高校数学 - 微分法(3) 導関数の応用

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第16回は微分法(3) 導関数の応用です。

この単元では微分を用いて、関数の性質を調べるために増減表、接線の方程式、グラフ化を学びます。さて、頑張りましょうか。

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教材

新編数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

第5章微分法
第1節微分と導関数
1. 微分可能と連続
2. 微分と導関数
3. 合成関数の微分法
第2節いろいろな関数の導関数
1. 三角関数の導関数
2. 対数関数・指数関数の導関数
3. 高次導関数
第3節導関数の応用
1. 接線の方程式
2. 平均値の定理
3. 関数の増減
第4節いろいろな応用
1. グラフの凹凸
2. 第2次導関数と極大・極小
3. 速度と加速度

微分法

導関数の応用

接線の方程式

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は
$y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

法線の方程式

曲線上の点 $P$ を通り、その曲線の $P$ における接線と垂直である直線を、その曲線の点 $P$ における法線という。

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $P(x_,y_1)$ において、 $f'(x_1)\neq0$ のとき、その点における法線の傾きは $\displaystyle-\frac{1}{f'(x_1)}$ となる。よって曲線 $y=f(x)$ 上の点 $P(x_1,y_1)$ における法線の方程式は次のようになる。
$y-y_1 = -\frac{1}{f'(x_1)} (x-x_1)$
なお $f'(x_1)=0$ のとき、法線は $y$ 軸に並行になるから、法線の方程式は $x=x_1$ である。

平均値の定理

関数 $f(x)$ が $a\le x \le b$ で連続、 $a \lt x \lt b$ で微分可能であるとき
$\frac {f(b)-f(a)} {b-a} = f'(c) \quad ( a \lt c \lt b)$
を満たす $c$ が少なとも $1$ つは存在する。
また次のようにも表す。

$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \quad ( a \lt c \lt b)$

平均値の定理が成り立たない関数

平均値の定理において、 $a$ と $b$ の間に微分可能でない点が $1$ つでもあると、定理は一般に成り立たない。

関数の増減

関数 $f(x)$ が $a\le x \le b$ で連続、 $a \lt x \lt b$ で微分可能であるとき、平均値の定理から $f'(x)$ の符号と $f(x)$ の値の増減について次のことが成り立つ、

$1)$ $a \lt x \lt b$ の範囲で $f'(x) \gt 0$ ならば、 $f(x)$ は $a\le x \le b$ の範囲で増加する。
$2)$ $a \lt x \lt b$ の範囲で $f'(x) \lt 0$ ならば、 $f(x)$ は $a\le x \le b$ の範囲で減少する。
$3)$ $a \lt x \lt b$ の範囲で $f'(x) = 0$ ならば、 $f(x)$ は $a\le x \le b$ の範囲で定数である。

証明)

$1)$ について $a \lt x \lt b$ である任意の数 $x_1,x_2$ に対して、平均値の定理より
$f(x_2)-f(x_1) = f'(c)(x_2-x_1) \quad (x_1 \lt c \lt x_2)$
となる $c$ が存在する。 $x_2-x_1\gt 0$ で $f'(c)\gt0$ だから
$f(x_2)-f(x_1)\gt0 \implies f(x_1) \lt f(x_2)$
したがって $f(x)$ は $a \lt x \lt b$ で増加する。
$\tag*{$\blacksquare$}$

関数の極大・極小

連続な関数 $f(x)$ が $x=a$ を境目として増加から減少に変わるとき、関数 $f(x)$ は $x=a$ で極大になるといい、その時の値 $f(a)$ を極大値という。
また $x=b$ を境目として増加から減少に変わるとき、関数 $f(x)$ は $x=b$ で極小になるといい、その時の値 $f(a)$ を極小値という。
極大値と極小値を合わせて極値という。

極値を取るための必要条件

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能で、かつ $x=a$ で極値をとるならば $f'(a)=0$ である。

また導関数の符号と関数の増減との関係から次のことがわかる。増減表で利用する。

$f'(x)=0$ となる $x=a$ の前後で $f'(x)$ の符号が
$\quad 1)$ 正から負に変わるとき、 $f(x)はx=a$ で極大になる
$\quad 2)$ 負から正に変わるとき、 $f(x)はx=a$ で極小になる

以下は問題とその解法の解説。略す。

関数の最大・最小 (三角関数)
関数の最大・最小 (分数関数)
容器の表面積の最小
方程式・不等式への応用
実数解の個数