高校数学 - 微分法(2) いろいろな関数の導関数

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第15回は微分法(2) いろいろな関数の導関数です。

この単元では三角関数や指数関数、対数関数などの超越関数の微分を学んでいます。導出方法を理解した上で、導関数も覚えよう。導出方法はこのあともずーっとやっていきますからね。ここをサボると絶対に次に行けないところです、ってサボれるところ、いままでにどっかあった?? 合成関数の微分法、忘れないように。どこででも使います。

またネイピア数の定義もでてきました。ようやく微積「らしい」感じになってきました。しかしこんなの考え出すなんて、どんな発想したんでしょうね。

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教材

新編数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

第5章微分法
第1節微分と導関数
1. 微分可能と連続
2. 微分と導関数
3. 合成関数の微分法
第2節いろいろな関数の導関数
1. 三角関数の導関数
2. 対数関数・指数関数の導関数
3. 高次導関数
第3節導関数の応用
1. 接線の方程式
2. 平均値の定理
3. 関数の増減
第4節いろいろな応用
1. グラフの凹凸
2. 第2次導関数と極大・極小
3. 速度と加速度

微分法

いろいろな関数の導関数

いろいろな関数の導関数の公式

$\begin{align*} &(\sin x)'= \cos x \\ &(\cos x)'= \sin x \\ &(\tan x)'= \frac{1}{\cos^2 x} \\ &(\log_a x)'=\frac{1}{x \log a} \\ &(\log x)'=\frac{1}{x} \\ &(\log |x|)'=\frac{1}{x} \\ &(\log |f(x)|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} \\ &(e^x)'=e^x \\ &(a^x)'=a^x\log a \\ &(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} \quad (\alphaは実数) \end{align*}$

三角関数の導関数

$y=\sin x$ の導関数

$\begin{align*} (\sin x)' &= \lim_{h\to 0} \frac { \sin (x+h) - \sin x } { h } \\ &= \lim_{h\to 0} \frac { \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x } { h } \quad (\because 加法定理)\\ &= \lim_{h\to 0} \frac { \cos x \sin h - \sin x ( 1 - \cos h )} { h } \\ &= \lim_{h\to 0} \left ( \cos x \cdot \frac {\sin h}{h} - \sin x \cdot \frac {1 - \cos h} {h} \right) \end{align*}$
ここで
$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac {1 - \cos h} {h} &= \lim_{h\to 0} \frac {(1 - \cos h)( 1 + \cos h)} {h ( 1 + \cos h)}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac { 1 - \cos^2 h } { h ( 1 + \cos h) } \\ &= \lim_{h\to 0} \frac { \sin^2 h } { h ( 1 + \cos h) } \\ &= \lim_{h\to 0} \frac { \sin h } { ( 1 + \cos h) } \cdot \frac {\sin h}{ h } \\ &= \frac {0} {2} \cdot 1 = 0 \quad (\because \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 ) \end{align*}$
よって
$(\sin x)'=(\cos x)\cdot 1 - (\sin x) \cdot 0 = \cos x \\ \tag*{$\blacksquare$}$

$y=\cos x$ の導関数

$\begin{align*} (\cos x)' &= \left\{ \sin \left( x+\frac{\pi}{2} \right) \right\}' \\ &= \cos \left( x + \frac {\pi}{2} \right) \cdot \left( x + \frac {\pi}{2} \right)' \quad (\because 合成関数の微分) \\ &= \cos \left( x + \frac {\pi}{2} \right) \\ &= -\sin x \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$

$y=\tan x$ の導関数

$\begin{align*} (\tan x)' &= \left( \frac{\sin x}{\cos} \right)' \\ &= \frac { (\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)' } {\cos^2 x} \quad (\because 合成関数の微分) \\ &= \frac { \cos^2 x + \sin^2 x } { \cos^2 x} \\ &= \frac { 1 } { \cos^2 x } \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$

対数関数・指数関数の導関数

$y=\log_a x$ の導関数

$\begin{align*} (\log_a x)' &= \lim_{h\to 0} \frac { \log_a (x+h) - \log_a x } {h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac {1}{h} \log_a \frac {x+h}{x} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac {1}{h} \log_a \left( 1 + \frac {h}{x} \right) \end{align*}$
ここで $\displaystyle\frac{h}{x}=t$ とおくと $h\to 0のときt\to0$ だから
$\begin{align*} (\log_a x)' &= \lim_{t \to 0} \frac {1}{xt} \log_a( 1+t ) \\ &= \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \log_a(1+t)^{\frac{1}{t}} \end{align*}$
ここで $\displaystyle\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}$ は $t\to0$ のとき一定の値に近づく。この極限値をネイピア数といい $e$ で表す。
$\begin{align*} e &= \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} \\ &= 2.7182818\dots\dots \end{align*}$
これより
$(\log_a x)' = \frac{1}{x} \log_a e$
とくに $a=e$ のとき
$(\log_e x)'=\frac{1}{x}\log_e e=\frac{1}{x}$
$\tag*{$\blacksquare$}$

自然対数

$e$ を体とする対数 $\log_e x$ を $x$ の自然対数といい、底を省略し、 $\log x$ 、または $\ln x$ と表す。

絶対値を含む対数関数の導関数

$y=\log_a |x|$ の導関数

$x\gt0$ のとき $y=\log x$ だから
$y'=\frac{1}{x}$
$x\lt0$ のとき $y=\log (-x)$ だから
$y'=\frac{1}{-x}\cdot(-x)'=-\frac{1}{x}\cdot (-1) = \frac{1}{x}$
$\tag*{$\blacksquare$}$
さらに $y=\log|f(x)|$ の導関数は、合成関数の微分法により $u=f(x)$ として
$\begin{align*} y' &= \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \\ &= \frac{1}{u}\cdot f'(x) \\ &= \frac{f'(x)}{f(x)} \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$

指数関数の導関数

$y=a^x$ の導関数

$y=a^x$ の両辺の自然対数を取ると
$\log y = x\log a$
となる。この両辺を $x$ の関数と考えて、 $x$ で微分すると、合成関数の微分法より
$\frac {d}{dy} \log y \cdot \frac {dy} {dx} = \log a \iff \\ \frac {1}{y} \cdot \frac {dy}{dx} = \log a$
よって
$\frac {dy}{dx} = y \log a = a^x \log a\\$
とくに $a=e$ のとき
$(e^x)'=e^x \log_e e=e^x \tag*{$\blacksquare$}$

高次導関数

関数 $f(x)$ についてその導関数 $f'(x)$ が再び微分可能なとき、 $f'(x)$ の導関数を $f(x)$ の第 $2$ 次導関数といい、 $f''(x)$ で表す。

一般に $y=f(x)$ を $n$ 回微分して得られる関数を $f(x)$ の第 $n$ 次導関数といい、次のように表す。
$f^{(n)}(x) \\ y^{(n)} \\ \frac {d^n y} {dx^n} \\ \frac {d^n}{dx^n} f(x)$

対数微分法

両辺の自然対数を取ってから微分する方法を対数微分法という。

$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ の導関数

$y=x^\alpha$ の両辺の対数を取ると
$\log y=\alpha \log x$
この両辺を $x$ で微分すると
$\frac{d}{dy} \log y\cdot \frac {dy} {dx} = \frac {\alpha} {x} \iff \\ \frac{1} {y} \frac{dy}{dx} = \frac {\alpha} {x} \iff \\ \frac {dy}{dx} = \frac{\alpha}{x}\cdot y = \frac{\alpha}{x} x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1}$

懸垂線、カテナリー

太さと重さが一様の鎖の両端を持ってぶら下げたときにできる曲線。

懸垂線

曲線上の点 $P$ では線分の右上方向に引っ張る力 $T$ と、下向きにかかる力 $G$ と、左向きに引っ張る力 $H$ とが釣り合っている。このことから導関数を用いた関係式が導かれ、それを解くと
$y=\frac{a}{2}\left( e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}} \right) \quad (aは正の定数)$
となることが知られている。この方程式が表す曲線を懸垂線、またはカテナリーという。点 $A$ の十分近くでは放物線 $\displaystyle y=\frac{x^2}{2a}+a$ と形状がほぼ一致することが知られている。