高校数学 - 積分法 - きのむくままに

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第18回は積分法です。

ついにやってきました、高校数学の集大成。目次的にはちょっとしかないですが、結構な量の知識が詰まってたような気がします。復習してたら部分分数に分解、置換積分、部分積分とかがあって、どんなときにどの方法が適用できるか、パズルみたいだったのを思い出しました。訓練しないと見分けるの大変なんですよね、これって。

面積や体積の求め方、本当に楽しいです。高校の範囲でもだいぶ実用的な感じがでてきます。また物理との関係も少し触れられていて、微積っていうのは実世界をどんなふうに捉えれば合理的なんだろうか、と先人が考えてきた結果が詰まっているように感じます。

あ、そうだ。曲線の方程式とかちゃんとやっとこ。このあと解析とか代数でバンバン出てくるんですよね… orz

教材

新編数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

第6章積分法
第1節不定積分
1. 不定積分
2. 置換積分法と部分積分法
第2節定積分
1. 定積分
2. 定積分と微分
3. 区分求積法と定積分
第3節面積
1. 面積
第4節体積
1. 体積
2. 回転体の体積
第5節曲線の長さ
1. 曲線の長さ

積分法

不定積分

原始関数

微分すると $f(x)$ になる関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数という。

不定積分、積分定数

関数 $f(x)$ の不定積分を求めることを $f(x)$ を積分するといい、下記で表す。
$\int f(x)dx = F(x) + C$
ここで $C$ は積分定数という。ある関数 $f(x)$ の原始関数は無数にあるが $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数のひとつとすれば、どの原始関数も定数 $C$ を選んで $F(x)+C$ の形に書ける。

不定積分を求めることは微分の逆の計算である。よって微分の公式をもとに不定積分を求めることができる。

$x^\alpha$ の不定積分

$\alpha \neq -1$ のとき
$\int x^\alpha dx = \frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha +1} + C$
$\alpha = -1$ のとき
$\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$

不定積分の性質
$\begin{align*} 1) & \int kf(x) dx = k\int f(x) dx \\ 2) & \int \left\{ f(x) + g(x) \right\} = \int f(x) dx + \int g(x) dx \\ & \int \left\{ f(x) - g(x) \right\} = \int f(x) dx - \int g(x) dx \\ \end{align*}$
部分分数に分ける

以下のような変形。

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2} \left( \frac {1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1}$
と変形する。
$\begin{align*} \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} &= \frac{ a (x+1) + b(x-1) }{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{ (a + b) x + (a - b) }{(x-1)(x+1)} \end{align*}$

$\displaystyle\frac{1}{x^2-1} と \frac{ (a + b) x + (a - b) }{(x-1)(x+1)}$ のそれぞれの分子に着目し
$1=(a + b) x + (a - b)$
これを $x$ についての恒等式とみて両辺の係数を比較すると
$a+b = 0, \quad a - b = 1$
これをといて
$a=\frac{1}{2}, \quad b=-\frac{1}{2}$
よって
$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$

指数関数の不定積分

$\begin{align*} & \int e^x dx = e^x +C \\ & \int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C \end{align*}$

三角関数の不定積分

$\begin{align*} & \int \sin x dx = -\cos x +C \\ & \int \cos x dx = \sin x + C \\ & \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C \end{align*}$

三角関数の不定積分では三角関数の積和の公式や $n$ 倍角の公式を使うと積分できることが多い。

置換積分法と部分積分法

置換積分法

置換積分法

$x=g(t)$ とおけば
$\int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t) dt$
または
$\int f(x) dx = \int f(x) \frac{dx}{dt} dt$

また、与えられた不定積分が
$\int f(g(x))g'(x) dx$
の形で表されるときは $u=g(x)$ とおくと置換積分法の公式によって
$\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$
となる。

$y=\int f(x) dx$
は $x$ の関数であるが、 $xをtの関数x=g(t)で置き換えるとyはtの関数$ になる。このとき $yをtで微分$ すれば、合成関数の微分法から
$\begin{align*} \frac{dy}{dt} &= \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \\ &= \frac{d}{dx} \int f(x) dx \cdot g'(t) \\ &= f(x) \cdot g'(t) \\ &= f(g(t))g'(t) \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$

$\int \frac{ f'(x) } { f(x) } dx = \log|f(x)| + C$

不定積分
$\int \frac{ f'(x) } { f(x) } dx$
を求める。 $y=f(x)とおくと\displaystyle\frac{dy}{dx}=f'(x)$ であるから、 $f'(x) dx = dy$ と考えて
$\begin{align*} \int \frac{ f'(x) } { f(x) } dx &= \int \frac {1} {f(x)} \cdot \frac{dy}{dx} dx \\ &= \int \frac{ dy } { y } \\ &= \log |y| + C \\ &= \log |f(x)| +C \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$

部分積分法

部分積分法

$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$

積の微分法の公式 $\left\{ f(x)g(x) \right\}= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ から
$f(x)g'(x) = \left\{ f(x)g(x) \right\}' - f'(x)g(x)$
となる。この両辺を積分して
$\begin{align*} \int f(x)g'(x) dx &= \int \left( \left\{ f(x)g(x) \right\}' - f'(x)g(x) \right) dx \\ &=f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$

定積分

定積分

$f(x)$ の原始関数のひとつを $F(x)$ とすると
$\int_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$

定積分の性質

$\begin{align*} &1) \ \int_a^a f(x) dx = 0 \\ &2) \ \int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx \\ &3) \ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx +\int_c^b f(x) dx \end{align*}$

定積分の置換積分法

$x = g(t)で a=g(\alpha), b=g(\beta)$ のとき
$\int_a^b f(x) dx =\int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t) dt$

偶関数と奇関数

定義域のすべての $x$ に対して
$f(-x)=f(x)$
を満たす関数 $f(x)$ を偶関数という。偶関数 $y=f(x)$ のグラフは $y$ 軸に対して対称である。

定義域のすべての $x$ に対して
$f(-x)=-f(x)$
を満たす関数 $f(x)$ を奇関数という。奇関数 $y=f(x)$ のグラフは原点に対して対称である。

偶関数と奇関数の等式

$\begin{align*} &1) \ f(x)が偶関数のとき \int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx \\ &2) \ f(x)が奇関数のとき \int_{-a}^a f(x) dx = 0 \\ \end{align*}$

$1)$ 偶関数のときを置換積分により証明する。
$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx \\$
右辺の第 $1$ 項の定積分で $x=-t$ とおくと $\displaystyle\frac{dx}{dt} = -1$
$\begin{align*} \int_{-a}^0 f(x) dx &= \int_a^0 f(-t)(-1) dt \\ &= \int_0^a f(-t) dt \end{align*}$
偶関数のとき $f(-t)=f(t)$ より
$\begin{align*} \int_0^a f(-t) dt &= \int_0^a f(t) dt \\ &=\int _0^a f(x) dx \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$

定積分の部分積分法

$\int_a^b f(x)g'(x) dx = \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x) dx$

定積分と微分

$F(t)がf(t)$ の原始関数で、 $a$ が定数のとき
$\int_a^x f(t) dt = F(x)-F(a)$
である。この式の両辺を $x$ の関数とみて微分すると $F'(x)=f(x)$ である。よって以下がいえる。
$aが定数のとき\ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$

区分求積法と定積分

面積を求めるのに、長方形の面積の和の極限として求める方法を区分求積法という。積分の考えの生まれたもと。一般に、下記等式が成り立つ。

$\begin{align*} \int_0^1 f(x) dx &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{1}{n} \right) + f \left( \frac{2}{n} \right) + \cdots + f \left( \frac{n}{n} \right) \right\} \\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^\infty f \left(\frac{k}{n}\right) \end{align*}$

区分求積法の考えで、定積分を和の極限として表すことができる。

関数 $y=f(x)は区間 a \le x \le bをn個$ の小区間に等分し、その分点を
$a_0 = a, a_1, a_2, \cdots, a_n-1, a_n = b$
とする。この小区間の幅を $h$ とすると
$h=\frac{b-a}{n}$
である。
区間 $a_{k-1} \le x \le a_kにある任意のx_kに対する値f(x_k)をとり$
$S_n = \sum_k=1^n f(x_k)h= f(x_1)h + f(x_2)h + \cdots +f(x_n)h$
と考えると、関数と $x$ 軸で挟む部分の長方形の面積の和を表している。
ここで $n$ を限りなく大きくすると、 $S_nは曲線y=f(x)とx軸および2直線x=a, x=bで$ 囲まれた部分の面積に近づくから
$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)h$
$f(x) \ge 0$ でないときや、 $a\ge b$ のときも成り立つ。

定積分と不等式

区分求積法の考えから、 $a\lt b$ のとき、次の性質が導かれる。

$\begin{align*} 1) &\ 区間 a \le x \le bでf(x) \ge 0 ならば \\ &\int_a^b f(x) dx \ge 0 \\ & 等号が成り立つのはつねにf(x)=0の場合 \\ 2) & \ 区間 a \le x \le bでf(x) \ge g(x) ならば \\ & \int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx \\ & 等号が成り立つのはつねにf(x)=g(x)の場合 \\ 3) & \ 区間 a \le x \le bでm \le f(x) \le M ならば \\ & m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) \\ \end{align*}$

$\displaystyle\int_a^{g(x)} f(t)dt$ とその導関数

$aが定数のとき\int_a^{g(x)} f(t)dtの導関数$ は次のように求めることができる。
$g(x)=uとおくと\int_a^{g(x)} f(t)dt=\int_a^u f(t)dt$ と表されるから、 $x$ で微分すると合成関数の微分法により

$\begin{align*} \frac{d}{dx} \int_a^{g(x)} f(t) dt &= \frac{d}{du} \int_a^u f(t)dt\cdot\frac{du}{dx} \\ &=f(g(x))g'(x) \end{align*}$

面積

$1) \ a \le x \le b$ で $f(x) \ge 0$ のとき曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸及び $2$ 直線 $x=a, x=b$ とで囲まれた部分の面積
$S = \int_a^b f(x) dx$

$2) \ a \le x \le bでf(x) \ge g(x)$ のとき $2$ つの曲線 $y=f(x), y=g(x)$ と及び $2$ 直線 $x=a, x=b$ とで囲まれた部分の面積
$S = \int_a^b \left\{ f(x) -g(x) \right\}dx$

$c \le y \le dでg(y)\ge 0$ のとき曲線 $x=g(y)$ と $y$ 軸および $2$ 直線 $y=c, y=d$ とで囲まれた部分の面積
$S = \int_c^d g(y) dy$

体積

立体の体積

$a \lt b$ のとき
$V=\int_a^b S(x) dx$

$1$ つの立体を考え、適当な $1$ 直線を取ってそれが $x$ 軸となるように座標を定める。座標 $x$ の点で $x$ 軸に垂直に立てた平面で立体をきったときの切り口の面積を $S(x)$ とする。
$a \lt b$ のとき、座標 $a,b$ の $2$ 点で、 $x$ 軸に垂直に立てた平面の間にある部分の体積 $V$ を $S(x)$ で表す。
$a \le x \le b$ のとき、座標 $a, x$ の $2$ 点で、 $x$ 軸に垂直に立てた $2$ 平面の間にある部分の体積は $x$ の関数だから $V(x)$ で表すことができる。 $V(x)$ がわかれば求める体積は
$V=V(b)$
として得られる。

$xの増分を\Delta x$ とし、これに対する $V(x)$ の増分を $\Delta V$ とすると、 $\Delta V$ は座標 $x, x+\Delta x$ の2点で $x$ 軸に垂直に立てた $2$ 平面の間にある部分の体積となる。

$\Delta V$ は $\Delta x$ が小さければ底面積 $S(x)$ 、厚さ $\Delta x$ の薄板の体積にほとんど等しい。そこで $\Delta x$ を限りなく $0$ に近づけると $\displaystyle\frac{\Delta V}{\Delta x}$ は $S(x)$ に近づくから
$V'(x) = \lim_{\Delta xto0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = S(x)$
となる。
すなわち $V(x)はS(x)$ の原始関数である。
ここで
$V=V(b), V(a)=0$
だから
$V=V(b)-V(a) = \int_a^b S(x) dx$

球の体積

半径 $r$ の球の体積 $V$ を求める。

球の中心 $O$ を原点として $x$ 軸を取る。 $-r \le x \le r$ のとき、 $x$ 軸上の座標 $x$ の点を通って $x$ 軸に垂直な平面による球の切り口は半径 $\sqrt{r^2-x^2}$ の円である。この切り口の面積 $S(x)$ は
$S(x)=\pi(r^2-x^2)$
よって求める球の体積 $V$ は
$\begin{align*} V&=\int_{-r}^r \pi(r^2-x^2)dx = \pi \left[ r^2x - \frac{x^2}{3} \right]_{-r}^r \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align*}$

角錐の体積

底面積 $S$ 、高さ $h$ の角錐の体積 $V$ を求める。

角錐の頂点 $O$ を原点とし、底面に垂直な直線を $x$ 軸とする。 $0 \le x \le h$ のとき、 $x$ 軸上の座標 $x$ の点を通って $x$ 軸に垂直な平面による角錐の切り口の面積を $S(x)$ とする。
この切り口と底面は相似で、相似比は $x:h$ であるから
$S(x):S = x^2:h^2$
したがって
$S(x)=\frac{S}{h^2}x^2$
よって
$\begin{align*} V&=\int_0^h \frac{S}{h^2}x^2dx = \frac{S}{h^2} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^h \\ &=\frac{1}{3} Sh \end{align*}$

回転体の体積

回転体の体積

$a \lt b$ のとき
$V=\pi \int_a^b y^2 dx = \pi \int_a^b \left\{ f(x) \right\}^2 dx$

平面上にある図形を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積について考える。
$a\lt b$ のとき、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸および $2$ 直線 $x=a, x=b$ とで囲まれた図形を、 $s$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を $V$ とする。
$x$ 軸上の座標 $x$ の点で、 $x$ 軸に垂直な平面で立体を切ったときの切り口は、半径 $|f(x)|$ の円になる。その切り口の面積 $S(x)$ は
$S(x)=\pi\left\{ f(x) \right\}^2$
となる。体積 $V$ は次のようになる
$V=\pi \int_a^b y^2 dx = \pi \int_a^b \left\{ f(x) \right\}^2 dx$
$\tag*{$\blacksquare$}$

円錐の体積

底面の半径が $r$ 、高さが $h$ の直円錐は、 $2$ 直線
$y=\frac{r}{h} x, \quad x=h$
と $x$ 軸とで囲まれた図形を、 $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる立体である。

求める体積を $V$ とすると
$\begin{align*} V&=\pi \int_0^h \left( \frac{r}{h} x \right)^2 dx \\ &=\pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^h \\ &=\frac{1}{3}\pi r^2 h \end{align*}$

$y$ 軸回りに回転した立体の体積

$c \lt d$ のとき、曲線 $x=g(y)$ と $y$ 軸および $2$ 直線 $y=c, y=d$ とで囲まれた図形を、 $y$ 軸回りに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ は
$V=\pi \int_c^d x^2 dy = \pi \int_c^d \left\{ g(y) \right\}^2 dy$

曲線の長さ

曲線の長さ $(1)$

曲線上の点が媒介変数tを使って $x=f(t), y=g(t) \quad ( t_1 \le t \le t_2 )$ と表されているとき曲線の長さ $L$ は
$L=\int_{t1}^{t2}\sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } dt$

曲線の長さ $(2)$

曲線 $y=f(x)$ を媒介変数 $t$ で $y=t, y=f(t)$ と表されているとき曲線の長さ $L$ は
$L=\int_{a}^{b}\sqrt{ 1 + \left\{ f'(x) \right\}^2 }$

曲線の長さ $(1)$

曲線上の点が媒介変数 $t$ を使って
$x=f(t), y=g(t) \quad ( t_1 \le t \le t_2 )$
と表されているとき、曲線の長さ $L$ を求める。

$t$ の増分 $\Delta t$ に対する $L, x, y$ の増分をそれぞれ $\Delta L, \Delta x, \Delta y$ で表す。 $\Delta t$ が極めて小さければ
$\Delta L \fallingdotseq \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 }$
と考えて良いから
$\frac{\Delta L}{\Delta t} \fallingdotseq \sqrt{ \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta t} \right)^2 }$
ここで $\Delta t \to 0$ とすると $\displaystyle\frac{ \Delta x }{ \Delta t } = \frac {dx}{dt}, \frac{ \Delta y }{ \Delta t } = \frac{dy}{dt}$ だから
$\frac{dL}{dt} = \lim_{\Delta t\to0} \frac{\Delta L }{\Delta t} = \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \tag*{$\blacksquare$}$

曲線の長さ $(2)$

曲線 $y=f(x)$ を媒介変数 $t$ で
$y=t, y=f(t)$
と表されているとき曲線の長さ $L$ を求める。
$\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}=f'(x)$
曲線の長さ $(1)$ より
$\sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } = \sqrt{ 1 + \left\{ f'(x) \right\}^2 } dx \tag*{$\blacksquare$}$

円周

$r$ を正の定数としたとき、円
$x= r\cos \theta, y=r \sin \theta \quad (0 \le \theta \le 2\pi)$
の周の長さ $L$ を求める。
$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 } d\theta \\ \frac{dx}{d\theta} = -r \sin \theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = r \sin \theta$
よって
$\begin{align*} L &= \int_0^{2\pi} \sqrt{ (-r\sin \theta)^2 + (r\cos \theta)^2 } d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} \sqrt{ r^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)} d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} r d\theta \\ &=2\pi r \end{align*}$

サイクロイド

$a$ を正の整数としたとき、サイクロイド
$x= a(\theta - \sin \theta), y=a (1 - \cos \theta) \quad (0 \le \theta \le 2\pi)$
の長さ $L$ を求める。

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 } d\theta \\ \frac{dx}{d\theta} = a ( 1-cos\theta), \quad \frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$
よって
$\begin{align*} L &= \int_0^{2\pi} \sqrt{ (a ( 1-cos\theta))^2 + (a \sin \theta)^2 } d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} a \sqrt{ (\sin^2\theta + 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta )} d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} a \sqrt{ 2 - 2\cos\theta } d\theta \\ \end{align*}$
三角関数の半角の公式 $\displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}$ より
$2-2\cos\theta = 4\sin^2\frac{\theta}{2}$
$- \le \theta \le 2\piで\displaystyle\sin\frac{\theta}{2}\ge0$ なので
$\begin{align*} L&=\int_0^{2\pi} 2\sin \frac{\theta}{2} d\theta \\ &= a\left[ -4 \cos \frac{\theta}{2} \right]_0^{2\pi} \\ &=a(-4 \cdot (-1 - 1)) \\ &=8a \end{align*}$

懸垂線

曲線
$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
の $-a \le x \le a$ の部分の長さ $L$ を求める。
$y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
より
$\begin{align*} \sqrt{1+{y'}^2} &= \sqrt{1+ \left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{ \frac{4 +e^{2x} -2 + e^{-2x} } { 4 } } \\ &= \sqrt{ \left(\frac{ e^x + e^{-x} }{ 2 } \right)^2} \\ &= \frac{ e^x + e^{-x} }{ 2 } \end{align*}$
である。この曲線は $y$ 軸に関して対称であるから
$\begin{align*} L&=2\int_0^a \frac{e^x+e^{-x}}{2} dx \\ &=\left[ e^x - e^{-x} \right] \\ &=e^a - e^{-a} \end{align*}$

道のり

平面上を動く点 $P$ の時刻 $t$ における座標を $(x,y)$ とすると、この点の速度 $\vec v$ とその大きさ $|\vec v|$ は
$\vec v = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right), \quad |\vec v| = \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }$
となる。この点 $P$ が時刻 $t_1$ から $t$ までに動いた道のり $s$ は $t$ の関数である。
$t$ を媒介変数と見れば、点の動いた道のり $s$ は曲線の長さだから $\displaystyle\frac{ds}{dt}=|\vec v|$ となる。
したがって時刻 $t=t_1からt=t_2$ までに動いた道のり $s$ は
$s=\int_{t_1}^{t_2} |\vec v|dt = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } dt$