高校数学 - 図形と方程式

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第20回は図形と方程式です。

実はこの単元に入る前は、数学Aの図形の性質っていうのがあるんですね。まとめてみたものの、図形を描くのが量が多くて大変で、ついつい楽な方からアップしています。というわけで、あともう少しで高校数学の復習は終わる予定です。早く次のステップに進みたい…

• • • 教材
    • 図形と方程式
      • 点と直線
        • 直線上の点の座標
        • 平面上の点の座標
        • 直線の方程式
        • 2直線の平行・垂直
      • 円と直線
        • 円の方程式
        • 円と直線
      • 軌跡と領域
        • 軌跡と領域
        • 不等式の表す領域

教材

• 新編 数学II 平成26年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2013-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-04563-0
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第2章 図形と方程式
第1節 点と直線
1. 直線上の点の座標
2. 平面上の点の座標
3. 直線の方程式
4. 2直線の平行・垂直
第2節 円と直線
1. 円の方程式
2. 円と直線
第3節 軌跡と領域
1. 軌跡と領域
2. 不等式の表す領域

図形と方程式

点と直線

直線上の点の座標

• 座標

数直線上の点$P$を表す実数$x$を点$P$の座標といい、座標が$x$である点を$P(x)$と表す。

• 距離

数直線上に$2$点$A, B$があるとき$2$点間の距離は$AB=|b-a|$である。

• 内分

線分$AB$に点$P$があって$AP:PB=m:n$が成り立つとき点$P$は線分$AB$を$m:n$に内分するという。
一般に$2点A(a), B(b)$について線分$AB$を$m:n$に内分する点$P$の座標は
$$\frac{na+mb}{m+n}$$
とくに線分$AB$の中点の座標は$AB$を$1:1$に内分する点であるからその座標は
$$\frac{a+b}{2}$$

• 外分

線分$AB$の延長上に点$Q$があって$AQ:QB=m:n$が成り立つとき点$P$は線分$AB$を$m:n$に外分するという。
一般に$2点A(a), B(b)$について線分$AB$を$m:n$に外分する点$Q$の座標は
$$\frac{-na+mb}{m-n}$$

平面上の点の座標

• 平面座標

平面座標上の点$P$の位置は、実数$(a,b)$の組で決まり、点$P(a,b)$で表す。

• 平面座標は$x$軸、$y$軸によって$4$つの部分に分けられる。$x,y$ともに正の範囲から反時計回りに、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限という。

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• 平面上の$2$点間の距離

$2点(x_1, y_1), B(x_2, y_2)間の距離AB$は
$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$$
とくに原点$O$と点$A(x_1, y_1)$との距離$OA$は
$$OA=\sqrt{ {x_1}^2+{y_1}^2 }$$

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• 中線定理の座標を利用した証明

中線定理は、$\triangle ABC$の辺$BC$の中点を$M$とすると下記が成り立つ、という定理である。
$$AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2)$$

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線分$BC$の中点が$M$だから、点$M$を原点に取ると、点$B,C$は原点に対して対象な位置となる。中点$M$を原点とし、直線$BC$を$x$軸上に取り、点$B,C$の座標は$B(-c,0), C(c, 0)$とする。
点$A$の座標を$(a,b)$とすると
$$\begin{align*} AB^2+AC^2 &= \left\{ (-c-a)^2+(0-b)^2 \right\}+\left\{ (c-a)^2+(0-b)^2 \right\} \\ &=(c+a)^2+(c-a)^2+2b^2 \\ &=2(a^2 + b^2 + c^2) \end{align*}$$
$$\begin{align*} 2(AM^2+AM^2) &= 2 \left\{ (a^2+b^2)^2 + c^2 \right\} \quad (\because 原点Mから点Aの距離) \\ &=2(a^2 + b^2 + c^2) \end{align*}$$
よって$AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2)$
$\tag*{$\blacksquare$}$

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• 平面上の内分・外分

$2点A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$に対して線分$AB$を
$m:nに内分する点の座標は\displaystyle \left( \frac { nx_1+mx_2 }{ m+n }, \frac { ny_1+my_2 }{ m+n } \right)$
$m:nに外分する点の座標は\displaystyle \left( \frac { -nx_1+mx_2 }{ m-n }, \frac { -ny_1+my_2 }{ m-n } \right)$

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• 三角形の重心

$\triangle ABC$の重心の座標は
$$\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$$

直線の方程式

• 直線の方程式

一般に傾きが$m$で$y$軸と点$(0,n)$で交わる直線は$1次方程式y=mx+n$で表される。この直線を直線$y=mx+n$といい、$y=mx+n$をこの直線の方程式という。

• $1$点と傾きが与えられた直線

点$(x_1, y_1)$を通り、傾き$m$の直線の方程式は
$$y-y_1 = m(x-x_1)$$

• $2$点を通る直線

$2点(x_1, y_1), (x_2, y_2)$を通る直線の方程式は
$$\begin{align*} x_1\neq x_2のとき \ &y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \\ x_1 = x_2のとき \ &x=x_1 \end{align*}$$

2直線の平行・垂直

• $2$直線の平行

$$2直線 \ y=mx+n, y=m'x+n'が平行 \iff m=m'$$

• $2$直線の垂直

$$2直線 \ y=mx+n, y=m'x+n'が垂直 \iff mm'=-1$$

• 点と直線の距離

$1$点から直線へ引いた垂線の長さを点と直線の距離という。

$点A(x_1,y_1)と直線ax+by+c=0の距離d$は
$$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
とくに$原点Oと直線ax+by+c=0の距離d$は
$$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

円と直線

円の方程式

• 円の方程式

中心$(a,b)$, 半径$r$の円の方程式は
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
とくに中心が原点、半径$r$の円の方程式は
$$x^2+y^2=r^2$$

円と直線

• 円と直線の共有点の座標

円と直線の共有点の座標を求めるためには、円と直線の方程式を連立方程式として、その実数解を求める。

• 円と直線の位置関係

円と直線の共有点の個数は、それらの方程式から一つの文字を消去して得られる$2$次方程式の異なる実数解の個数と同じ。

$2$次方程式の判別式を$D=b^2-4ac$とすると以下が成り立つ。
$$\begin{align*} D \gt 0 &\iff 共有点は2個. 異なる2点で交わる \\ D=0 &\iff 共有点は1個. 接する \\ D \lt 9 &\iff 共有点0個. 共有点を持たない \end{align*}$$

また、半径$r$の円の中心$O$から直線$L$までの距離を$d$とすると以下が成り立つ。
$$\begin{align*} d \lt r &\iff 共有点は2個. 異なる2点で交わる \\ d=r &\iff 共有点は1個. 接する \\ d \gt r &\iff 共有点0個. 共有点を持たない \end{align*}$$

• 円の接線

円$x^2+y^2=r^2$の点$(x_1,y_1)$における接線の方程式は
$$x_1x+y_1y=r^2$$

軌跡と領域

軌跡と領域

• 軌跡

平面上で与えられた条件を満たす点全体の集合が作る図形を、この条件を満たす軌跡という。

例) 円
平面上で、定点$C$から一定の距離rにある点$P$の軌跡は、点$C$を中心とする半径$r$の円である。

例) 直線
平面上で、$2$定点$A,B$から等距離にある点$P$の軌跡は、線分$AB$の垂直二等分線である。

• アポロニウスの円

$m\gt0, n\gt0$のとき、平面上の$2点A,B$に対して$AP:BP=m:n$を満たす点$P$の軌跡は
$1) \ m\neq n$のとき、線分$AB$を$m:n$に内分する点と外分する点を直径の両端とする円 (アポロニウスの円)
$2) \ m=n$のとき、垂直二等分線

不等式の表す領域

$x, y$の不等式があるとき、座標平面上でその不等式を満たす点$(x,y)$の集合を、不等式の表す領域という。

• $y \gt mx+n, y \lt mx+n$の表す領域

$不等式y \gt mx+nの表す領域は直線y=mx+nの上側$
$不等式y \lt mx+nの表す領域は直線y=mx+nの下側$

• 円の内部と外部

$x^2+y^2 \lt r^2の表す領域は円x^2+y^2=r^2の内部$
$x^2+y^2 \gt r^2の表す領域は円x^2+y^2=r^2の外部$

• 連立不等式の表す領域

いくつかの不等式を同時に満たす点の集合を、その連立不等式の表す領域という。