高校数学 - 微分法(4) いろいろな応用

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第17回は微分法(4) いろいろな応用です。

このあたりの証明はだいぶ省かれていますね。もっと上の数学でちゃんとやれってことでしょうか。まあでも、ここがおわればついに高校数学の微分法をマスターしたっ! ってことですね。ラストスパート頑張りましょう! って、ねぇ、積分法はぁ? ちょっと気が早いよねぇ?

なお演習は一切やっていない模様。まずい、実際に問題が解けないなぁ… どこかで演習の時間を取らなきゃ。

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教材

新編数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

第5章微分法
第1節微分と導関数
1. 微分可能と連続
2. 微分と導関数
3. 合成関数の微分法
第2節いろいろな関数の導関数
1. 三角関数の導関数
2. 対数関数・指数関数の導関数
3. 高次導関数
第3節導関数の応用
1. 接線の方程式
2. 平均値の定理
3. 関数の増減
第4節いろいろな応用
1. グラフの凹凸
2. 第2次導関数と極大・極小
3. 速度と加速度

微分法

いろいろな応用

グラフの凹凸

関数 $y=f(x)$ のグラフは
$\quad f''(x)\gt0$ である区間では、下に凸
$\quad f''(x)\lt0$ である区間では、下に凸

グラフの凹凸が入れ替わる境目の点を変曲点という。

$x=x_0$ を境目として、 $f''(x)$ の符号が変わるとき、点 $(x_0, f(x_0))$ は $y=f(x)$ のグラフの変曲点である。
逆に曲線 $y=f(x)$ で $f''(x)=0$ であっても、点 $(x_0, f(x_0))$ が変曲点になるとは限らない。

第2次導関数と極大・極小

$f'(x_0), f''(x_0)\gt0ならばf(x)はx=x_0で極小 \\ f'(x_0), f''(x_0)\lt0ならばf(x)はx=x_0で極大$

速度と加速度

直線上の点の運動

数直線上を運動する点 $P$ の座標 $x$ が時刻 $t$ の関数として
$x=f(t)$
で表されるとき、時刻 $t$ から $t+h$ までの平均速度は
$\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$
である。この平均の速度で $h\to0$ とした時の極限値 $f'(t)$ が時刻 $t$ における点 $P$ の速度である。すなわち速度を $v(t)$ とすると
$v(t)=f'(t)=\lim_{h\to0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$
である。また速度の絶対値 $|v(t)|$ を速さという。

またこの運動の時刻 $t$ から $t+h$ までの速度の変化の割合は、
$\frac{v(t+h)-v(t)}{h}$
である。ここで $h\to0$ としたときの極限値 $v'(t)$ を時刻 $t$ における加速度という。よって、加速度を $\alpha(t)$ とすると
$\alpha(t)=v'(t)=f''(t)$

速度、速さ、加速度、加速度の大きさ

座標平面上を動く点 $P(x,y)$ の時刻 $t$ における座標が
$x=f(t), \quad y=g(t)$
で表されているとき、座標 $x,y$ の時刻 $t$ における微分係数
$\frac{dx}{dt} = f'(t), \quad \frac{dy}{dt} = g'(t)$
をそれぞれ点 $P$ の $x$ 軸方向の速度、 $y$ 軸方向の速度といい、それらの組
$\vec v=\left( \frac {dx}{dt}, \frac {dy}{dt} \right)$
を時刻 $t$ における点 $P$ の速度または速度ベクトルという。

また速度 $\vec v$ の大きさ
$|\vec v| = \sqrt{ \left(\frac {dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2 }$
を、時刻 $t$ における点 $P$ の速さという。

同様に $x$ 軸方向の加速度 $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}$ と $y$ 軸方向の加速度 $\displaystyle\frac{d^2y}{dt^2}$ の組
$\vec \alpha=\left( \frac {d^2x}{dt^2}, \frac {d^2y}{dt^2} \right)$
を時刻 $t$ における点 $P$ の加速度または加速度ベクトルといい、
$|\vec \alpha| = \sqrt{ \left(\frac {d^2x}{dt^2} \right)^2 + \left(\frac {d^2y}{dt^2}\right)^2 }$
を加速度の大きさという。

媒介変数で表された関数の導関数

座標平面上の曲線 $C$ 上の任意の点 $P(x,y)$ が媒介変数 $t$ を用いて
$x=f(t),\quad y=g(t)$
と表されているとき、 $yをxの関数$ と考えると、合成関数と逆関数の微分法によって
$\frac{dy}{dx} = \frac {dy} {dt} \cdot \frac {dt} {dx} = \frac {\frac {dy}{dt}} {\frac {dx}{dt}}$
よって、次のことが成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$
のとき
$\frac{dy}{dx} = \frac {\frac {dy}{dt}} {\frac {dx}{dt}} = \frac {g'(t)} {f'(t)}$

関数の近似式

$関数f(x)のx=a$ における微分係数 $f'(a)$ は
$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
であり、 $hが十分0に$ 近いときは
$f'(a) \fallingdotseq \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
となるから
$f(a+h) \fallingdotseq f(a)+f'(a) h$
と考えられる。よって $f(a+h)$ は次のように $hの1次式$ で近似される。
$h \fallingdotseq 0のとき f(a+h) \fallingdotseq f(a) + f'(a)h$

サイクロイド曲線の性質

屋根のてっぺんに落ちた雨粒が最も速く軒先から落ちるのはどのような曲線の場合か、という問題に対しての解がサイクロイド曲線である。サイクロイド曲線は、最速降下曲線、等時曲線などとも呼ばれる。

最速降下問題

水平方向に $x$ 軸、垂直方向に $y$ 軸をとる、 $a\gt0,b\gt0$ として、座標平面上の $2点A(0,a), B(b,0)$ を結ぶ曲線 $y=f(x)$ を考える。
この曲線上を点 $P$ が $A$ から初速 $0$ で出発して、重力に従って摩擦なしに滑り落ちる。点 $B$ への到達時刻 $T$ が最も早くなる曲線 $y=f(x)$ を求めよ。

答)
点 $P(x,y)$ の質量 $1$ 、重力定数を $g$ とすると到着時刻 $T$ が、次の積分で与えられる。
$T=\int_0^b\sqrt{\frac {1+y'^2} {2g(a-y)} } dx$

このことより、サイクロイド曲線上の任意の $点A'$ から初速 $0$ で出発して点 $B$ に到達するまでの時間は、出発点 $A'$ によらず一定である。

サイクロイド曲線を利用すると、周期が振幅の大きさに影響されず、常に一定になる正確な振り子時計を設計することができる。