高校数学 - 図形と方程式

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第20回は図形と方程式です。

実はこの単元に入る前は、数学Aの図形の性質っていうのがあるんですね。まとめてみたものの、図形を描くのが量が多くて大変で、ついつい楽な方からアップしています。というわけで、あともう少しで高校数学の復習は終わる予定です。早く次のステップに進みたい…

• • • 教材
    • 図形と方程式
      • 点と直線
        • 直線上の点の座標
        • 平面上の点の座標
        • 直線の方程式
        • 2直線の平行・垂直
      • 円と直線
        • 円の方程式
        • 円と直線
      • 軌跡と領域
        • 軌跡と領域
        • 不等式の表す領域

教材

• 新編 数学II 平成26年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2013-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-04563-0
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第2章 図形と方程式
第1節 点と直線
1. 直線上の点の座標
2. 平面上の点の座標
3. 直線の方程式
4. 2直線の平行・垂直
第2節 円と直線
1. 円の方程式
2. 円と直線
第3節 軌跡と領域
1. 軌跡と領域
2. 不等式の表す領域

図形と方程式

点と直線

直線上の点の座標

• 座標

数直線上の点$P$を表す実数$x$を点$P$の座標といい、座標が$x$である点を$P(x)$と表す。

• 距離

数直線上に$2$点$A, B$があるとき$2$点間の距離は$AB=|b-a|$である。

• 内分

線分$AB$に点$P$があって$AP:PB=m:n$が成り立つとき点$P$は線分$AB$を$m:n$に内分するという。
一般に$2点A(a), B(b)$について線分$AB$を$m:n$に内分する点$P$の座標は
$$\frac{na+mb}{m+n}$$
とくに線分$AB$の中点の座標は$AB$を$1:1$に内分する点であるからその座標は
$$\frac{a+b}{2}$$

• 外分

線分$AB$の延長上に点$Q$があって$AQ:QB=m:n$が成り立つとき点$P$は線分$AB$を$m:n$に外分するという。
一般に$2点A(a), B(b)$について線分$AB$を$m:n$に外分する点$Q$の座標は
$$\frac{-na+mb}{m-n}$$

平面上の点の座標

• 平面座標

平面座標上の点$P$の位置は、実数$(a,b)$の組で決まり、点$P(a,b)$で表す。

• 平面座標は$x$軸、$y$軸によって$4$つの部分に分けられる。$x,y$ともに正の範囲から反時計回りに、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限という。

---

• 平面上の$2$点間の距離

$2点(x_1, y_1), B(x_2, y_2)間の距離AB$は
$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$$
とくに原点$O$と点$A(x_1, y_1)$との距離$OA$は
$$OA=\sqrt{ {x_1}^2+{y_1}^2 }$$

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• 中線定理の座標を利用した証明

中線定理は、$\triangle ABC$の辺$BC$の中点を$M$とすると下記が成り立つ、という定理である。
$$AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2)$$

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線分$BC$の中点が$M$だから、点$M$を原点に取ると、点$B,C$は原点に対して対象な位置となる。中点$M$を原点とし、直線$BC$を$x$軸上に取り、点$B,C$の座標は$B(-c,0), C(c, 0)$とする。
点$A$の座標を$(a,b)$とすると
$$\begin{align*} AB^2+AC^2 &= \left\{ (-c-a)^2+(0-b)^2 \right\}+\left\{ (c-a)^2+(0-b)^2 \right\} \\ &=(c+a)^2+(c-a)^2+2b^2 \\ &=2(a^2 + b^2 + c^2) \end{align*}$$
$$\begin{align*} 2(AM^2+AM^2) &= 2 \left\{ (a^2+b^2)^2 + c^2 \right\} \quad (\because 原点Mから点Aの距離) \\ &=2(a^2 + b^2 + c^2) \end{align*}$$
よって$AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2)$
$\tag*{$\blacksquare$}$

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• 平面上の内分・外分

$2点A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$に対して線分$AB$を
$m:nに内分する点の座標は\displaystyle \left( \frac { nx_1+mx_2 }{ m+n }, \frac { ny_1+my_2 }{ m+n } \right)$
$m:nに外分する点の座標は\displaystyle \left( \frac { -nx_1+mx_2 }{ m-n }, \frac { -ny_1+my_2 }{ m-n } \right)$

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• 三角形の重心

$\triangle ABC$の重心の座標は
$$\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$$

直線の方程式

• 直線の方程式

一般に傾きが$m$で$y$軸と点$(0,n)$で交わる直線は$1次方程式y=mx+n$で表される。この直線を直線$y=mx+n$といい、$y=mx+n$をこの直線の方程式という。

• $1$点と傾きが与えられた直線

点$(x_1, y_1)$を通り、傾き$m$の直線の方程式は
$$y-y_1 = m(x-x_1)$$

• $2$点を通る直線

$2点(x_1, y_1), (x_2, y_2)$を通る直線の方程式は
$$\begin{align*} x_1\neq x_2のとき \ &y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \\ x_1 = x_2のとき \ &x=x_1 \end{align*}$$

2直線の平行・垂直

• $2$直線の平行

$$2直線 \ y=mx+n, y=m'x+n'が平行 \iff m=m'$$

• $2$直線の垂直

$$2直線 \ y=mx+n, y=m'x+n'が垂直 \iff mm'=-1$$

• 点と直線の距離

$1$点から直線へ引いた垂線の長さを点と直線の距離という。

$点A(x_1,y_1)と直線ax+by+c=0の距離d$は
$$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
とくに$原点Oと直線ax+by+c=0の距離d$は
$$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

円と直線

円の方程式

• 円の方程式

中心$(a,b)$, 半径$r$の円の方程式は
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
とくに中心が原点、半径$r$の円の方程式は
$$x^2+y^2=r^2$$

円と直線

• 円と直線の共有点の座標

円と直線の共有点の座標を求めるためには、円と直線の方程式を連立方程式として、その実数解を求める。

• 円と直線の位置関係

円と直線の共有点の個数は、それらの方程式から一つの文字を消去して得られる$2$次方程式の異なる実数解の個数と同じ。

$2$次方程式の判別式を$D=b^2-4ac$とすると以下が成り立つ。
$$\begin{align*} D \gt 0 &\iff 共有点は2個. 異なる2点で交わる \\ D=0 &\iff 共有点は1個. 接する \\ D \lt 9 &\iff 共有点0個. 共有点を持たない \end{align*}$$

また、半径$r$の円の中心$O$から直線$L$までの距離を$d$とすると以下が成り立つ。
$$\begin{align*} d \lt r &\iff 共有点は2個. 異なる2点で交わる \\ d=r &\iff 共有点は1個. 接する \\ d \gt r &\iff 共有点0個. 共有点を持たない \end{align*}$$

• 円の接線

円$x^2+y^2=r^2$の点$(x_1,y_1)$における接線の方程式は
$$x_1x+y_1y=r^2$$

軌跡と領域

軌跡と領域

• 軌跡

平面上で与えられた条件を満たす点全体の集合が作る図形を、この条件を満たす軌跡という。

例) 円
平面上で、定点$C$から一定の距離rにある点$P$の軌跡は、点$C$を中心とする半径$r$の円である。

例) 直線
平面上で、$2$定点$A,B$から等距離にある点$P$の軌跡は、線分$AB$の垂直二等分線である。

• アポロニウスの円

$m\gt0, n\gt0$のとき、平面上の$2点A,B$に対して$AP:BP=m:n$を満たす点$P$の軌跡は
$1) \ m\neq n$のとき、線分$AB$を$m:n$に内分する点と外分する点を直径の両端とする円 (アポロニウスの円)
$2) \ m=n$のとき、垂直二等分線

不等式の表す領域

$x, y$の不等式があるとき、座標平面上でその不等式を満たす点$(x,y)$の集合を、不等式の表す領域という。

• $y \gt mx+n, y \lt mx+n$の表す領域

$不等式y \gt mx+nの表す領域は直線y=mx+nの上側$
$不等式y \lt mx+nの表す領域は直線y=mx+nの下側$

• 円の内部と外部

$x^2+y^2 \lt r^2の表す領域は円x^2+y^2=r^2の内部$
$x^2+y^2 \gt r^2の表す領域は円x^2+y^2=r^2の外部$

• 連立不等式の表す領域

いくつかの不等式を同時に満たす点の集合を、その連立不等式の表す領域という。

高校数学 - 平面上の曲線

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第19回は平面上の曲線です。

積分の単元を終わらせましたが、曲線の媒介表示だとか、極座標だとか、積分で頻出ネタが満載の単元が、この平面上の曲線です。コンピュータとも関連が深い単元で、いろんな曲線が登場して、すごく楽しみです。では復習してみましょう。

作図にはGeoGebraを使いましたが、すごいですね。直交座標の関数だけでなく、媒介変数表示や極方程式までも、さくっとグラフ化してくれます。こんな便利なツールがあったら、頭使わなくなっちゃいますね :-P

• • • 教材
    • 平面上の曲線
      • 2次曲線
        • 放物線
        • 楕円
        • 双曲線
        • 2次曲線と直線の共有点
        • 2次曲線の平行移動
      • 媒介変数と極座標
        • 曲線の媒介変数表示
        • 極座標と極方程式
        • いろいろな曲線

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第1章 平面上の曲線
第1節 2次曲線
1. 放物線
2. 楕円
3. 双曲線
4. 2次曲線と直線の共有点
5. 2次曲線の平行移動
第2節 媒介変数と極座標
1. 曲線の媒介変数表示
2. 極座標と極方程式
3. いろいろな曲線

平面上の曲線

2次曲線

放物線

• 放物線

定直線$l$と、$l$上にない定点$F$から等しい距離にある点の軌跡を放物線といい、$F$をその焦点、$l$を準線という。

放物線が対象となる直線を軸という。軸と放物線の交点を頂点という。

焦点$(p,0), 準線x=-p$の放物線の方程式は
$$y^2=4px$$

---

$p\neq0$とし、座標平面上で点$(0,p)を焦点F$、直線$y=-pを準線l$とする放物線の方程式を求める。

放物線上の点$P(x,y)$から$l$に降ろした垂線を$PH$とすると$PF=PH$より
$$\sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|$$
だから、両辺を$2$乗して
$${x^2+(y-p)^2}=(y+p)^2 \iff \\ x^2=4yp$$
よって焦点$(0,p)$、準線$y=-p$の放物線の方程式は
$$x^2=4py \quad または \quad y=\frac{1}{4p}x^2 \tag*{$\blacksquare$}$$

楕円

$2$定点$F,F'$からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円といい、$F,F'$を焦点という。

$a \gt b \gt 0$のとき
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
は焦点が$2$点
$$F(\sqrt{a^2-b^2}, 0), F'( - \sqrt{a^2-b^2}, 0)$$
である楕円の方程式で、この時楕円上の任意の点$P$に対して
$$PF+PF'=2a$$

一般に楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1はx軸,y軸$および原点に関して対称で、$x軸,y軸$との交点は、それぞれ$A(a,0), A'(-a,0), B(0,b), B'(0,-b)$である。このとき$2つの線分AA', BB'$の長い方を長軸、短い方を短軸、長軸と短軸の交点である原点$O$を楕円の中心という。

---

$2定点F(c,0), F'(-c,0)$が焦点で$F,F'$からの距離の和が$2a$である楕円の方程式を求める。
$a\gt c\gt 0$として楕円上の点を$P(x,y)$とすると、$PF+PF'=2$だから$PF'=2a-PF$である。よって
$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$$
ここから両辺を平方して
$$\begin{align*} (x+c)^2+y^2&=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2 \\ 2cx&=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-2cx \\ 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}&=4a^2-4cx \\ \sqrt{(x-c)^2+y^2}&=a-\frac{c}{a}x \end{align*}$$
さらに両辺を平方して
$$\begin{align*} (x-c)^2+y^2 &= a^2-2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2 \\ x^2-2cx+c^2+y^2 &= a^2-2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2 \\ x^2-\frac{c^2}{a^2}x^2+y^2 &= a^2-c^2 \\ \frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2 &= a^2-c^2 \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2} &= 1 \\ \end{align*}$$
$a\gt c\gt 0$だから$b=\sqrt{a^2-c^2}$とおくと
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 \tag*{$\blacksquare$}$$

双曲線

$2定点F,F'$からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といい、$F,F'$を焦点という。

$a \gt 0, b \gt 0$のとき
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
は焦点が$2$点
$$F(\sqrt{a^2+b^2}, 0), F'( - \sqrt{a^2+b^2}, 0)$$
である楕円の方程式で、その漸近線の方程式は
$$y=\frac{b}{a}x, \quad y=-\frac{b}{a}x$$
このとき、双曲線上の任意の点$P$に対して
$$|PF-PF'|=2a$$

双曲線において、$2$つの焦点$F,F'$を結ぶ直線を主軸、主軸と双曲線の$2$つの交点を頂点、$2$つの頂点を結ぶ線分の中点を中心という。

直行する漸近線を持つ双曲線を直角双曲線という。

---

$2定点F(c,0), F'(-c,0)$が焦点で、$F,F'からの距離の差が2a$である双曲線の方程式を求める。$0 \lt a \lt c$として双曲線上の点を$P(x,y)$とすると$|PF-PF'|=2a$より
$PF\lt F'$のとき
$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$
ここで式を楕円同様に変形すると
$$\begin{align*} \sqrt{(x+c)^2+y^2} &= 2a + \sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ (x+c)^2+y^2 &= 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2 \\ 4cx &=4a^2+ 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ \sqrt{(x-c)^2+y^2} &= \frac{c}{a}x -a \\ (x-c)^2+y^2 &= \frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2 \\ x^2-2cx+c^2+y^2 &= \frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2 \\ \frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2 &= a^2-c^2 \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2} &= 1 \end{align*}$$
$PF\lt PF'$のときも同様。
$b=\sqrt{c^2-a^2}$とおくと
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1 \tag*{$\blacksquare$}$$

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• $2$次曲線

$x$と$y$の$2$次方程式で表される曲線を$2$次曲線という。

• 円錐曲線

放物線、楕円、双曲線は円錐をその頂点を通らない平面で切ったときの曲線であることから、円錐曲線ともいう。

2次曲線と直線の共有点

$2$次曲線と直線の連立方程式を考え、その$2$次方程式の判別式の符号により調べる。

2次曲線の平行移動

• 曲線の平行移動

方程式$f(x,y)=0$で表される曲線を$x軸方向にp, y軸方向にq$だけ平行移動した曲線の方程式は
$$f(x-p, y-q) = 0$$

媒介変数と極座標

曲線の媒介変数表示

一般に、$曲線Cの点P(x,y)が1$つの変数、例えば$t$を用いて表されるとき、変数$t$を媒介変数といい、そのような表し方を媒介変数表示という。

• 円の媒介変数表示

原点$O$を中心とする半径$r$の円周上の点を$P(x,y), OPとx軸$の正の部分とのなす角を$\theta$とすると
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

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• 楕円の媒介変数表示

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$の媒介変数表示は
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = a \cos \theta \\ y = b \sin \theta \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$は、原点を中心とする半径$a$の円を$y$軸方向に$\displaystyle \frac{b}{a}$倍した曲線である。よって楕円の媒介変数表示は
$$x=a\cos \theta , \quad y=\frac{b}{a} \times a \sin \theta$$

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• サイクロイド

半径$a$の円が定直線上を滑ることなく回転していくとき、円周上の定点$P$が描く曲線をサイクロイドという。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = a (\theta - \sin \theta ) \\ y = a ( 1 - \cos \theta ) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

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極座標と極方程式

• 極座標

平面上に$点Oと半直線OX$を定め、$点Oからの距離OPをr,半直線OPがOXとなす角を\theta$とすると、$点Pの位置はrと\theta$の大きさで決まる。
この点$Pを(r, \theta)$で表し、点$P$の極座標という。このとき点$O$を極、半直線$OX$を始線、$\thetaを点P$の偏角という。

なお、$x軸,y軸$で定まる座標を直交座標という。

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• 極座標と直交座標の関係

極座標が$(r,\theta)である点Pの直交座標を(x,y)$とすると
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

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• 極方程式

一般に、平面上の曲線$Cが極座標(r,\theta)$によって
$$r=f(\theta) \quad または \quad F(r, \theta)=0$$
と表されるとき、曲線$C$の極方程式という。なお定義域はすべての$\theta$。

いろいろな曲線

• アルキメデスの螺旋
  $$r=2\theta \quad (\theta \ge 0)$$

• リサージュ曲線

$$x=\sin at, \quad y=\sin bt \quad (a, bは自然数)$$

$1) a=1, b=2$

$2) a=2, b=3$

$3) a=3, b=5$

$4) a=4, b=5$

• 正葉曲線

$$r=\sin a\theta \quad (a \gt 0)$$

$1) a=3$

$2) a=4$

$3) \displaystyle a=\frac{4}{3}$

• リマソン

$$r= a+ b\cos \theta \quad (a\gt0, b\gt0)$$

$a=1, b=3$

• カージオイド

$$r= a(1+\cos \theta) \quad (a\gt0, b\gt0)$$

• クロソイド曲線

$$\frac{d}{dt} f(t) = \cos t^2, \quad \frac{d}{dt} g(t)=\sin t^2$$

高校数学 - 積分法

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第18回は積分法です。

ついにやってきました、高校数学の集大成。目次的にはちょっとしかないですが、結構な量の知識が詰まってたような気がします。復習してたら部分分数に分解、置換積分、部分積分とかがあって、どんなときにどの方法が適用できるか、パズルみたいだったのを思い出しました。訓練しないと見分けるの大変なんですよね、これって。

面積や体積の求め方、本当に楽しいです。高校の範囲でもだいぶ実用的な感じがでてきます。また物理との関係も少し触れられていて、微積っていうのは実世界をどんなふうに捉えれば合理的なんだろうか、と先人が考えてきた結果が詰まっているように感じます。

あ、そうだ。曲線の方程式とかちゃんとやっとこ。このあと解析とか代数でバンバン出てくるんですよね… orz

• • • 教材
    • 積分法
      • 不定積分
        • 不定積分
        • 置換積分法と部分積分法
          • 置換積分法
          • 部分積分法
      • 定積分
        • 定積分
          • 定積分の性質
          • 定積分の置換積分法
          • 偶関数と奇関数
          • 定積分の部分積分法
        • 定積分と微分
        • 区分求積法と定積分
          • 定積分と不等式
      • 面積
        • 面積
      • 体積
        • 体積
          • 球の体積
          • 角錐の体積
        • 回転体の体積
      • 曲線の長さ
        • 曲線の長さ
          • 道のり

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

第6章 積分法
第1節 不定積分
1. 不定積分
2. 置換積分法と部分積分法
第2節 定積分
1. 定積分
2. 定積分と微分
3. 区分求積法と定積分
第3節 面積
1. 面積
第4節 体積
1. 体積
2. 回転体の体積
第5節 曲線の長さ
1. 曲線の長さ

積分法

不定積分

不定積分

• 原始関数

微分すると$f(x)$になる関数$F(x)$を$f(x)$の原始関数という。

• 不定積分、積分定数

関数$f(x)$の不定積分を求めることを$f(x)$を積分するといい、下記で表す。
$$\int f(x)dx = F(x) + C$$
ここで$C$は積分定数という。ある関数$f(x)$の原始関数は無数にあるが$F(x)$を$f(x)$の原始関数のひとつとすれば、どの原始関数も定数$C$を選んで$F(x)+C$の形に書ける。

不定積分を求めることは微分の逆の計算である。よって微分の公式をもとに不定積分を求めることができる。

• $x^\alpha$の不定積分

$\alpha \neq -1$ のとき
$$\int x^\alpha dx = \frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha +1} + C$$
$\alpha = -1$ のとき
$$\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$$

• 不定積分の性質
  $$\begin{align*} 1) & \int kf(x) dx = k\int f(x) dx \\ 2) & \int \left\{ f(x) + g(x) \right\} = \int f(x) dx + \int g(x) dx \\ & \int \left\{ f(x) - g(x) \right\} = \int f(x) dx - \int g(x) dx \\ \end{align*}$$

• 部分分数に分ける

以下のような変形。

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2} \left( \frac {1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$$

---

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1}$$
と変形する。
$$\begin{align*} \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} &= \frac{ a (x+1) + b(x-1) }{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{ (a + b) x + (a - b) }{(x-1)(x+1)} \end{align*}$$

$\displaystyle\frac{1}{x^2-1} と \frac{ (a + b) x + (a - b) }{(x-1)(x+1)}$ のそれぞれの分子に着目し
$$1=(a + b) x + (a - b)$$
これを$x$についての恒等式とみて両辺の係数を比較すると
$$a+b = 0, \quad a - b = 1$$
これをといて
$$a=\frac{1}{2}, \quad b=-\frac{1}{2}$$
よって
$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$$

• 指数関数の不定積分

$$\begin{align*} & \int e^x dx = e^x +C \\ & \int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C \end{align*}$$

• 三角関数の不定積分

$$\begin{align*} & \int \sin x dx = -\cos x +C \\ & \int \cos x dx = \sin x + C \\ & \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C \end{align*}$$

三角関数の不定積分では三角関数の積和の公式や$n$倍角の公式を使うと積分できることが多い。

置換積分法と部分積分法

置換積分法

• 置換積分法

$x=g(t)$とおけば
$$\int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t) dt$$
または
$$\int f(x) dx = \int f(x) \frac{dx}{dt} dt$$

また、与えられた不定積分が
$$\int f(g(x))g'(x) dx$$
の形で表されるときは$u=g(x)$とおくと置換積分法の公式によって
$$\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$$
となる。

---

$$y=\int f(x) dx$$
は$x$の関数であるが、$xをtの関数x=g(t)で置き換えるとyはtの関数$になる。このとき$yをtで微分$すれば、合成関数の微分法から
$$\begin{align*} \frac{dy}{dt} &= \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \\ &= \frac{d}{dx} \int f(x) dx \cdot g'(t) \\ &= f(x) \cdot g'(t) \\ &= f(g(t))g'(t) \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$$

---

$$\int \frac{ f'(x) } { f(x) } dx = \log|f(x)| + C$$

---

不定積分
$$\int \frac{ f'(x) } { f(x) } dx$$
を求める。$y=f(x)とおくと\displaystyle\frac{dy}{dx}=f'(x)$であるから、$f'(x) dx = dy$と考えて
$$\begin{align*} \int \frac{ f'(x) } { f(x) } dx &= \int \frac {1} {f(x)} \cdot \frac{dy}{dx} dx \\ &= \int \frac{ dy } { y } \\ &= \log |y| + C \\ &= \log |f(x)| +C \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$$

部分積分法

• 部分積分法

$$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$$

---

積の微分法の公式$\left\{ f(x)g(x) \right\}= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$から
$$f(x)g'(x) = \left\{ f(x)g(x) \right\}' - f'(x)g(x)$$
となる。この両辺を積分して
$$\begin{align*} \int f(x)g'(x) dx &= \int \left( \left\{ f(x)g(x) \right\}' - f'(x)g(x) \right) dx \\ &=f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$$

定積分

定積分

• 定積分

$f(x)$の原始関数のひとつを$F(x)$とすると
$$\int_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$$

定積分の性質

$$\begin{align*} &1) \ \int_a^a f(x) dx = 0 \\ &2) \ \int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx \\ &3) \ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx +\int_c^b f(x) dx \end{align*}$$

定積分の置換積分法

$x = g(t)で a=g(\alpha), b=g(\beta)$のとき
$$\int_a^b f(x) dx =\int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t) dt$$

偶関数と奇関数

定義域のすべての$x$に対して
$$f(-x)=f(x)$$
を満たす関数$f(x)$を偶関数という。偶関数$y=f(x)$のグラフは$y$軸に対して対称である。

定義域のすべての$x$に対して
$$f(-x)=-f(x)$$
を満たす関数$f(x)$を奇関数という。奇関数$y=f(x)$のグラフは原点に対して対称である。

• 偶関数と奇関数の等式

$$\begin{align*} &1) \ f(x)が偶関数のとき \int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx \\ &2) \ f(x)が奇関数のとき \int_{-a}^a f(x) dx = 0 \\ \end{align*}$$

---

$1)$ 偶関数のときを置換積分により証明する。
$$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx \\ $$
右辺の第$1$項の定積分で$x=-t$とおくと $\displaystyle\frac{dx}{dt} = -1$
$$\begin{align*} \int_{-a}^0 f(x) dx &= \int_a^0 f(-t)(-1) dt \\ &= \int_0^a f(-t) dt \end{align*}$$
偶関数のとき$f(-t)=f(t)$より
$$\begin{align*} \int_0^a f(-t) dt &= \int_0^a f(t) dt \\ &=\int _0^a f(x) dx \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$$

定積分の部分積分法

$$\int_a^b f(x)g'(x) dx = \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x) dx$$

定積分と微分

$F(t)がf(t)$の原始関数で、$a$が定数のとき
$$\int_a^x f(t) dt = F(x)-F(a)$$
である。この式の両辺を$x$の関数とみて微分すると$F'(x)=f(x)$である。よって以下がいえる。
$$aが定数のとき\ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$$

区分求積法と定積分

面積を求めるのに、長方形の面積の和の極限として求める方法を区分求積法という。積分の考えの生まれたもと。一般に、下記等式が成り立つ。

$$\begin{align*} \int_0^1 f(x) dx &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{1}{n} \right) + f \left( \frac{2}{n} \right) + \cdots + f \left( \frac{n}{n} \right) \right\} \\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^\infty f \left(\frac{k}{n}\right) \end{align*}$$

---

区分求積法の考えで、定積分を和の極限として表すことができる。

関数$y=f(x)は区間 a \le x \le bをn個$の小区間に等分し、その分点を
$$a_0 = a, a_1, a_2, \cdots, a_n-1, a_n = b$$
とする。この小区間の幅を$h$とすると
$$h=\frac{b-a}{n}$$
である。
区間$a_{k-1} \le x \le a_kにある任意のx_kに対する値f(x_k)をとり$
$$S_n = \sum_k=1^n f(x_k)h= f(x_1)h + f(x_2)h + \cdots +f(x_n)h$$
と考えると、関数と$x$軸で挟む部分の長方形の面積の和を表している。
ここで$n$を限りなく大きくすると、$S_nは曲線y=f(x)とx軸および2直線x=a, x=bで$囲まれた部分の面積に近づくから
$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)h$$
$f(x) \ge 0$でないときや、$a\ge b$のときも成り立つ。

定積分と不等式

区分求積法の考えから、$a\lt b$のとき、次の性質が導かれる。

$$\begin{align*} 1) &\ 区間 a \le x \le bでf(x) \ge 0 ならば \\ &\int_a^b f(x) dx \ge 0 \\ & 等号が成り立つのはつねにf(x)=0の場合 \\ 2) & \ 区間 a \le x \le bでf(x) \ge g(x) ならば \\ & \int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx \\ & 等号が成り立つのはつねにf(x)=g(x)の場合 \\ 3) & \ 区間 a \le x \le bでm \le f(x) \le M ならば \\ & m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) \\ \end{align*}$$

---

• $\displaystyle\int_a^{g(x)} f(t)dt$とその導関数

$aが定数のとき\int_a^{g(x)} f(t)dtの導関数$は次のように求めることができる。
$g(x)=uとおくと\int_a^{g(x)} f(t)dt=\int_a^u f(t)dt$と表されるから、$x$で微分すると合成関数の微分法により

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \int_a^{g(x)} f(t) dt &= \frac{d}{du} \int_a^u f(t)dt\cdot\frac{du}{dx} \\ &=f(g(x))g'(x) \end{align*}$$

面積

面積

$1) \ a \le x \le b$で$f(x) \ge 0$ のとき 曲線$y=f(x)$と$x$軸及び$2$直線 $x=a, x=b$とで囲まれた部分の面積
$$S = \int_a^b f(x) dx$$

$2) \ a \le x \le bでf(x) \ge g(x)$ のとき$2$つの曲線$y=f(x), y=g(x)$と及び$2$直線 $x=a, x=b$とで囲まれた部分の面積
$$S = \int_a^b \left\{ f(x) -g(x) \right\}dx$$

---

$c \le y \le dでg(y)\ge 0$のとき曲線$x=g(y)$と$y$軸および$2$直線$y=c, y=d$とで囲まれた部分の面積
$$S = \int_c^d g(y) dy$$

体積

体積

• 立体の体積

$a \lt b$のとき
$$V=\int_a^b S(x) dx$$

---

$1$つの立体を考え、適当な$1$直線を取ってそれが$x$軸となるように座標を定める。座標$x$の点で$x$軸に垂直に立てた平面で立体をきったときの切り口の面積を$S(x)$とする。
$a \lt b$のとき、座標$a,b$の$2$点で、$x$軸に垂直に立てた平面の間にある部分の体積$V$を$S(x)$で表す。
$a \le x \le b$のとき、座標$a, x$の$2$点で、$x$軸に垂直に立てた$2$平面の間にある部分の体積は$x$の関数だから$V(x)$で表すことができる。$V(x)$がわかれば求める体積は
$$V=V(b)$$
として得られる。

$xの増分を\Delta x$とし、これに対する$V(x)$の増分を$\Delta V$とすると、$\Delta V$は座標$x, x+\Delta x$の2点で$x$軸に垂直に立てた$2$平面の間にある部分の体積となる。

$\Delta V$は$\Delta x$が小さければ底面積$S(x)$、厚さ$\Delta x$の薄板の体積にほとんど等しい。そこで$\Delta x$を限りなく$0$に近づけると$\displaystyle\frac{\Delta V}{\Delta x}$は$S(x)$に近づくから
$$V'(x) = \lim_{\Delta xto0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = S(x)$$
となる。
すなわち$V(x)はS(x)$の原始関数である。
ここで
$$V=V(b), V(a)=0$$
だから
$$V=V(b)-V(a) = \int_a^b S(x) dx$$

球の体積

半径$r$の球の体積$V$を求める。

球の中心$O$を原点として$x$軸を取る。$-r \le x \le r$のとき、$x$軸上の座標$x$の点を通って$x$軸に垂直な平面による球の切り口は半径$\sqrt{r^2-x^2}$の円である。この切り口の面積$S(x)$は
$$S(x)=\pi(r^2-x^2)$$
よって求める球の体積$V$は
$$\begin{align*} V&=\int_{-r}^r \pi(r^2-x^2)dx = \pi \left[ r^2x - \frac{x^2}{3} \right]_{-r}^r \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align*}$$

角錐の体積

底面積$S$、高さ$h$の角錐の体積$V$を求める。

角錐の頂点$O$を原点とし、底面に垂直な直線を$x$軸とする。$0 \le x \le h$のとき、$x$軸上の座標$x$の点を通って$x$軸に垂直な平面による角錐の切り口の面積を$S(x)$とする。
この切り口と底面は相似で、相似比は$x:h$であるから
$$S(x):S = x^2:h^2$$
したがって
$$S(x)=\frac{S}{h^2}x^2$$
よって
$$\begin{align*} V&=\int_0^h \frac{S}{h^2}x^2dx = \frac{S}{h^2} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^h \\ &=\frac{1}{3} Sh \end{align*}$$

回転体の体積

• 回転体の体積

$a \lt b$のとき
$$V=\pi \int_a^b y^2 dx = \pi \int_a^b \left\{ f(x) \right\}^2 dx$$

---

平面上にある図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積について考える。
$a\lt b$のとき、曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a, x=b$とで囲まれた図形を、$s$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする。
$x$軸上の座標$x$の点で、$x$軸に垂直な平面で立体を切ったときの切り口は、半径$|f(x)|$の円になる。その切り口の面積$S(x)$は
$$S(x)=\pi\left\{ f(x) \right\}^2$$
となる。体積$V$は次のようになる
$$V=\pi \int_a^b y^2 dx = \pi \int_a^b \left\{ f(x) \right\}^2 dx$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

---

• 円錐の体積

底面の半径が$r$、高さが$h$の直円錐は、$2$直線
$$y=\frac{r}{h} x, \quad x=h$$
と$x$軸とで囲まれた図形を、$x$軸の周りに$1$回転してできる立体である。

求める体積を$V$とすると
$$\begin{align*} V&=\pi \int_0^h \left( \frac{r}{h} x \right)^2 dx \\ &=\pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^h \\ &=\frac{1}{3}\pi r^2 h \end{align*}$$

---

• $y$軸回りに回転した立体の体積

$c \lt d$のとき、曲線$x=g(y)$と$y$軸および$2$直線$y=c, y=d$とで囲まれた図形を、$y$軸回りに$1$回転してできる立体の体積$V$は
$$V=\pi \int_c^d x^2 dy = \pi \int_c^d \left\{ g(y) \right\}^2 dy$$

曲線の長さ

曲線の長さ

• 曲線の長さ $(1)$

曲線上の点が媒介変数tを使って$x=f(t), y=g(t) \quad ( t_1 \le t \le t_2 )$と表されているとき曲線の長さ$L$は
$$L=\int_{t1}^{t2}\sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } dt$$

• 曲線の長さ $(2)$

曲線$y=f(x)$を媒介変数$t$で$y=t, y=f(t)$と表されているとき曲線の長さ$L$は
$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{ 1 + \left\{ f'(x) \right\}^2 }$$

---

• 曲線の長さ $(1)$

曲線上の点が媒介変数$t$を使って
$$x=f(t), y=g(t) \quad ( t_1 \le t \le t_2 )$$
と表されているとき、曲線の長さ$L$を求める。

$t$の増分$\Delta t$に対する$L, x, y$の増分をそれぞれ$\Delta L, \Delta x, \Delta y$で表す。$\Delta t$が極めて小さければ
$$\Delta L \fallingdotseq \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 }$$
と考えて良いから
$$\frac{\Delta L}{\Delta t} \fallingdotseq \sqrt{ \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta t} \right)^2 }$$
ここで$\Delta t \to 0$とすると$\displaystyle\frac{ \Delta x }{ \Delta t } = \frac {dx}{dt}, \frac{ \Delta y }{ \Delta t } = \frac{dy}{dt}$だから
$$\frac{dL}{dt} = \lim_{\Delta t\to0} \frac{\Delta L }{\Delta t} = \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \tag*{$\blacksquare$}$$

• 曲線の長さ $(2)$

曲線$y=f(x)$を媒介変数$t$で
$$y=t, y=f(t)$$
と表されているとき曲線の長さ$L$を求める。
$$\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}=f'(x)$$
曲線の長さ $(1)$より
$$\sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } = \sqrt{ 1 + \left\{ f'(x) \right\}^2 } dx \tag*{$\blacksquare$}$$

---

• 円周

$r$を正の定数としたとき、円
$$x= r\cos \theta, y=r \sin \theta \quad (0 \le \theta \le 2\pi)$$
の周の長さ$L$を求める。
$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 } d\theta \\ \frac{dx}{d\theta} = -r \sin \theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = r \sin \theta$$
よって
$$\begin{align*} L &= \int_0^{2\pi} \sqrt{ (-r\sin \theta)^2 + (r\cos \theta)^2 } d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} \sqrt{ r^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)} d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} r d\theta \\ &=2\pi r \end{align*}$$

---

• サイクロイド

$a$を正の整数としたとき、サイクロイド
$$x= a(\theta - \sin \theta), y=a (1 - \cos \theta) \quad (0 \le \theta \le 2\pi)$$
の長さ$L$を求める。

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 } d\theta \\ \frac{dx}{d\theta} = a ( 1-cos\theta), \quad \frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$$
よって
$$\begin{align*} L &= \int_0^{2\pi} \sqrt{ (a ( 1-cos\theta))^2 + (a \sin \theta)^2 } d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} a \sqrt{ (\sin^2\theta + 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta )} d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} a \sqrt{ 2 - 2\cos\theta } d\theta \\ \end{align*}$$
三角関数の半角の公式$\displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}$より
$$2-2\cos\theta = 4\sin^2\frac{\theta}{2}$$
$- \le \theta \le 2\piで\displaystyle\sin\frac{\theta}{2}\ge0$なので
$$\begin{align*} L&=\int_0^{2\pi} 2\sin \frac{\theta}{2} d\theta \\ &= a\left[ -4 \cos \frac{\theta}{2} \right]_0^{2\pi} \\ &=a(-4 \cdot (-1 - 1)) \\ &=8a \end{align*}$$

---

• 懸垂線

曲線
$$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$
の$-a \le x \le a$の部分の長さ$L$を求める。
$$y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$
より
$$\begin{align*} \sqrt{1+{y'}^2} &= \sqrt{1+ \left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{ \frac{4 +e^{2x} -2 + e^{-2x} } { 4 } } \\ &= \sqrt{ \left(\frac{ e^x + e^{-x} }{ 2 } \right)^2} \\ &= \frac{ e^x + e^{-x} }{ 2 } \end{align*}$$
である。この曲線は$y$軸に関して対称であるから
$$\begin{align*} L&=2\int_0^a \frac{e^x+e^{-x}}{2} dx \\ &=\left[ e^x - e^{-x} \right] \\ &=e^a - e^{-a} \end{align*}$$

道のり

平面上を動く点$P$の時刻$t$における座標を$(x,y)$とすると、この点の速度$\vec v$とその大きさ$|\vec v|$は
$$\vec v = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right), \quad |\vec v| = \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }$$
となる。この点$P$が時刻$t_1$から$t$までに動いた道のり$s$は$t$の関数である。
$t$を媒介変数と見れば、点の動いた道のり$s$は曲線の長さだから$\displaystyle\frac{ds}{dt}=|\vec v|$となる。
したがって時刻$t=t_1からt=t_2$までに動いた道のり$s$は
$$s=\int_{t_1}^{t_2} |\vec v|dt = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } dt$$

高校数学 - 微分法(4) いろいろな応用

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第17回は微分法(4) いろいろな応用です。

このあたりの証明はだいぶ省かれていますね。もっと上の数学でちゃんとやれってことでしょうか。まあでも、ここがおわればついに高校数学の微分法をマスターしたっ! ってことですね。ラストスパート頑張りましょう! って、ねぇ、積分法はぁ? ちょっと気が早いよねぇ?

なお演習は一切やっていない模様。まずい、実際に問題が解けないなぁ… どこかで演習の時間を取らなきゃ。

• • • 教材
    • 微分法
      • いろいろな応用
        • グラフの凹凸
        • 第2次導関数と極大・極小
        • 速度と加速度
          • 直線上の点の運動
          • 速度、速さ、加速度、加速度の大きさ
          • 媒介変数で表された関数の導関数
          • 関数の近似式
          • サイクロイド曲線の性質

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

第5章 微分法
第1節 微分と導関数
1. 微分可能と連続
2. 微分と導関数
3. 合成関数の微分法
第2節 いろいろな関数の導関数
1. 三角関数の導関数
2. 対数関数・指数関数の導関数
3. 高次導関数
第3節 導関数の応用
1. 接線の方程式
2. 平均値の定理
3. 関数の増減
第4節 いろいろな応用
1. グラフの凹凸
2. 第2次導関数と極大・極小
3. 速度と加速度

微分法

いろいろな応用

グラフの凹凸

関数$y=f(x)$のグラフは
$\quad f''(x)\gt0$である区間では、下に凸
$\quad f''(x)\lt0$である区間では、下に凸

グラフの凹凸が入れ替わる境目の点を変曲点という。

$x=x_0$を境目として、$f''(x)$の符号が変わるとき、点$(x_0, f(x_0))$は$y=f(x)$のグラフの変曲点である。
逆に曲線$y=f(x)$で$f''(x)=0$であっても、点$(x_0, f(x_0))$が変曲点になるとは限らない。

第2次導関数と極大・極小

$$f'(x_0), f''(x_0)\gt0ならばf(x)はx=x_0で極小 \\ f'(x_0), f''(x_0)\lt0ならばf(x)はx=x_0で極大$$

速度と加速度

直線上の点の運動

数直線上を運動する点$P$の座標$x$が時刻$t$の関数として
$$x=f(t)$$
で表されるとき、時刻$t$から$t+h$までの平均速度は
$$\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$
である。この平均の速度で$h\to0$とした時の極限値$f'(t)$が時刻$t$における点$P$の速度である。すなわち速度を$v(t)$とすると
$$v(t)=f'(t)=\lim_{h\to0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$
である。また速度の絶対値$|v(t)|$を速さという。

またこの運動の時刻$t$から$t+h$までの速度の変化の割合は、
$$\frac{v(t+h)-v(t)}{h}$$
である。ここで$h\to0$としたときの極限値$v'(t)$を時刻$t$における加速度という。よって、加速度を$\alpha(t)$とすると
$$\alpha(t)=v'(t)=f''(t)$$

速度、速さ、加速度、加速度の大きさ

座標平面上を動く点$P(x,y)$の時刻$t$における座標が
$$x=f(t), \quad y=g(t)$$
で表されているとき、座標$x,y$の時刻$t$における微分係数
$$\frac{dx}{dt} = f'(t), \quad \frac{dy}{dt} = g'(t)$$
をそれぞれ点$P$の$x$軸方向の速度、$y$軸方向の速度といい、それらの組
$$\vec v=\left( \frac {dx}{dt}, \frac {dy}{dt} \right)$$
を時刻$t$における点$P$の速度または速度ベクトルという。

また速度$\vec v$の大きさ
$$|\vec v| = \sqrt{ \left(\frac {dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2 }$$
を、時刻$t$における点$P$の速さという。

同様に$x$軸方向の加速度$\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}$と$y$軸方向の加速度$\displaystyle\frac{d^2y}{dt^2}$の組
$$\vec \alpha=\left( \frac {d^2x}{dt^2}, \frac {d^2y}{dt^2} \right)$$
を時刻$t$における点$P$の加速度または加速度ベクトルといい、
$$|\vec \alpha| = \sqrt{ \left(\frac {d^2x}{dt^2} \right)^2 + \left(\frac {d^2y}{dt^2}\right)^2 }$$
を加速度の大きさという。

媒介変数で表された関数の導関数

座標平面上の曲線$C$上の任意の点$P(x,y)$が媒介変数$t$を用いて
$$x=f(t),\quad y=g(t)$$
と表されているとき、$yをxの関数$と考えると、合成関数と逆関数の微分法によって
$$\frac{dy}{dx} = \frac {dy} {dt} \cdot \frac {dt} {dx} = \frac {\frac {dy}{dt}} {\frac {dx}{dt}}$$
よって、次のことが成り立つ。
$$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$
のとき
$$\frac{dy}{dx} = \frac {\frac {dy}{dt}} {\frac {dx}{dt}} = \frac {g'(t)} {f'(t)}$$

関数の近似式

$関数f(x)のx=a$における微分係数$f'(a)$は
$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
であり、$hが十分0に$近いときは
$$f'(a) \fallingdotseq \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
となるから
$$f(a+h) \fallingdotseq f(a)+f'(a) h$$
と考えられる。よって$f(a+h)$は次のように$hの1次式$で近似される。
$$h \fallingdotseq 0のとき f(a+h) \fallingdotseq f(a) + f'(a)h$$

サイクロイド曲線の性質

屋根のてっぺんに落ちた雨粒が最も速く軒先から落ちるのはどのような曲線の場合か、という問題に対しての解がサイクロイド曲線である。サイクロイド曲線は、最速降下曲線、等時曲線などとも呼ばれる。

• 最速降下問題

水平方向に$x$軸、垂直方向に$y$軸をとる、$a\gt0,b\gt0$として、座標平面上の$2点A(0,a), B(b,0)$を結ぶ曲線$y=f(x)$を考える。
この曲線上を点$P$が$A$から初速$0$で出発して、重力に従って摩擦なしに滑り落ちる。点$B$への到達時刻$T$が最も早くなる曲線$y=f(x)$を求めよ。

答)
点$P(x,y)$の質量$1$、重力定数を$g$とすると到着時刻$T$が、次の積分で与えられる。
$$T=\int_0^b\sqrt{\frac {1+y'^2} {2g(a-y)} } dx$$

このことより、サイクロイド曲線上の任意の$点A'$から初速$0$で出発して点$B$に到達するまでの時間は、出発点$A'$によらず一定である。

サイクロイド曲線を利用すると、周期が振幅の大きさに影響されず、常に一定になる正確な振り子時計を設計することができる。

高校数学 - 微分法(3) 導関数の応用

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第16回は微分法(3) 導関数の応用です。

この単元では微分を用いて、関数の性質を調べるために増減表、接線の方程式、グラフ化を学びます。さて、頑張りましょうか。

• • • 教材
    • 微分法
      • 導関数の応用
        • 接線の方程式
          • 法線の方程式
        • 平均値の定理
        • 関数の増減
          • 関数の極大・極小

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

第5章 微分法
第1節 微分と導関数
1. 微分可能と連続
2. 微分と導関数
3. 合成関数の微分法
第2節 いろいろな関数の導関数
1. 三角関数の導関数
2. 対数関数・指数関数の導関数
3. 高次導関数
第3節 導関数の応用
1. 接線の方程式
2. 平均値の定理
3. 関数の増減
第4節 いろいろな応用
1. グラフの凹凸
2. 第2次導関数と極大・極小
3. 速度と加速度

微分法

導関数の応用

接線の方程式

曲線$y=f(x)$上の点$(x_1,y_1)$における接線の方程式は
$$y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$$

法線の方程式

曲線上の点$P$を通り、その曲線の$P$における接線と垂直である直線を、その曲線の点$P$における法線という。

曲線$y=f(x)$上の点$P(x_,y_1)$において、$f'(x_1)\neq0$のとき、その点における法線の傾きは$\displaystyle-\frac{1}{f'(x_1)}$となる。よって曲線$y=f(x)$上の点$P(x_1,y_1)$における法線の方程式は次のようになる。
$$y-y_1 = -\frac{1}{f'(x_1)} (x-x_1)$$
なお$f'(x_1)=0$のとき、法線は$y$軸に並行になるから、法線の方程式は$x=x_1$である。

平均値の定理

関数$f(x)$が$a\le x \le b$で連続、$a \lt x \lt b$で微分可能であるとき
$$\frac {f(b)-f(a)} {b-a} = f'(c) \quad ( a \lt c \lt b)$$
を満たす$c$が少なとも$1$つは存在する。
また次のようにも表す。

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \quad ( a \lt c \lt b)$$

---

• 平均値の定理が成り立たない関数

平均値の定理において、$a$と$b$の間に微分可能でない点が$1$つでもあると、定理は一般に成り立たない。

関数の増減

関数$f(x)$が$a\le x \le b$で連続、$a \lt x \lt b$で微分可能であるとき、平均値の定理から$f'(x)$の符号と$f(x)$の値の増減について次のことが成り立つ、

$1)$ $a \lt x \lt b$の範囲で$f'(x) \gt 0$ならば、$f(x)$は$a\le x \le b$の範囲で増加する。
$2)$ $a \lt x \lt b$の範囲で$f'(x) \lt 0$ならば、$f(x)$は$a\le x \le b$の範囲で減少する。
$3)$ $a \lt x \lt b$の範囲で$f'(x) = 0$ならば、$f(x)$は$a\le x \le b$の範囲で定数である。

---

証明)

$1)$について$a \lt x \lt b$である任意の数$x_1,x_2$に対して、平均値の定理より
$$f(x_2)-f(x_1) = f'(c)(x_2-x_1) \quad (x_1 \lt c \lt x_2)$$
となる$c$が存在する。$x_2-x_1\gt 0$で$f'(c)\gt0$だから
$$f(x_2)-f(x_1)\gt0 \implies f(x_1) \lt f(x_2)$$
したがって$f(x)$は$a \lt x \lt b$で増加する。
$\tag*{$\blacksquare$}$

関数の極大・極小

連続な関数$f(x)$が$x=a$を境目として増加から減少に変わるとき、関数$f(x)$は$x=a$で極大になるといい、その時の値$f(a)$を極大値という。
また$x=b$を境目として増加から減少に変わるとき、関数$f(x)$は$x=b$で極小になるといい、その時の値$f(a)$を極小値という。
極大値と極小値を合わせて極値という。

---

• 極値を取るための必要条件

関数$f(x)$が$x=a$で微分可能で、かつ$x=a$で極値をとるならば$f'(a)=0$である。

また導関数の符号と関数の増減との関係から次のことがわかる。増減表で利用する。

$f'(x)=0$となる$x=a$の前後で$f'(x)$の符号が
$\quad 1)$ 正から負に変わるとき、$f(x)はx=a$で極大になる
$\quad 2)$ 負から正に変わるとき、$f(x)はx=a$で極小になる

---

以下は問題とその解法の解説。略す。

• 関数の最大・最小 (三角関数)
• 関数の最大・最小 (分数関数)
• 容器の表面積の最小
• 方程式・不等式への応用
• 実数解の個数

高校数学 - 微分法(2) いろいろな関数の導関数

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第15回は微分法(2) いろいろな関数の導関数です。

この単元では三角関数や指数関数、対数関数などの超越関数の微分を学んでいます。導出方法を理解した上で、導関数も覚えよう。導出方法はこのあともずーっとやっていきますからね。ここをサボると絶対に次に行けないところです、ってサボれるところ、いままでにどっかあった?? 合成関数の微分法、忘れないように。どこででも使います。

またネイピア数の定義もでてきました。ようやく微積「らしい」感じになってきました。しかしこんなの考え出すなんて、どんな発想したんでしょうね。

• • • 教材
    • 微分法
      • いろいろな関数の導関数
        • 三角関数の導関数
        • 対数関数・指数関数の導関数
          • 絶対値を含む対数関数の導関数
          • 指数関数の導関数
        • 高次導関数
        • 対数微分法
        • 懸垂線、カテナリー

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
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第5章 微分法
第1節 微分と導関数
1. 微分可能と連続
2. 微分と導関数
3. 合成関数の微分法
第2節 いろいろな関数の導関数
1. 三角関数の導関数
2. 対数関数・指数関数の導関数
3. 高次導関数
第3節 導関数の応用
1. 接線の方程式
2. 平均値の定理
3. 関数の増減
第4節 いろいろな応用
1. グラフの凹凸
2. 第2次導関数と極大・極小
3. 速度と加速度

微分法

いろいろな関数の導関数

• いろいろな関数の導関数の公式

$$\begin{align*} &(\sin x)'= \cos x \\ &(\cos x)'= \sin x \\ &(\tan x)'= \frac{1}{\cos^2 x} \\ &(\log_a x)'=\frac{1}{x \log a} \\ &(\log x)'=\frac{1}{x} \\ &(\log |x|)'=\frac{1}{x} \\ &(\log |f(x)|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} \\ &(e^x)'=e^x \\ &(a^x)'=a^x\log a \\ &(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} \quad (\alphaは実数) \end{align*}$$

三角関数の導関数

• $y=\sin x$の導関数

$$\begin{align*} (\sin x)' &= \lim_{h\to 0} \frac { \sin (x+h) - \sin x } { h } \\ &= \lim_{h\to 0} \frac { \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x } { h } \quad (\because 加法定理)\\ &= \lim_{h\to 0} \frac { \cos x \sin h - \sin x ( 1 - \cos h )} { h } \\ &= \lim_{h\to 0} \left ( \cos x \cdot \frac {\sin h}{h} - \sin x \cdot \frac {1 - \cos h} {h} \right) \end{align*}$$
ここで
$$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac {1 - \cos h} {h} &= \lim_{h\to 0} \frac {(1 - \cos h)( 1 + \cos h)} {h ( 1 + \cos h)}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac { 1 - \cos^2 h } { h ( 1 + \cos h) } \\ &= \lim_{h\to 0} \frac { \sin^2 h } { h ( 1 + \cos h) } \\ &= \lim_{h\to 0} \frac { \sin h } { ( 1 + \cos h) } \cdot \frac {\sin h}{ h } \\ &= \frac {0} {2} \cdot 1 = 0 \quad (\because \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 ) \end{align*}$$
よって
$$(\sin x)'=(\cos x)\cdot 1 - (\sin x) \cdot 0 = \cos x \\ \tag*{$\blacksquare$}$$

---

• $y=\cos x$の導関数

$$\begin{align*} (\cos x)' &= \left\{ \sin \left( x+\frac{\pi}{2} \right) \right\}' \\ &= \cos \left( x + \frac {\pi}{2} \right) \cdot \left( x + \frac {\pi}{2} \right)' \quad (\because 合成関数の微分) \\ &= \cos \left( x + \frac {\pi}{2} \right) \\ &= -\sin x \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$$

---

• $y=\tan x$の導関数

$$\begin{align*} (\tan x)' &= \left( \frac{\sin x}{\cos} \right)' \\ &= \frac { (\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)' } {\cos^2 x} \quad (\because 合成関数の微分) \\ &= \frac { \cos^2 x + \sin^2 x } { \cos^2 x} \\ &= \frac { 1 } { \cos^2 x } \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$$

対数関数・指数関数の導関数

• $y=\log_a x$の導関数

$$\begin{align*} (\log_a x)' &= \lim_{h\to 0} \frac { \log_a (x+h) - \log_a x } {h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac {1}{h} \log_a \frac {x+h}{x} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac {1}{h} \log_a \left( 1 + \frac {h}{x} \right) \end{align*}$$
ここで$\displaystyle\frac{h}{x}=t$とおくと$h\to 0のときt\to0$だから
$$\begin{align*} (\log_a x)' &= \lim_{t \to 0} \frac {1}{xt} \log_a( 1+t ) \\ &= \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \log_a(1+t)^{\frac{1}{t}} \end{align*}$$
ここで$\displaystyle\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}$は$t\to0$のとき一定の値に近づく。この極限値をネイピア数といい$e$で表す。
$$\begin{align*} e &= \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} \\ &= 2.7182818\dots\dots \end{align*}$$
これより
$$(\log_a x)' = \frac{1}{x} \log_a e$$
とくに$a=e$のとき
$$(\log_e x)'=\frac{1}{x}\log_e e=\frac{1}{x}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

---

• 自然対数

$e$を体とする対数$\log_e x$を$x$の自然対数といい、底を省略し、$\log x$、または$\ln x$と表す。

絶対値を含む対数関数の導関数

• $y=\log_a |x|$の導関数

$x\gt0$のとき$y=\log x$だから
$$y'=\frac{1}{x}$$
$x\lt0$のとき$y=\log (-x)$だから
$$y'=\frac{1}{-x}\cdot(-x)'=-\frac{1}{x}\cdot (-1) = \frac{1}{x}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$
さらに$y=\log|f(x)|$の導関数は、合成関数の微分法により$u=f(x)$として
$$\begin{align*} y' &= \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \\ &= \frac{1}{u}\cdot f'(x) \\ &= \frac{f'(x)}{f(x)} \tag*{$\blacksquare$} \end{align*}$$

指数関数の導関数

• $y=a^x$の導関数

$y=a^x$の両辺の自然対数を取ると
$$\log y = x\log a$$
となる。この両辺を$x$の関数と考えて、$x$で微分すると、合成関数の微分法より
$$\frac {d}{dy} \log y \cdot \frac {dy} {dx} = \log a \iff \\ \frac {1}{y} \cdot \frac {dy}{dx} = \log a$$
よって
$$\frac {dy}{dx} = y \log a = a^x \log a\\ $$
とくに$a=e$のとき
$$(e^x)'=e^x \log_e e=e^x \tag*{$\blacksquare$}$$

高次導関数

関数$f(x)$についてその導関数$f'(x)$が再び微分可能なとき、$f'(x)$の導関数を$f(x)$の第$2$次導関数といい、$f''(x)$で表す。

一般に$y=f(x)$を$n$回微分して得られる関数を$f(x)$の第$n$次導関数といい、次のように表す。
$$f^{(n)}(x) \\ y^{(n)} \\ \frac {d^n y} {dx^n} \\ \frac {d^n}{dx^n} f(x)$$

対数微分法

両辺の自然対数を取ってから微分する方法を対数微分法という。

• $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$の導関数

$y=x^\alpha$の両辺の対数を取ると
$$\log y=\alpha \log x$$
この両辺を$x$で微分すると
$$\frac{d}{dy} \log y\cdot \frac {dy} {dx} = \frac {\alpha} {x} \iff \\ \frac{1} {y} \frac{dy}{dx} = \frac {\alpha} {x} \iff \\ \frac {dy}{dx} = \frac{\alpha}{x}\cdot y = \frac{\alpha}{x} x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1}$$

懸垂線、カテナリー

太さと重さが一様の鎖の両端を持ってぶら下げたときにできる曲線。

曲線上の点$P$では線分の右上方向に引っ張る力$T$と、下向きにかかる力$G$と、左向きに引っ張る力$H$とが釣り合っている。このことから導関数を用いた関係式が導かれ、それを解くと
$$y=\frac{a}{2}\left( e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}} \right) \quad (aは正の定数)$$
となることが知られている。この方程式が表す曲線を懸垂線、またはカテナリーという。点$A$の十分近くでは放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2a}+a$と形状がほぼ一致することが知られている。

高校数学 - 微分法(1) 微分と導関数

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第14回は微分法(1)です。

いよいよ微積本番ですよ。高校の微積分って初等関数と超越関数を扱うんですよね。結構重要な公式や、考え方を学ぶので、しっかりいきたいと思います。
この単元では基本的な導関数の作成方法や、合成関数や逆関数の微分の操作を学習します。初歩ですがかなり重要ですね。今後バンバン使っていく操作なので、必ずマスターしておきたいところ、

なお、微分法を通しで書こうと思いましたが、やってみると結構証明が多くて、分けたほうが扱いが楽そうなのでわけます。全部で4節ありますので、たぶん4つに分けることになると思います。

• • • 教材
    • 微分法
      • 微分と導関数
        • 微分可能と連続
        • 微分と導関数
          • 積と商の導関数
        • 合成関数の微分法
          • xrの導関数
          • 曲線の方程式と微分
          • 逆関数の微分

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
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発行日: 2014-12-10
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第5章 微分法
第1節 微分と導関数
1. 微分可能と連続
2. 微分と導関数
3. 合成関数の微分法
第2節 いろいろな関数の導関数
1. 三角関数の導関数
2. 対数関数・指数関数の導関数
3. 高次導関数
第3節 導関数の応用
1. 接線の方程式
2. 平均値の定理
3. 関数の増減
第4節 いろいろな応用
1. グラフの凹凸
2. 第2次導関数と極大・極小
3. 速度と加速度

微分法

微分と導関数

微分可能と連続

• 微分係数

関数$f(x)$について、極限値
$$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
が存在するとき、この極限値を$f(x)$の$x=a$における微分係数といい、$f'(a)$で表す。すなわち
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{1}$$
関数$y=f(x)$のグラフにおいて微分係数$f'(a)$は、点$A(a, f(a))$における接線の傾きである。
また$a+h=x$、すなわち$h=x-a$とおくと
$$h\to0のときx\to a$$
となるから$f'(a)$は次のように表すこともできる。
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

---

• 微分可能と連続

微分係数$f'(a)$が存在するとき、関数$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという、ある区間の全ての$x$の値で微分可能なとき、$f(x)$はその区間で微分可能であるという。

$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば$f(x)$は$x=a$で連続である。

---

証明)
$f(x)$が$x=a$で微分可能であるならば$f'(a)$が存在するから
$$\lim_{x\to a}\left\{ f(x)-f(a) \right\} = \lim_{x\to a}\left\{ (x-a) \cdot \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)} \right\} = 0\times f'(a) = 0$$
よって$\displaystyle\lim_{x\to a}\left\{ f(x)-f(a) \right\} = f(a)$となり、$x=a$で連続である。
$\tag*{$\blacksquare$}$

---

逆に$f(x$)が$x=a$で連続であっても、微分可能であるとは限らない。

例)
$f(x)= | x | はx=0$で連続だが
$$\begin{align*} \lim_{h\to +0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} &= \lim_{h\to +0} \frac{|h|}{h}=\lim_{h\to +0} \frac{h}{h} = 1 \\ \lim_{h\to -0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} &= \lim_{h\to -0} \frac{|h|}{h}=\lim_{h\to +0} \frac{-h}{h} = -1 \end{align*}$$
となり、$h$への近づき方によって近づく値が異なるから$f'(0)$は存在しない。すなわち$f(x)=|x|$は、$x=0$で微分可能ではない。

微分と導関数

関数$y=f(x)$の導関数$f('x)$は、$x$の値$a$に対して微分係数$f('a)$を対応させる関数であり、次のように書ける。
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
$xの増分hを\Delta x, yの増分f(x+h)-f(x)を\Delta yで表せば$
$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
のように表すこともできる。

$y=f(x)$の導関数は$f'(x)$の他に
$$y', \left\{ f(x) \right\}, \frac{dy}{dx}, \frac{d}{dy}f(x)$$
のようにも書く。導関数を求めることを微分するという。

---

• 微分法の公式

$$\begin{align*} 1) & \ \left\{ kf(x) \right\}' = kf'(x) \ \ (ただしkは定数) \\ 2) & \ \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x) + g'(x) \\ & \ \left\{ f(x)-g(x) \right\}' = f'(x) - g'(x) \\ 3) & \ \left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\ 4) & \ \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}' = - \frac {g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2}\\ & \ \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \\ 5) &\ rが有理数のとき(x^r)'=rx^{r-1} \\ 6) & \ \left\{ f(g(x)) \right\}' = f'(g(x))g'(x) \\ & \ \left[\left\{f(x)\right\}^n\right]'=n\left\{f(x)\right\}^{n-1}f'(x) \ \ (nは整数) \\ 7) & \ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} \end{align*}$$

---

関数$f(x)$が微分可能ならば、その定数倍$kf(x)$も微分可能である。また関数$f(x), g(x)$が微分可能ならそれらの和、差も微分可能である。次の公式が成り立つ。

$$\begin{align*} 1) & \ \left\{ kf(x) \right\}' = kf'(x) \ \ (ただしkは定数) \\ 2) & \ \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x) + g'(x) \\ & \ \left\{ f(x)-g(x) \right\}' = f'(x) - g'(x) \\ \end{align*}$$

---

証明)
$y=f(x)+g(x)$とし、$\Delta x=h$に対する$y$の増分を$\Delta y$とする。
$$\begin{align*} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{ \left\{ f(x+h)+g(x+h) \right\} - \left\{ f(x)+g(x) \right\} }{h} \\ &=\frac{ f(x+h) - f(x) }{ h } + \frac{ g(x+h) - g(x) }{ h } \end{align*}$$
よって、
$$\begin{align*} y'&=\lim_{\Delta\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{ f(x+h) - f(x) }{ h } + \frac{ g(x+h) - g(x) }{ h } \right\} \\ &=\lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h) - f(x) }{ h } + \lim_{h\to 0} \frac{ g(x+h) - g(x) }{ h } \\ &=f'(x) + g'(x) \end{align*}$$

$f'(x)-g'(x)$についても同様。
$\tag*{$\blacksquare$}$

積と商の導関数

• 積の導関数

関数$f(x), g(x)$が微分可能ならそれらの積も微分可能である。次の公式が成り立つ。

$$\begin{align*} 3) & \ \left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{align*}$$

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証明)
$y=f(x)g(x)$とし$\Delta x=h$に対する$y$の増分を$\Delta y$とする。
$$\begin{align*} \Delta y&= f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) \\ &=f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x) \\ &=\left\{ f(x+h)-f(x) \right\}g(x+h) + f(x)\left\{ g(x+h) - g(x) \right\} \end{align*}$$
よって
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$
ここでg(x)は連続であるから$\displaystyle\lim_{h\to0}g(x+h)=g(x)$であり、また
$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=f'(x) , \ \ \lim_{h\to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}=g'(x)$$
より
$$y'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

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• $x^n$の導関数

$n$が自然数のとき $(x^n)' = nx^{n-1}$

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• 二項定理を使った$x^n$の導関数導出

nが自然数のとき、二項定理
$$\begin{align*} (x+h)^n&={}_n C_0 x^n + {}_n C_1 x^{n-1}h + {}_n C_2 x^{n-2}h^2 +\cdots+ {}_n C_n h^n \\ &=x^n + n x^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \end{align*}$$
を利用し、右辺の$x^n$を左辺に移項、全体をhで割って
$$\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$$
したがって
$$\begin{align*} (x^n)'&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\left\{ nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1} \right\} \\ &=nx^{n-1} \end{align*}$$

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• 商の導関数

関数$f(x), g(x)$が微分可能ならそれらの商も微分可能である。次の公式が成り立つ。

$$\begin{align*} 4) & \ \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}' = - \frac {g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \tag{1}\\ & \ \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \tag{2} \end{align*}$$

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証明)
$4)-(1)$を証明する。
$\displaystyle y=\frac{1}{g(x)}$とし、$\Delta x=h$に対する$y$の増分を$\Delta y$とする。

$$\begin{align*} \Delta y&=\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)} \\ &=-\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)g(x)} \end{align*}$$
となるので
$$\begin{align*} \frac{\Delta y}{\Delta x}&=\left( -\frac{1}{g(x+h)g(x)} \right) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ \end{align*}$$
ここで、
$$\lim_{h\to 0} g(x+h) = g(x), \ \ \lim_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g'(x)$$
だから
$$y'=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2 }$$
$4)-(2)$を証明する。
$4)-(1)と3)$の公式により
$$\begin{align*} \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\} ' &= \left\{ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right\} ' \\ &=f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot \left( -\frac{g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \right) \\ &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^2} \end{align*}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

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$(x^n)'=nx^{n-1}$は、$n$が負の整数の場合も成り立つことを証明する。

証明)
$n=-1$とおくと、$m$は正の整数であるから
$$\begin{align*} (x^n)'&=(x^{-m})'=\left( \frac{1}{x^m} \right)=-\frac{(x^m)'}{(x^m)^2}=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} \\ &=(-m)x^{-m-1}=nx^{n-1} \end{align*}$$
また、$n=0$のときは、$(x^0)'=(1)'=0$であるから次のことが成り立つ。
$$5) \ nが整数のとき(x^n)'=nx^{n-1}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

合成関数の微分法

関数$y=f(u), u=g(x)$の合成関数$y=f(g(x))$の導関数は
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
また、$\displaystyle\frac{dy}{du}=f'(u), \frac{du}{dx}=g'(x)$だから
$$\left\{ f(g(x)) \right\}' = f'(g(x))g'(x)$$
上記より$n$が整数のとき以下が成り立つ。
$$\left[\left\{f(x)\right\}^n\right]'=n\left\{f(x)\right\}^{n-1}f'(x)$$

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証明)

$2$つの微分可能な関数$y=f(u), u=g(x)$の合成関数を$y=f(g(x))$とすると
$$xの増分\Delta xに対するuの増分を\Delta u \\ uの増分\Delta uに対するyの増分を\Delta y \\ $$
とすると
$$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x), \ \ \Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)$$
$g(x)$は連続なので、$\Delta x\to 0のとき\Delta u\to0$となるから
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)\\ &=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta u\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}\\ &=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \end{align*}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$

x^rの導関数

$r$が有理数のとき $(x^r)'=rx^{r-1}$

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証明)
$n$を正の整数、$m$を整数として、$r=\displaystyle\frac{m}{n}$とする。
$f(x)=x^\frac{m}{n}$とおくと、$\left\{ f(x) \right\}^n=x^m$
この式の両辺をそれぞれ$x$で微分すると
$n\left\{f(x)\right\}^{n-1}f'(x)=mx^{m-1}$なので
$$f'(x)=\frac{mx^{m-1}}{n\left\{f(x)\right\}^{n-1}} = \frac{mx^{m-1}}{n\left(x^{\frac{m}{n}}\right)^{n-1}} = \frac{mx^{m-1}}{nx^{m-\frac{m}{n}}}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$$
よって$f'(x)=rx^{r-1}$
$\tag*{$\blacksquare$}$

曲線の方程式と微分

一般に$x,y$についての方程式が与えられたとき、両辺を$x$の関数とみなして微分すると、$x$の関数$y$の導関数$y'$を求めることができる。

例)
$x^2+y^2=1$を微分する。

$y$は$x$の関数として、$x^2+y^2$も$x$の関数である。与式の両辺を$x$で微分すると
$$2x+\frac{d}{dx}y^2=0$$
ここで$\displaystyle\frac{d}{dx}y^2=\frac{d}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=2yy'$だから
$$2x+2yy'=0 すなわちx+yy'=0$$
これより$y\neq0$のとき
$$y'=-\frac{x}{y}$$

逆関数の微分

微分可能な関数$y=f(x)$の逆関数$y=f^{-1}(x)$の導関数
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

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証明)
$y=f^{-1}(x)$のとき
$$x=f(y)$$
この両辺を$x$の関数とみてそれぞれ$x$で微分すると、
$$\begin{align*} &左辺は \frac{d}{dx}x=1 \\ &右辺は \frac{d}{dx}f(y) = \frac{d}{dy}f(y)\cdot\frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} \end{align*}$$
これより
$$1=\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}$$
である。よって
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
$\tag*{$\blacksquare$}$