線形代数入門 書籍 線形代数がわかる(4) 行列の特性を引き出す

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。ポイントだけを残していきます。

今回は線形代数入門 第4回(最終回)です。今回はテキストの第4章 行列の特性を引き出すです。一週間くらいで終わるかな、と思っていたんですが、やはり結構かかってしまいました。でもしっかり理解できた気がします。線形代数は解析学や統計学でも頻出する数学の道具なので、先にやる意味が強くあったと思います。ああ、他の科目もまだまだ控えてるんだなぁ…

• • • 教材
    • 行列の特性を引き出す
      • 4-1 固有値と固有ベクトル
      • 4-2 対角化とは
        • 対角化の応用 フィボナッチ数列
        • n × n行列の対角化

教材

• First Book 線形代数がわかる
  
  著者: 中村厚、戸田晃一
  出版社: 技術評論社
  発行日: 2010-9-25
  ISBN: ISBN978-4-7741-4346-0
  価格: C3041 ￥1780E
  書籍サイト: 線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)
  
  学習範囲 (太文字の章節がこの記事の対象)
  序章 プロローグ
  ベクトルとは
  線形代数の意味
  行列と行列式
  物理と線形代数
  第1章 ベクトルとスカラー
  1-1 ベクトルのすみか
  1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差
  1-3 基底ベクトル
  1-4 内積
  1-5 外積
  第2章 行列と連立一次方程式
  2-1 行列とその演算
  2-2 連立一次方程式とガウスの消去法
  2-3 逆行列
  2-4 逆行列がない!
  第3章 行列式とその応用**
  3-1 行列式って何?
  3-2 行列式の仕組み
  第4章 行列の特性を引き出す
  4-1 固有値と固有ベクトル
  4-2 対角化とは

行列の特性を引き出す

4-1 固有値と固有ベクトル

• 固有ベクトル、固有値
  あるベクトルをある行列により変換したときに、方向が同じとなるベクトルをその行列の固有ベクトルという。またその行列で変換したときに変わるベクトルの大きさを固有値という。

• 固有値の求め方
  行列$A$の固有値を$\lambda$、固有ベクトルを$\boldsymbol{v}$とする。固有ベクトルに行列をかけるとそのベクトルに固有値$\lambda$倍したベクトルとなるので
  $$A\boldsymbol {v} = \lambda\boldsymbol{v}$$
  である。これより
  $$\begin{align*} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &= \lambda \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \\ &=\lambda \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \quad (右辺に単位行列をかける) \\ \end{align*}$$
  これより
  $$\begin{align*} & \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \iff \\ &\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) - \lambda \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \iff \\ &\left( \begin{array}{cc} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \tag{1} \end{align*}$$
  ここで
  $$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$$
  はこの連立方程式の自明な解であるが、$\boldsymbol{0}$ベクトルは固有ベクトルになりえないので、自明な解以外を探す。このとき連立方程式が自明な解以外をもつためのの条件は、$(1)$の左辺の行列が非正則行列であること、すなわち逆行列がないこと(行列式が$0$)こと。すなわち(1)より行列式を求める式は以下となり、これを固有方程式という。
  $$|A-\lambda E|=0$$
  ここで$\lambda$は下記方程式の解となる。
  $$\begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ (a-\lambda)(d-\lambda)=0$$
  これは$\lambda$に関する2次方程式であり、虚数解を含む。解が虚数のときは固有ベクトルは$xy$平面では図示できない。
  また重解を持つときは、固有ベクトルが0となる、すなわちどんなものでも固有ベクトルになる場合と、固有ベクトルが存在する場合がある。

• まとめ
  行列$A$の固有値は、固有方程式
  $$|A - \lambda E| = 0$$
  の解$\lambda$である。それぞれの固有値に対して固有ベクトル$\boldsymbol V$の方向が定まり、
  $$A\boldsymbol{V} = \lambda \boldsymbol V$$
  のように、行列$A$は固有ベクトルの方向を向いたベクトルを$\lambda$倍する。

4-2 対角化とは

例)
行列
$$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array} \right)$$
の固有値を求める。固有方程式より
$$\begin{align*} (1-\lambda)(2-\lambda) - 12 &= 0 \iff \\ \lambda^2 -3\lambda -10 &= 0 \iff \\ (\lambda - 5)(\lambda + 2) &= 0 \iff \\ \lambda = 5, -2 & \end{align*}$$
また固有ベクトルは
$$\left( \begin{array}{cc} 1-\lambda & 4 \\ 3 & 2-\lambda \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$$
に$\lambda$を代入し
$\lambda=5$のとき
$$\begin{align*} &\left( \begin{array}{cc} 1-5 & 4 \\ 3 & 2-5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \iff \\ &\left( \begin{array}{cc} -4 & 4 \\ 3 & -3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \iff \\ &-4x+4y=0 \iff \\ &y=x \iff \\ &この固有ベクトルは \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \tag{2} \end{align*}$$
$\lambda=-2$のとき
$$\begin{align*} &\left( \begin{array}{cc} 1+2 & 4 \\ 3 & 2+2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \iff \\ &\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \iff \\ &3x+4y = 0 \iff \\ &この固有ベクトルは \left( \begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array} \right) \tag{3} \end{align*}$$
よって固有値と固有ベクトルの関係は
$$\begin{align*} &\left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) = 5 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ &\left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array} \right) = -2 \left( \begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array} \right) \end{align*}$$
となり、これを1つの式にまとめる。まず、固有ベクトルをならべた以下の行列$P$を考える。
$$P= \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 & -3 \end{array} \right)$$
この行列にもとの行列Aを左から掛ける。
$$\begin{align*} AP &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 & -3 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} 1 \times 1 + 4 \times 1 & 1 \times 4 + 4 \times (-3) \\ 3 \times 1 + 2 \times 1 & 3 \times 4 + 2 \times (-3) \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ 5 & 6 \end{array} \right) \end{align*}$$

まとめると以下のようにかける (ここで登場する最後の項の行列が意味不明。どうやって作ったの?)
$$\left( \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ 5 & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 & -3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right)$$

---

ここで、式をまとめるときの考え方の説明がなく、突然新しく数値の入った行列が登場する。なぜ新しい値の入った行列が出てくるのか意味をつかむことができない。
なお、線型代数［改訂版］｜日本評論社のp.61-62にかけての説明を読むとやりたそうなことは理解できた。固有値を対角に並べた行列を対角行列といい、その解説を具体的な数字がはいった行列でしたかったようだ。しかしそのことも書いていないので、私のような入門レベルの読者は意味がつかめず、頭を悩ますことになった。何が入門なのか… Aくんがわからないのも当然だ。えーっと、そうですね、しか言ってなくって、せっかく最後なんだからちょっとはわかったことを言わせてあげてよ、とかおもっちゃう。

---

ここで、対角線上にのみ成分を持つ行列を対角行列という。
対角行列を$D$とすると先の例
$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 & -3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ 5 & 6 \end{array} \right)$$
より
$$AP=PD$$
である。すなわち
$$P^{-1}AP=P^{-1}PD \iff \\ P^{-1}AP=D$$
である。ある行列を正則行列とその逆行列ではさんで変形することを、行列の相似変形という。また相似変形をして対角行列にすることを対角化という。

対角化の応用 フィボナッチ数列

• フィボナッチ数列
  以下の漸化式で定義される数列。$n$番目のフィボナッチ数を$F_n$とする。
  $$\begin{align*} F_0 &= 0 \\ F_1 &= 1 \\ F_{n + 2} &= F_n + F_{n + 1} \quad (n \ge 0) \end{align*}$$

• 行列によるフィボナッチ数の算出
  フィボナッチ数列を作る漸化式$f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$と、式$f_n=f_n$により行列を作成する。
  $$\left( \begin{array}{cc} f_{n+1} \\ f_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} f_{n} + f_{n-1} \\ f_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 &0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} f_{n-1} \\ f_n \end{array} \right)$$
  ここで行列$A$、ベクトル$\boldsymbol V$を
  $$A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 &0 \end{array} \right), \quad \boldsymbol V_n = \left( \begin{array}{cc} f_{n-1} \\ f_n \end{array} \right)$$
  とすると
  $$\boldsymbol {V_n}=A\boldsymbol V_{n-1}$$
  とかける。ここで
  $$\boldsymbol {V_n}=A\boldsymbol V_{n-1} = A^2\boldsymbol V_{n-2} = \cdots = A^n\boldsymbol V_0$$
  である。
  $V_n$を求めるため、$A$を対角化する。固有方程式$|A-\lambda E| =0$より
  $$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 1 & - \lambda \end{vmatrix} = 0 \iff \\ (1-\lambda)(-\lambda) - 1 = 0 \iff \\ \lambda ^2 - \lambda -1 = 0$$
  これより
  $$\lambda = \frac{1\pm \sqrt{1-4\times 1\times (-1)}}{2} = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \\ \lambda_{+} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_{-} =\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ $$
  である。($\lambda_{+}$を黄金比という)
  次に$\lambda_{+}, \lambda_{-}$の固有ベクトル$\boldsymbol v$を求める。$A\boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{v}$より
  $$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 &0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right) = \lambda_{\pm} \left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right) \iff \\ \left\{ \begin{array}{l} x +y = \lambda_{\pm} x \\ x = \lambda_{\pm} y \end{array} \right.$$
  これより
  $$y=1, \quad x = \lambda_{\pm}$$
  よって固有ベクトルは
  $$\left( \begin{array}{cc} \lambda_{+} \\ 1 \end{array} \right), \quad \left( \begin{array}{cc} \lambda_{-} \\ 1 \end{array} \right)$$
  である。固有ベクトルをまとめた行列$P$、対角行列を$D$として
  $$P = \left( \begin{array}{cc} \lambda_{+} & \lambda_{-} \\ 1 & 1 \end{array} \right)$$
  より
  $$AP=P \left( \begin{array}{cc} \lambda_{+} & 0 \\ 0 & \lambda_{-} \end{array} \right) \iff \\ P^{-1}AP = \left( \begin{array}{cc} \lambda_{+} & 0 \\ 0 & \lambda_{-} \end{array} \right) = D$$
  ここで
  $$\boldsymbol {V_n} = A^n\boldsymbol V_0$$
  より$A^n$の算出を簡易化するため、作成した対角行列を用いて計算する。具体的には
  $$P^{-1}AP=D$$
  より
  $$\begin{align*} \overbrace{(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots(P^{-1}AP)}^{n個の積}=D^n &\iff \\ P^{-1}A^nP=D^n &\iff \\ A^n=PD^nP^{-1} \end{align*}$$
  これより
  $$\begin{align*} A^n & = \left( \begin{array}{cc} \lambda_{+} & \lambda_{-} \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} {\lambda_{+}}^n & 0 \\ 0 & {\lambda_{-}}^n \end{array} \right) \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \begin{array}{cc} 1 & -\lambda_{-} \\ -1 & \lambda_{+} \end{array} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \begin{array}{cc} {\lambda_{+}}^{n+1} & {\lambda_{-}}^{n+1} \\ {\lambda_{+}}^n & {\lambda_{-}}^n \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{\lambda_{+}} \\ -1 & \frac{1}{\lambda_{-}} \end{array} \right) \\ &\quad (\because \lambda_{+} \lambda_{-} = \frac{c} {a} = -1 \implies \lambda_{+} = -\frac{1}{\lambda_{-}}, \lambda_{-} = -\frac{1}{\lambda_{+}}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \begin{array}{cc} {\lambda_{+}}^{n+1}-{\lambda_{-}}^{n+1} & {\lambda_{+}}^n - {\lambda_{-}}^n \\ {\lambda_{+}}^{n}-{\lambda_{-}}^{n} & {\lambda_{+}}^{n-1} - {\lambda_{-}}^{n-1} \end{array} \right) \end{align*}$$
  となる。これより$V_0$は
  $$\begin{align*} \boldsymbol {V_n} &= A^n\boldsymbol V_0 \\ &= \left( \begin{array}{cc} {\lambda_{+}}^{n+1}-{\lambda_{-}}^{n+1} & {\lambda_{+}}^n - {\lambda_{-}}^n \\ {\lambda_{+}}^{n}-{\lambda_{-}}^{n} & {\lambda_{+}}^{n-1} - {\lambda_{-}}^{n-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{c} {\lambda_{+}}^{n+1}-{\lambda_{-}}^{n+1} + {\lambda_{+}}^n - {\lambda_{-}}^n \\ {\lambda_{+}}^n - {\lambda_{-}}^n + {\lambda_{+}}^{n-1} - {\lambda_{-}}^{n-1} \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{c} {\lambda_{+}}^{n+2}-{\lambda_{-}}^{n+2} \\ {\lambda_{+}}^{n+1}-{\lambda_{-}}^{n+1} \end{array} \right) \\ \end{align*}$$
  ここで$\lambda ^2 - \lambda - 1 = 0 \implies \lambda+1=\lambda^2$より
  $$\begin{align*} {\lambda_{+}}^{n+1}+{\lambda_{+}}^{n} &= {\lambda_{+}}^n({\lambda_{+}} + 1) \\ &= {\lambda_{+}}^n{\lambda_{+}}^2 \\ &= {\lambda_{+}}^{n+2} \end{align*}$$
  さて、ここで${\lambda{-}}^n$の極限値を求める。
  $$|\lambda_-| =\left| \frac{1-\sqrt 5}{2} \right| \fallingdotseq \frac{2.236-1}{2} = \frac{1.236}{2} \lt 1$$
  よって
  $$\lim_{n\to \infty}{\lambda_{-}}^n = 0$$
  となる。十分大きい$n$に対して$V_n$は$\lambda_-$の項を無視することができ、
  $$V_n \to \frac{1}{\sqrt 5} \left( \begin{array}{c} {\lambda_{+}}^{n+2} \\ {\lambda_{+}}^{n+1} \end{array} \right) \\ $$
  である。ベクトルの成分の比は十分大きな$n$に対して
  $$\frac{f_{n+1}}{f_n}=\frac{{\lambda_{+}}^{n+2}}{{\lambda_{+}}^{n+1}} =\lambda_{+} =\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

n × n行列の対角化

n次正方行列でも2次正方行列と同様に対角化ができることを説明している。

---

• まとめ 行列$A$の対角化の手順
  $A$の固有値が全て相異なるものとするとき
  
  1. 固有方程式$|A - \lambda E|=0$をとき、固有値を求める。
  2. 各固有値$\lambda$に対応した固有ベクトルを並べた行列$P$を作る。
  3. ${AP}={PD}$の関係から$P^{-1} {AP} = D$となる。$D$は対角行列で、各成分は$A$の固有値である。

線形代数入門 書籍 線形代数がわかる(3) 行列式とその応用

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。ポイントだけを残していきます。

今回は線形代数入門 第3回です。今回はテキストの第3章 行列式とその応用です。第2章まででテキストは半分以上が終わりました。ここからもじっくりいきたいと思います。

行列に関して学習を進めていくと、いわゆる実数の演算とは少し趣が異なることがわかってきます。演算の特徴ってどうなっているのかな、人間が直感的に把握できる3次元を超えた次元ではどうなっているのかな、などなど。さて、もう少し行列の特徴について復習を進めます。

「逆行列の公式」では、他の書籍とはだいぶ違った説明がされていますが、私には理解ができませんでした。アマゾンのレビューでも第3章でついていけなくなる人がいたようです。同じところで引っかかったのかなぁ。
なお、線形代数の次の教科書として線型代数［改訂版］｜日本評論社を考えています。408ページもあるので大変ですが、頑張ってみたいと思います。

• • • 教材
    • 行列式とその応用
      • 3-1 行列式って何?
        • 2次正方行列の行列式
        • 3次正方行列の行列式
        • 外積と内積での行列式の考え方
        • 行列の行の入れ替え
      • 3-2 行列式の仕組み
        • 小行列式と余因子
        • 行列式の展開
        • 逆行列の公式
        • 行列の積と行列式
    • 参考サイト

教材

• First Book 線形代数がわかる
  
  著者: 中村厚、戸田晃一
  出版社: 技術評論社
  発行日: 2010-9-25
  ISBN: ISBN978-4-7741-4346-0
  価格: C3041 ￥1780E
  書籍サイト: 線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)
  
  学習範囲 (太文字の章節がこの記事の対象)
  序章 プロローグ
  ベクトルとは
  線形代数の意味
  行列と行列式
  物理と線形代数
  第1章 ベクトルとスカラー
  1-1 ベクトルのすみか
  1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差
  1-3 基底ベクトル
  1-4 内積
  1-5 外積
  第2章 行列と連立一次方程式
  2-1 行列とその演算
  2-2 連立一次方程式とガウスの消去法
  2-3 逆行列
  2-4 逆行列がない!
  第3章 行列式とその応用
  3-1 行列式って何?
  3-2 行列式の仕組み
  第4章 行列の特性を引き出す
  4-1 固有値と固有ベクトル
  4-2 対角化とは

行列式とその応用

3-1 行列式って何?

• 外積の性質
  $$A \times B = - B \times A$$

2次正方行列の行列式

• 行列式の考え方
  行列$A$において各行をベクトルと考えたとき、それらが独立かどうかを外積で判断することができる。

• 2次正方行列の行列式
  $$\begin{eqnarray*} |M| = \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{vmatrix} = m_{11} m_{22} - m_{12} m_{21} \end{eqnarray*}$$

• 転置行列
  もとの行列の行と列を入れ替えた行列を転置行列といい、以下で表す。
  $$\quad \begin{eqnarray*} M = \left( \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$ としたとき $$\begin{eqnarray*} {}^t M = \left( \begin{array}{cc} m_{11} & m_{21} \\ m_{12} & m_{22} \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$
  転置行列の行列式はもとの行列と同じ。
  $$|M | = | {}^t M|$$

3次正方行列の行列式

• 3次正方行列の行列式
  $$\begin{align*} |M| = \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{vmatrix} = \ & m_{11} m_{22} m_{33} + m_{12} m_{23} m_{31} + m_{13} m_{21} m_{32} \\ &- m_{13} m_{12} m_{21} - m_{11} m_{23} m_{32} - m_{12} m_{21} m_{33} \end{align*}$$

外積と内積での行列式の考え方

3次正方行列を3つのベクトル$\boldsymbol U, \boldsymbol V, \boldsymbol W$と考え、それらが互いに独立であるかどうかを調べる。
まず$\boldsymbol U$と$\boldsymbol V$が独立であるかを外積$\boldsymbol U \times \boldsymbol V$で調べ、さらにその外積と$\boldsymbol W$が直行しているかどうかをそれらの内積$(\boldsymbol U \times \boldsymbol V) \cdot \boldsymbol W$で調べる。これを三重積という。
求めた結果は行列式であり、$0$であれば従属、$0$でなければ独立。

行列の行の入れ替え

外積の性質$A \times B = - B \times A$より
$$(\boldsymbol U \times \boldsymbol V) \cdot \boldsymbol W = -(\boldsymbol V \times \boldsymbol U) \cdot \boldsymbol W$$
である。これは行列において第$1$行目と第$2$行目を入れ替えたものといえる。すなわち行列において行を交換すると、行列式の符号が変わる。

• 巡回置換
  $\boldsymbol U = ( m_{11} \ m_{12} \ m_{13} )$として
  $$(\boldsymbol U \times \boldsymbol V) \cdot \boldsymbol W = (\boldsymbol V \times \boldsymbol W) \cdot \boldsymbol U = (\boldsymbol W \times \boldsymbol U) \cdot \boldsymbol V$$
• 行列式の行について成り立つ関係は列に関しても成り立つ。

---

• 行列式の特徴
  
  • 行列式では行列の各行から作ったベクトルが独立かどうかを判定することができる。
  • 行列式の行を入れ替えると符号が変わる。
  • 転置行列の行列式は、もとの行列の行列式と等しい。

3-2 行列式の仕組み

小行列式と余因子

$$\begin{eqnarray*} \boldsymbol U = \left( \begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ \end{array} \right) \\ \boldsymbol V = \left( \begin{array}{ccc} m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ \end{array} \right) \\ \boldsymbol W = \left( \begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$
としたとき
$$\begin{align*} |M| = &(\boldsymbol U \times \boldsymbol V) \cdot \boldsymbol W \\ = &(m_{12} m_{23} - m_{13} m_{22}) m_{31} \\ &+ (m_{13} m_{21} - m_{11} m_{23}) m_{32} \\ &+ (m_{11} m_{22} - m_{12} m_{21}) m_{33} \\ \end{align*}$$
である。括弧内に注目するとこれは以下の行列式となっている。
$$\begin{align*} |M| &= \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} m_{12} & m_{13} \\ m_{22} & m_{23} \\ \end{vmatrix} m_{31} - \begin{vmatrix} m_{11} & m_{13} \\ m_{21} & m_{23} \\ \end{vmatrix} m_{32} + \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \\ \end{vmatrix} m_{33} \\ \end{align*}$$
$3$次正方行列の第$3$行と第$j$列を除いた部分から作成した行列式を$M$の第$(3, j)$小行列式という。また第$(3, j)$小行列式に符号$(-1)^{3+j}$をつけたものを第$(3,j)$余因子といい$\Delta_{3j}$で表す。行列式を余因子を用いて表すことを行列式を展開するという。

行列式の展開

行列式はどの行でも展開できる。行列の$(i, j)$成分$m_{ij}$の余因子を$\Delta_{ij}$で表し、展開式は以下のようにかける。
$$\begin{align*} |M| &= \Delta_{i1} m_{i1} + \Delta_{i2} m_{i2} + \Delta_{i3} m_{i3} \\ &= \sum_{j=1}^3 \Delta_{ij} m_{ij} \end{align*}$$

• クロネッカーのデルタ
  クロネッカーのデルタを下記で定義する。添字が一致したときにだけ$1$、それ以外はすべて$0$という意味。
  $$\delta_{ik} = \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad (i=k) \\ 0 \quad (i\neq k) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$
  定義より$\delta_{ij} = \delta_{ji}$である。
  クロネッカーのデルタを使って行列式を表現すると次のようになる。
  $$|M|\delta_{ik} = \sum_{j=1}^3 \Delta_{ij}m_{kj}$$

逆行列の公式

以上で下準備ができたようですが、この先の説明がわかりませんでした。p.151-154で逆行列の公式を求めるを説明しようとしているが、何を気づかせようとしているのかが見当がつきません。以下、該当部分の話の流れです。

1. 3次正方行列の第3行についての展開式を復習。
2. 1.の第1行目と第3行目が等しい成分の行列式(0になる)を作成。
3. 2.を第3行について余因子展開。
4. 1.を第3行について余因子展開。
5. 1.と2.の展開式を比較し、余因子と成分の添字が揃っていることを認識させる。
6. 2.の行列を第k行について余因子展開。
7. 1.の行列を第k行について余因子展開。
8. 「これら2つの式」が似ていることを認識させる。どの2つの式のこと?
9. クロネッカーのデルタが登場。
10. クロネッカーのデルタで1つのまとめてかける事を主張。
11. クロネッカーのデルタで「これら2つの式」をまとめて書く。
12. クロネッカーのデルタで逆行列を表現。

2.で考えようとしている行列の意味や、8で似ているといっているものや、何と何を合わせてまとめるのか、なぜまとめることができるのか、つかむことができません。学生のAくん、よくついていけるなぁ、とおもったけど、ついていってなさげなのがまたこのテキストのいいところ。
12.ではクロネッカーのデルタを単位行列ととらえ、逆行列の公式を導出したことになっているが、途中経路が負えないため、理解不能でした。きっと何かに気づかせようとしてくれているんだろうけど、気づくことができませんでした。残念です。
なお、一般的な教科書では置換、互換を使った行列式の定義がされています。そのほうがわかりやすい気がします。

連立方程式の解法であるクラメルの公式については参考サイト「クラメルの公式の丁寧な証明 - 理工系数学のアラカルト -」を参照のこと。

行列の積と行列式

• 行列の積と行列式
  行列$A,B$において、その積の行列式は、それぞれの行列の行列式の積と等しい。
  $$|AB|=|A||B|$$

• 置換
  $1からn$までの並びかえを以下のように書く。これを$n$文字の置換という。
  $$\sigma = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & j & \cdots & n \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(n) \end{bmatrix}$$
  例) $3文字の置換-全6$通り
  $$\begin{align*} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}, \\ &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$$
  文字の入れ替えを偶数回したものを偶置換、奇数回したものを奇置換という。

• $\operatorname{sgn}関数$
  ある置換が偶置換か奇置換かにより値が決まる関数を$\operatorname{sgn}$関数という。
  $$\operatorname{sgn} \sigma = \begin{cases} 1 & (偶置換) \\ -1 & (奇置換) \end{cases}$$

• $n \times n$の行列式
  置換と$\operatorname{sgn}$を用いて下記で表す。
  $$|m| = \sum_{\sigma}^N \operatorname{sgn} \sigma m_{1\sigma(1)}m_{2\sigma(2)} \cdots m_{n\sigma(n)}$$

---

• 行列式は、各行あるいは各列について展開できる。
• 逆行列を明示的に求める公式がある。(クラメルの公式。ただし計算量が多く、ガウスの消去法で求めるほうが効率的)
• 正方行列の積の行列式はそれぞれの行列式の積。

参考サイト

• クラメルの公式の丁寧な証明 - 理工系数学のアラカルト -
  クラメルの公式がすごく理解しやすい記事です。

線形代数入門 書籍 線形代数がわかる(2) 行列と連立1次方程式

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。ポイントだけを残していきます。

今回は線形代数入門 第2回、テキストの第2章 行列と連立一次方程式です。ついに憧れ(?!)の行列登場です。そして行列を使ったガウスの掃き出し法による連立一次方程式の解法です。

テキストでは、逆行列が存在しない行列を具体例で解説しているので、抽象的な内容がとてもわかりやすくなっています。またコラムも本文にとても関連があることで、発展的な内容を含んでいてとてもためになります。核とかしっかり調べてみたら代数学にあるんですね。すっかり忘れていましたよ、ほんと。

久しぶりに行列で連立方程式をときました。むかし初めて行列で連立一次方程式を説いたときの感動がよみがえってきて、とても新鮮な気持ちに慣れました。さぁ、あなたもどうですか? (謎 ではでは復習をはじめます。

• • • 教材
    • 第2章 行列と連立一次方程式
      • 2-1 行列とその演算
      • 2-2 連立一次方程式とガウスの消去法
      • 2-3 逆行列
      • 2-4 逆行列がない!
    • 参考サイト

教材

• First Book 線形代数がわかる
  
  著者: 中村厚、戸田晃一
  出版社: 技術評論社
  発行日: 2010-9-25
  ISBN: ISBN978-4-7741-4346-0
  価格: C3041 ￥1780E
  書籍サイト: 線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)
  
  学習範囲 (太文字の章節がこの記事の対象)
  序章 プロローグ
  ベクトルとは
  線形代数の意味
  行列と行列式
  物理と線形代数
  第1章 ベクトルとスカラー
  1-1 ベクトルのすみか
  1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差
  1-3 基底ベクトル
  1-4 内積
  1-5 外積
  第2章 行列と連立一次方程式
  2-1 行列とその演算
  2-2 連立一次方程式とガウスの消去法
  2-3 逆行列
  2-4 逆行列がない!
  第3章 行列式とその応用
  3-1 行列式って何?
  3-2 行列式の仕組み
  第4章 行列の特性を引き出す
  4-1 固有値と固有ベクトル
  4-2 対角化とは

第2章 行列と連立一次方程式

2-1 行列とその演算

• 行列の形
  縦に$m$個、横に$n$個の数が並んだ行列を$m行n列(m\times n)$の行列という。

• 正方行列
  行数と列数が同じ行列。$m=n$のとき。

• 行列の成分
  行列中のそれぞれの数のこと。一般に第$i$行、第$j$列といい、$(i,j)$で表す。
  例)
  $$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \end{eqnarray}$$

• 行列の和、差、スカラー倍
  行列$A,B$の形が同じならば、それぞれの同じ場所にある成分の加法・減法によって和、差が作れる。

• 行列の乗法
  $A$の列数と$B$の行数が等しいとき、積$AB$を作ることができる。積$AB,BA$がともに作れる場合でも一般に$AB\neq BA$である。この性質を行列の非可換性という。
  例)
  $$\begin{align*} AB &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -4 & 2 \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{cc} 1 \times 1+2 \times (-4) & 1 \times (-1) + 2 \times 2 \\ 3 \times 1+ 1 \times (-4) & 3 \times (-1) + 1 \times 2 \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{cc} -7 & 3 \\ -1 & -1 \end{array} \right) \\ \end{align*}$$

• 行列の乗法の書き下し
  行列$AB$の$(i,j)$成分を、$A$の$(i,k)$成分を$a_{ik}$、$B$の$(k,j)$成分を$b_{kj}$とすると
  $$ABの(i,j)成分= \sum_{k=1}^m a_{ik}b_{kj}$$
  ここで$m$は$A, B$のそれぞれ列数、行数。

• 行列の結合法則
  $$A(B+C) = AB + AC, \quad (A+B)C = AC + BC$$

2-2 連立一次方程式とガウスの消去法

• ガウスの消去法 (掃き出し法)
  連立$1$次方程式は ガウスの消去法によって解くことができる。ガウスの消去法で使われる行列の行基本変形は下記3つ。
  
  1. ある行を何倍かする
  2. ある行を何倍化して別の行に加える(別の行から引く)
  3. ある行と別の行を入れかえる

例)
下記連立1次方程式をガウスの消去法により解く。
$$\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 1 \\ 3x + y = 2 \end{array} \right. \end{align*}$$
1. 上記を行列で表現する。
$$\begin{align*} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end {array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end {array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end {array} \right) \\ \end{align*}$$
2. これを下記のようにあらわす。
$$\begin{align*} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end {array} \right) \end{align*}$$
3. $2$行目の$1$列目を$0$にするため、$1$行目に$3$を掛けて$2$行目から引く。
$$\begin{align*} &\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end {array} \right) \\ &\to \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1\\ 3 - 3 & 1 - 6 & 2 -3 \end {array} \right) = \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1\\ 0 & - 5 & -1 \end {array} \right) \end{align*}$$
4. $2$行目の$2$列目を$1$にするため、$2$行目に$\displaystyle-\frac{1}{5}$を掛ける。
$$\begin{align*} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1\\ 0 & - 5 \times \left( -\frac{1}{5} \right) & -1 \times \left( -\frac{1}{5} \right) \end {array} \right) = \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & \frac{1}{5} \end {array} \right) \end{align*}$$
4. $1$行目の$2$列目を$0$にするため、$2$行目に$2$を掛けて$1$行目から引く。
$$\begin{align*} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 - 2 & 1 - \frac{2}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} \end {array} \right) = \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} \end {array} \right) \end{align*}$$

• 単位行列
  行列の成分$(1,1)$からみた対角成分が$1$、それ以外が$0$の行列。

• 三角行列
  行列の対角線より下を$0$とした行列を上三角行列という。

• 前進消去、後進消去
  ガウスの消去法において上三角行列を作成すること。後進消去はそこから単位行列を作成すること。

• 後進代入
  前進消去が完成した段階で、一行上の方程式に最終行の解を代入し、次々と解を求めていく方法を後進代入という。

2-3 逆行列

• 逆数、単位元
  ある数$a$に掛けて$1$となる数を乗法の逆数という。また$1$を乗法の単位元という。例えば実数$a$に対して逆数$\displaystyle\frac{1}{a}$を掛けて単位元$1$を得る、などという。
  行列における単位元は単位行列。

• 逆行列
  ある$n \times n行列A$に掛けたとき、結果が$n \times n$の単位行列となる行列を逆行列といい、$A^{-1}$で表す。定義より以下が成り立つ。
  $$AA^{-1} = A^{-1}A = E$$
  また下記性質を持つ。
  $$(AB)^{-1} = B ^{-1} A^{-1}$$
  
  証明)
  $$\begin{align*} (AB)^{-1}(AB) &= (B ^{-1}A^{-1}) (AB) \\ &= B^{-1}(A^{-1}A)B \\ &= B^{-1}EB \\ &= B^{-1}B \\ &= E \\ \end{align*}$$
  また
  $$\begin{align*} (AB)(AB)^{-1} &= (AB)(B^{-1}A^{-1}) \\ &= A(BB ^{-1} )A^{-1} \\ &= AEA^{-1} \\ &= AA^{-1} \\ &= E \\ \end{align*}$$
  $\tag*{$\blacksquare$}$

---

• $n \times n行列A$の逆行列$A^{-1}$の求め方

  1. $A$と同じサイズの単位行列$E$を右側に並べ、$n \times 2n$行列を作る。
  2. この行列に対して行基本変形を行い、$A$の部分を単位行列$E$に変形する。このとき$E$部分にも同じ行基本変形を適用する。
  3. 完了したとき右側の$n \times n$部分が逆行列$A^{-1}$である。

• 基本行列
  掃き出し法で、基本変形に対応した行列を基本行列といい、$P_j$と表す。ここで$j$は変形の順番を表す数。
  基本行列$P_j$を用いてガウスの消去法を表現すると下記のようになる。
  $$\begin{align*} A & \to P_1 A \\ & \to P_2 P_1 A \\ &\quad \quad \vdots \\ & \to P_M P_{M-1} \cdots P_2 P_1 A = E \end{align*}$$
  基本行列の積$P_M P_{M-1} \cdots P_2 P_1 A$は$A$の逆行列。

• 線形写像
  $3 \times 3$行列と$3 \times 1$行列の積を考えるとき、
  $$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$
  において、$\boldsymbol x = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$を$\boldsymbol c = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$に変換する操作ととらえ、これを線形変換、または1次変換という。またあるベクトルを別のベクトルに写しているとも考えることができ、線形変換を線形写像ともいう。
  厳密な定義は別途他のテキストにあたること。

2-4 逆行列がない!

• 正則行列
  逆行列を持つ正方行列のことを正則行列という。

• 非正則行列
  逆行列を持たない正方行列のことを非正則行列という。基本変形をしてある行がすべて$0$になればその正方行列は非正則行列である。

• 連立一次方程式の解
  連立1次方程式$M\boldsymbol x=\boldsymbol a$において、正方行列$\boldsymbol M$が非正則なら解はひとつに決まらないか、または解はない。

• 核
  連立一次方程式$M \boldsymbol x = \boldsymbol a$は、$M$によって$\boldsymbol 0$に写される$\boldsymbol x$を求める問題である。このような性質を持つ$\boldsymbol x$を線形写像の核という。
  $M$が正則行列(逆行列を持つ)とすると
  $$M^{-1} M \boldsymbol x = M^{-1} \boldsymbol 0 \iff E \boldsymbol x = \boldsymbol 0 \iff \boldsymbol x = \boldsymbol 0$$
  であり、$M \boldsymbol x = \boldsymbol 0$の解は$\boldsymbol 0$だけである。これを自明な核という。
  非正則行列では、2次元の場合は解は直線などとなり、これを自明でないという。
  
  参考としてときわ台学/線形代数学入門（連立一次方程式，行列，テンソル入門)の講義ノートの目次の「2.2.3 連立方程式の解法の幾何学的な意味」を参照。参考サイトの線形代数学入門を通読したほうが理解が早い。

参考サイト

• ときわ台学/線形代数学入門（連立一次方程式，行列，テンソル入門)の講義ノートの目次
  こちらのサイトの記事もとてもわかりやすいです。今やっているテキストが終わったら、知識の整理と深掘りをするのにちょうどいい内容です。線形代数はPDFが無料で公開されています。他にも有料でPDFを公開されていらっしゃいますね。本文はインターネットのブラウザでも読めますが、読みやすさはPDFに軍配が上がります。機会があったら購入してみようと思います。本当にずいぶん助かりました。

線形代数入門 書籍 線形代数がわかる(1) ベクトルとスカラー

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。ポイントだけを残していきます。

今回から大学で学ぶ数学をやっていきます。まずは高校数学にも行列として登場していた線形代数から始めたいと思います。私の時代にはきっちり行列の演算があったんですが、いまは発展的な数学のなかで教えられているようです。学校によっては理系でも学習していないことがあるみたいですね。って年がバレるね(笑

大学での教科書は理論と計算がバリバリですが、意味的なことを吸収するのは自分で考える必要がありました。なかなか楽しかったですが、遅々として進まないことも往々にしてありました。今回の学習のために教科書として選んだこの書籍、線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)ですが、すごく難しい内容をとってもわかりやすく解説してくれています。要所要所にキーワードがうめこまれてて、インターネットで調べながら勉強すると、すごく簡単に今まで疑問だったことが理解できるようになってきました。この書籍を選んで本当によかったと思います。いい時代になりました。

私の記事では要点しか書いていませんので、読んでも「ふーん」って感じなんですが、もし線形代数が苦手な人はぜひこの書籍を手にとって読んでみてください。今までの理解を総整理でき、また目からウロコなことがたくさんあって、数学にとても親しみが持てるようになると思います。人生が豊かになること請け合いです(謎

さて、今回は「プロローグ」と「第1章 ベクトルとスカラー」です。この書籍では、高校生でも理解できるよう配慮されています。安心して取り組みましょう。

• • • 教材
    • プロローグ
    • 第1章 ベクトルとスカラー
      • 1-1 ベクトルのすみか
      • 1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差
      • 1-3 基底ベクトル
      • 1-4 内積
      • 1-5 外積
    • 参考サイト

教材

• First Book 線形代数がわかる
  
  著者: 中村厚、戸田晃一
  出版社: 技術評論社
  発行日: 2010-9-25
  ISBN: ISBN978-4-7741-4346-0
  価格: C3041 ￥1780E
  書籍サイト: 線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)
  
  学習範囲 (太文字の章節がこの記事の対象)
  序章 プロローグ
  ベクトルとは
  線形代数の意味
  行列と行列式
  物理と線形代数
  第1章 ベクトルとスカラー
  1-1 ベクトルのすみか
  1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差
  1-3 基底ベクトル
  1-4 内積
  1-5 外積
  第2章 行列と連立一次方程式
  2-1 行列とその演算
  2-2 連立一次方程式とガウスの消去法
  2-3 逆行列
  2-4 逆行列がない!
  第3章 行列式とその応用
  3-1 行列式って何?
  3-2 行列式の仕組み
  第4章 行列の特性を引き出す
  4-1 固有値と固有ベクトル
  4-2 対角化とは

プロローグ

• ベクトル
  「大きさあるいは強さ」と「方向」を持った値。

第1章 ベクトルとスカラー

1-1 ベクトルのすみか

• 次元
  ベクトルの「すみか」の広がる方向の数。

• ベクトルの成分表示

$$\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right)$$

1-2 ベクトルのスカラー倍、和と差

• スカラー量、スカラー
  成分を持たない量のこと。
  
  例) 二次元ベクトル$\boldsymbol{ a }$をスカラー倍(例では$2$倍)する。
  $$\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \boldsymbol{ b } = 2\boldsymbol{ a }= \left( \begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ \end{array} \right) \\ $$

• ベクトルの和、ベクトルの平行移動
  $$\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v } = \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \end{array} \right)$$
  平行四辺形の対角線となる。

• ベクトルの交換法則、結合法則、分配法則
  交換法則 $\quad \boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v } = \boldsymbol{ v } + \boldsymbol{ u }$
  結合法則 $\quad (\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v }) + \boldsymbol{ w } = \boldsymbol{ v } + (\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ w })$
  分配法則 $\quad k(\boldsymbol{ u } + \boldsymbol{ v }) = k\boldsymbol{ v } + k\boldsymbol{ u }$

• ベクトルの差
  $-1$倍して加えたものと考えることができる。平行四辺形の対角線となる。

1-3 基底ベクトル

• 平面の正規直交基底
  $\boldsymbol{ e_1 } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ e_2 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$を用いて任意の平面ベクトル$\boldsymbol{ v } = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)$は、以下のように表される。
  $$\boldsymbol{ v } = a \boldsymbol{ e_1 } + b \boldsymbol{ e_2 }$$

• 空間の正規直交基底
  $\boldsymbol{ e_1 } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ e_2 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ e_3 } = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$を用いて任意の平面ベクトル$\boldsymbol{ V } = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right)$は、以下のように表される。
  $$\boldsymbol{ V } = a \boldsymbol{ e_1 } + b \boldsymbol{ e_2 } + c \boldsymbol{ e_3 }$$

• 独立
  あるベクトルが、もう一方のベクトルの単なるスカラー倍でかけないとき、これらは独立であるという。

• 基底
  互いに独立で、任意のベクトルがそれらの線形結合で表されるベクトルの組のこと。

• 正規直交基底
  上記$\{e_1, e_2\}$などを指す。

1-4 内積

ここでは結論のみ記す。書籍では内積を幾何的に丁寧に求めている。

• 内積の意味
  2つのベクトルからスカラーを作成する操作。「どの方向から見ても変わらない量を取り出す=回転に対して不変な」操作と考える。

• スカラー
  回転に対して不変な量。

• 平面ベクトルの内積
  平面ベクトル$\boldsymbol{ a } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ b } = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \end{array} \right)$の内積を次のように定義する。
  $$\boldsymbol{a \cdot b} = a_1b_1 + a_2b_2$$

• 空間ベクトルの内積
  平面ベクトル$\boldsymbol{ A } = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right)$,$\ \boldsymbol{ B } = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)$の内積を次のように定義する。
  $$\boldsymbol{a \cdot b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

• ベクトルの長さ、挟む角と内積
  平面、空間いずれの場合もベクトルの長さ$|\boldsymbol{v}|$と内積には以下の関係がある。
  $$\boldsymbol{v \cdot v} = |\boldsymbol{v}|^2$$
  また2本のベクトル$\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$が挟む角$\theta$に対し、以下の関係がある。
  $$\boldsymbol{v \cdot w} = |\boldsymbol{v}| |\boldsymbol{w}| \cos \theta$$

1-5 外積

書籍では外積を幾何的に求めている。
なお、内積、外積についての詳細な解説は、もういちどだけ内積・外積 [物理のかぎしっぽ]の記事がとてもわかり易い。

• 外積の意味
  2つのベクトルからそのなす平面に垂直で、2角ベクトルのなす平行四辺形の面積の大きさを長さに持つベクトルを作成する操作。ベクトル積、直積ともいう。
  外積のベクトルの向きは第1項から第2項への向きを右ねじを回す方向と捉え、ねじの進む方向とする。このことから、外積の演算では交換法則は成り立たない。

• 空間反転
  ベクトルの成分全てに$-1$を掛けてベクトルの方向を反転させること。
  空間反転させたベクトルの外積の方向は変わらない。これを軸性ベクトル、または擬ベクトルという。

• 空間ベクトルの外積
  空間ベクトル$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$の外積$\boldsymbol{A \times B}$は
  $$\begin{align*} & \boldsymbol{A}から\boldsymbol{B}に向かって右ねじの方向を向き\\ & \boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}の作る平行四辺形の面積を長さに持つ \end{align*}$$
  擬(軸性)ベクトルである。

• 外積の計算
  $$\boldsymbol{ A \times B} = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{array} \right)$$

• $\boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}$の作る平行四辺形の面積$S$
  $\boldsymbol{A}と\boldsymbol{B}$のなす角を$\theta$とし
  $$S=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \sin \theta = |\boldsymbol{ A \times B}|$$

参考サイト

• もういちどだけ内積・外積 [物理のかぎしっぽ]

線形代数の学習を始めるにあたって

前回で一旦高校数学の復習を終えました。いくつかの単元は飛ばしましたが、ほぼ必要となる知識の総整理はできたと思います。一週間くらいでできるかな? とかおもっていましたが、途中で複素数や二項定理、図形に苦戦して、結局3週間ほどかかりましたね。でも今までの人生の中で一番深く理解できた気がするのでおけとします。

またインターネットで色々と調べ物をした結果、良質な参考サイトや、便利な数学ツールのGeoGebraなどに出会えて、とても実りの多い3週間でした。

さて、これからは代数、解析、統計をやっていきたいと思います。このあたりは理工系では理論より応用が大事だと言われている分野ですが、できる限り理論も追いかけていきたいと思います。といっても私レベルだと、まとめたメモくらいが精一杯です。数学が好きな人のサイトを読むとわかりやすいし、面白い蘊蓄満載だし、本当にためになります。

教科書探し

まずは教科書探しをしてみます。

• 線型代数のビブリオグラフィー [数学についてのwebノート]
• 線形代数学入門のための教科書談義 - とね日記

よい教科書はよいようですね。このレベルになってくるとやたら難しいことだけ書いている本があるんですが、大学初年度などでは面食らって取り組みにくいものですね。かくいう私もなるべくわかりやすい本を探した記憶があります。とおいきおく…

まずは教科書

で、線形代数なんてすっかり忘れていて、高校レベルからできそうな、線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社 (amazon)を教科書として使うことにしました。
基礎的な概念や計算力が大事だと思うので、自分が理解できそうなものを選んでみました。インターネットでも結構評判は良さそうです。ただし、当然ながら大学初年度以降の内容は余り含まれていないので、それはまた別に探す必要があります。

教科書の目次

線形代数がわかる：書籍案内｜技術評論社では、対話形式で線形代数の学習をするときに、ポイントとなることや引っかかりそうなことを話題にして、話をすすめるスタイルです。
登場人物は学生と先生なんですが、この学生がなんともいい味を出しています。前回の章で学習したことを忘れていたり、わかったような、わからないような生返事がおおかったりと、なかなかしびれます。まるで自分を見ているよう… 先生の忍耐力、すばらしい大人力です!

序章　プロローグ

第1章　ベクトルとスカラー
1.1 ベクトルのすみか
1.2 ベクトルのスカラー倍，和と差
1.3 基底ベクトル
1.4 内積
1.5 外積（ベクトル積）

第2章　行列と連立1次方程式
2.1 行列とその演算
2.2 連立1次方程式とガウスの消去法
2.3 逆行列
2.4 逆行列がない！

第3章　行列式とその応用
3.1 行列式って何？
2.2 行列式のしくみ

第4章 行列の特性を引き出す
4.1 固有値と固有ベクトル
4.2 対角化とは

231ページありますが、内容は以上のように線形写像や二次形式がありません。この教科書で底上げできたら他の本で勉強してみたいと思います。

参考リンク

• 代数系の基礎 (共立全書 220) | 森 光弥 |本 | 通販 | Amazon
• 線形代数概論 | 矢野 健太郎, 石原 繁 |本 | 通販 | Amazon
  昔使っていた教科書。書き込みのなさが当時を偲ばせる…(笑