begin{align*} (x^n)'&=(x^{-m})'=\left( \frac{1}{x^m} \right)=-\frac{(x^m)'}{(x^m)^2}=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} \\ &=(-m)x^{-m-1}=nx^{n-1} \end{align*}$$
また、$n=0$のときは、$(x^0)'=(1)'=0$であるから次のことが成り立つ。
$$5) \ nが整数のとき(x^n)'=nx^{n-1}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

合成関数の微分法

関数$y=f(u), u=g(x)$の合成関数$y=f(g(x))$の導関数は
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
また、$\displaystyle\frac{dy}{du}=f'(u), \frac{du}{dx}=g'(x)$だから
$$\left\{ f(g(x)) \right\}' = f'(g(x))g'(x)$$
上記より$n$が整数のとき以下が成り立つ。
$$\left[\left\{f(x)\right\}^n\right]'=n\left\{f(x)\right\}^{n-1}f'(x)$$

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証明)

$2$つの微分可能な関数$y=f(u), u=g(x)$の合成関数を$y=f(g(x))$とすると
$$xの増分\Delta xに対するuの増分を\Delta u \\ uの増分\Delta uに対するyの増分を\Delta y \\ $$
とすると
$$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x), \ \ \Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)$$
$g(x)$は連続なので、$\Delta x\to 0のとき\Delta u\to0$となるから
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)\\ &=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta u\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}\\ &=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \end{align*}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

x^rの導関数

$r$が有理数のとき $(x^r)'=rx^{r-1}$

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証明)
$n$を正の整数、$m$を整数として、$r=\displaystyle\frac{m}{n}$とする。
$f(x)=x^\frac{m}{n}$とおくと、$\left\{ f(x) \right\}^n=x^m$
この式の両辺をそれぞれ$x$で微分すると
$n\left\{f(x)\right\}^{n-1}f'(x)=mx^{m-1}$なので
$$f'(x)=\frac{mx^{m-1}}{n\left\{f(x)\right\}^{n-1}} = \frac{mx^{m-1}}{n\left(x^{\frac{m}{n}}\right)^{n-1}} = \frac{mx^{m-1}}{nx^{m-\frac{m}{n}}}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$$
よって$f'(x)=rx^{r-1}$
$\tag*{$\blacksquare$}$

曲線の方程式と微分

一般に$x,y$についての方程式が与えられたとき、両辺を$x$の関数とみなして微分すると、$x$の関数$y$の導関数$y'$を求めることができる。

例)
$x^2+y^2=1$を微分する。

$y$は$x$の関数として、$x^2+y^2$も$x$の関数である。与式の両辺を$x$で微分すると
$$2x+\frac{d}{dx}y^2=0$$
ここで$\displaystyle\frac{d}{dx}y^2=\frac{d}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=2yy'$だから
$$2x+2yy'=0 すなわちx+yy'=0$$
これより$y\neq0$のとき
$$y'=-\frac{x}{y}$$

逆関数の微分

微分可能な関数$y=f(x)$の逆関数$y=f^{-1}(x)$の導関数
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

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証明)
$y=f^{-1}(x)$のとき
$$x=f(y)$$
この両辺を$x$の関数とみてそれぞれ$x$で微分すると、
$$\begin{align*} &左辺は \frac{d}{dx}x=1 \\ &右辺は \frac{d}{dx}f(y) = \frac{d}{dy}f(y)\cdot\frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} \end{align*}$$
これより
$$1=\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}$$
である。よって
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$