高校数学 - 確率分布と統計的な推測

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第13回は確率分布と統計です。

たしか高校生の頃、この範囲はとても苦手で何を言っているのか全然わかっていませんでした。そしてその後もあまりちゃんと理解することもなく、ここまでやってきたんですね。でも機械学習とか深層学習をやろうとすると、なんだか必須らしいです… まあ、当時も形式的に使えればなんとかなったんですが、今回はせっかく復習するんだし、ちゃんと理解してみたいと思います。しかし統計学がこんなにも実用的なものだとは…もっと早く知っておくべきでした。

なお、統計学は最強の学問、だそうですね。面白そうな本をリスナーさんに教えてもらったので、今度読んでみたいと思います。いろいろと忙しいなぁ(笑)

復習時に頭を悩ませたのは下記です。

• 確率変数の1次式の平均
  教科書の例題と、期待値の求め方（期待値の定義）でなんとかクリア。
• 二項分布
  なかなか二項分布が指す意味や、使い方が頭に染み込んできませんが、そういう問題を少し助けてくれるいい参考サイト 二項分布 - Minitab がありました。また基礎的な話としては 高校数学の復習からはじめる二項分布の導出 - 廿TT の記事もとっても良かったです。

• みくねーさん!
  ミクの歌って覚える統計入門では初音ミクねーさんが、統計に取り憑かれたかのように、統計の歌を歌いまくっています! もうこれは全曲制覇するしかないっ! ってみくさんにとりつかれたのは私だね…

• e (ネイピア数)
  いきなりネイピア数登場です。解説1行です。無理数、値、以上。はやく微積やろう…。

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教材

• 新編 数学B 平成26年度用

編者: 高橋陽一郎
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発行日: 2013-12-10
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第4章 確率分布と統計的な推測
第1節 確率分布
1. 確率変数と確率分布
2. 確率変数の平均
3. 確率変数の分散と標準偏差
4. 和の平均と分散
5. 二項分布
第2節 正規分布
1. 連続的な確率変数
2. 正規分布
第3節 統計的な推測
1. 母集団と標本
2. 推定

確率分布と統計的な推測

確率分布

確率変数と確率分布

• 確率変数、確率分布

ある試行の結果に応じて値が決まる変数を確率変数という。また確率変数の取る値とその確率の対応関係を確率分布という。

一般に確率変数$X$の値を$x_1, x_2, \cdots, x_n$とし、それぞれに対応する確率を$p_1, p_2, \cdots, p_n$とすると次のことが成り立つ。
$$\begin{align*} p_1 \ge 0, p_2 \ge 0, \cdots, p_n \ge 0 \\ p_1 + p_2 + \cdots + p_n =1 \end{align*}$$
また$X$の確率分布は次の表のようになる。
$$\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 計 \\ \hline p & p_1 & p_2 & \cdots & p_n & 1 \\ \hline \end{array}$$

確率変数$X$の値が$a$となる確率を$P(X=a)$と表し、$X$が$a$以上$b$以下の値を取る確率を$P(a \le X \le b)$と表す。

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例1)
$A賞,B賞,C賞$のどれかが当たる総数$1000本$のくじを考える。

$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline 項目 & A賞 & B賞 & C賞 \\ \hline 賞金(円) & 3000 & 1000 & 500 \\ \hline 本数 & 100 & 300 & 600 \\ \hline \end{array}$$

このくじから$1$本を引くときの賞金額を$X$円とし、$A賞のときX=3000$、$B$賞のとき$X=1000$、$C$賞のとき$X=500円$である。$X$がどのような確率で当たるかは偶然によって決まり、その確率は下記表のようになる。

$$\begin{array}{|c|ccc|c|} \hline X & 3000 & 1000 & 500 & 計\\ \hline 確率 & \displaystyle\frac{1}{10} & \displaystyle\frac{3}{10} & \displaystyle\frac{3}{5} & 1 \\ \hline \end{array}$$

---

例2)
赤玉$3$個と白玉$2$個が入っている袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき、出る赤玉の個数$X$の確率分布を求める。

解)
$X$の取りうる値は$X=0, 1, 2$である。
$$\begin{align*} &P(X=0)=\frac{{}_2 C_2}{{}_5 C_2} = \frac{1}{10} \\ &P(X=1)=\frac{{}_2 C_1 \times {}_3 C_1 }{{}_5 C_2} = \frac{6}{10}\\ &P(X=2)=\frac{{}_3 C_2}{{}_5 C_2} = \frac{3}{10} \end{align*}$$

よって$X$の確率分布は下記表となる。

$$\begin{array}{|c|ccc|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 計 \\ \hline p & \displaystyle\frac{1}{10} & \displaystyle\frac{6}{10} & \displaystyle\frac{3}{10} & 1 \\ \hline \end{array}$$

確率変数の平均

• 平均、期待値 ( expectation )

一般に確率変数$X$の確率分布が下記表のように与えられたとき
$$x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$
を確率変数$X$の平均、または期待値といい$E(X)$で表す。

$$E(X)=x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n=\sum_{i=1}^i x_i p_i$$

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• 確率変数の$1$次式の平均

$a,b$が定数で$Y=aX+b$のとき
$$E(Y)=aE(X)+b$$

---

例)
番号$1, 3, 5$のついた玉がそれぞれ$2個,4個,10個$入った袋から玉を$1$個取り出す。玉の番号の枚数だけ$100$円硬貨がもらえるゲームで、$300$円払ってこのゲームをするときの利益$Y$円の平均を求めよ。

解)
まず、袋から玉を$1$個取り出すときの番号の平均を求める。これを用いて利益の平均を求める。

$$\begin{array}{|c|ccc|c|} \hline X & 1 & 3 & 5 & 計 \\ \hline p & \displaystyle\frac{2}{16} & \displaystyle\frac{4}{16} & \displaystyle\frac{10}{16} & 1 \\ \hline \end{array}$$
より
$$\begin{align*} E(X)&=1 \times \frac{2}{16} + 3 \times \frac{4}{16} + 5 \times \frac{10}{16} \\ &=\frac{2+12+50}{16} = 4 \end{align*}$$

利益$Y$円の平均は玉の番号の$100$倍で、ゲームに$300$円支払うので
$$Y=100X-300$$
ここから
$$\begin{align*} E(Y)&=100E(X)-300 \\ &=100\times4 - 300 \\ &=100 (円) \end{align*}$$

確率変数の分散と標準偏差

• 分散 ( variance ) 、標準偏差 ( standard deviation )

以前の復習高校数学 - データの分析を参考のこと。標準偏差を求める手順は
$$平均値\to偏差\to偏差平方\to分散\to標準偏差$$
であることを復習した。これを用いて確率変数の分散と標準偏差を求める。

---

下記表のような確率分布をもつ確率変数$X$を考える。

$$\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 計 \\ \hline p & p_1 & p_2 & \cdots & p_n & 1 \\ \hline \end{array}$$

この確率変数$X$の平均を$m$とすると、偏差は$X-m$、偏差平方は$(X-m)^2$、分散は偏差平方の平均である。よって

$$E((X-m)^2)=(x_1-m)^2 p_1 + (x_2-m)^2 p_2 + \cdots + (x_n-m)^2 p_n$$
であり、これを$X$の分散といい、$V(X)$で表す。そして、分散の正の平方根
$$V(X)=E((X-m)^2), \ \ \sigma (X) = \sqrt{V(X)}$$
を$X$の標準偏差といい、$\sigma(X)$で表す。

• 分散と標準偏差の性質

$$V(X)=E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^2, \ \ \sigma(X)=\sqrt{E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^2}$$

---

上記表で与えられている確率変数$X$の分散は、$X$の平均$E(X)$を$m$とすると
$$\begin{align*} V(X)&=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots+(x_n-m)^2p_n \\ &=({x_1}^2p_1 + {x_2}^2p_2 +\cdots+{x_n}^2p_n) \\ & \ \ \ \ -2m(x_1p_1 + x_2p_2 +\cdots+x_np_n) + m^2(p_1 + p_2 +\cdots+ p_n) \\ &=E(X^2)-2mE(X)+m^2 \\ &=E(X^2)-2\left\{E(X)\right\}^2+\left\{E(X)\right\}^2 \ \ (\because E(X)=m) \\ &=E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^2 \end{align*}$$

• $1$次式の分散と標準偏差

$a,b$が定数で$Y=aX+b$のとき
$$\begin{align*} V(Y)=a^2V(X) \\ \sigma(Y)=\left|a\right|\sigma(X) \end{align*}$$

---

確率変数$Y$が$X$の$1$次式のときの$Y$の分散を考える。
$Y=aX+b (1)$ とすると
$$E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b \tag{2}$$
であるから$(1)-(2)$より
$$\begin{align*} Y-E(Y)&=aX+b -(aE(X)+b) \iff \\ Y-E(Y)&=a\left\{X-aE(X)\right\} \tag{3} \end{align*}$$
したがって
$$\begin{align*} V(Y)& = E(\left\{Y-E(Y)\right\}^2)\\ &= E ( a^2 \left\{ X - E(X) \right\}^2 ) \ \ \ \ \ (\because 同形の(3)を代入) \\ &= a^2 E ( \left\{ X - E(X) \right\}^2 ) \\ &= a^2V(X) \end{align*}$$
また
$$\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{a^2V(X)}=|a|\sqrt{V(X)}=|a|\sigma V(X)$$

和の平均と分散

• 確率変数の和の平均

確率変数$X,Y$における和の平均は確率変数の和の平均と等しい。
$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

和の平均については$3$つ以上の独立な確率変数についても同様のことがいえる。

• 独立な確率変数

$2$つの試行$T_1,T_2$があって、$T_1$に関する確率変数Xと、$T_2$に関する確率変数$Y$の確率分布がそれぞれ以下の表のようであるとする。

$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline X & x_1 & x_2 & 計 \\ \hline p & p_1 & p_2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline Y & y_1 & y_2 & 計 \\ \hline p & p_1 & p_2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

試行$T_1,T_2$が独立のとき、これらの試行は互いに他に影響しないので、$Xがx_i$、$Yがy_i$の値を取る確率$(X=x_i, Y=y_i)$について
$$P(X=x_i, Y=y_i) = P(X=x_i)(Y=y_i) \tag{1}$$
が成り立つ。このとき$X,Y$は独立であるという。

• 独立な確率変数の積の平均
  $$X,Yが独立のとき E(XY)=E(X)E(Y)$$

• 独立な確率変数の和の分散
  $$X,Yが独立のとき V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$

積の平均、和の分散については$3$つ以上の独立な確率変数についても同様のことがいえる。

---

下記表が成り立つ。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & y_1 & y_2 & 計 \\ \hline x_1 & p_1q_1 & p_1p_2 & p_1 \\ \hline x_2 & p_2q_1 & p_2p_2 & p_2 \\ \hline 計 & q_1 & p_2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

ここで$X,Yの積XY$の確率分布は下記表になる。

$$\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline XY & x_1y_1 & x_1y_2 & x_2y_1 & x_2y_2 & 計 \\ \hline p & p_1q_1 & p_1q_2 & p_2q_1 & p_2q_2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

よって$XY$の平均は以下となる。
$$\begin{align*} E(XY)&=x_1y_1p_1q_1 + x_1y_2p_1q_2 + x_2y_1 p_2q_1 + x_2y_2 p_2q_2 \\ &=(x_1p_1+x_2q_2)(y_1q_1+y_2q_2) \\ &=E(X)E(Y) \end{align*}$$

---

$2$つの確率変数$X,Y$が独立のとき$X+Y$の分散を計算すると

$$\begin{align*} V(X+Y)&=E((X+Y)^2)-\left\{ E(X+Y) \right\}^2 \\ &=E(X^2+2XY+Y^2)-\left\{ E(X)+E(Y) \right\}^2 \\ &=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2) - \left[ \left\{ E(X) \right\}^2 + 2E(X)E(Y) + \left\{ E(Y) \right\}^2 \right] \\ &=E(X^2) - \left\{ E(X) \right\}^2 +E(Y)^2 - \left\{ E(Y) \right\}^2 \\ &=V(X)+V(Y) \end{align*}$$

二項分布

• 二項分布 ( binomial distribution )

一般に、$1$回の試行で事象$A$の起こる確率が$p$で、起こらない確率が$q$のとき、$n$回の試行が独立ならば、$X=r$となる確率、すなわちこの反復試行で事象$A$が$r$回起こる確率は次のようになる。
$$P(X=r)={}_n C_r p^rq^{n-r} \ \ (p+q=1)$$

確率変数$X$の確率分布は以下の表のようになる。

$$\begin{array}{|c|cccccc|c|} \hline X & 0 & 1 & \cdots & r & \cdots & n & 計 \\ \hline 確率 & {}_nC_0 q^n & {}_nC_1 pq^{n-1} & \cdots & {}_nC_r p^rq^{n-r} &\cdots & {}_nC_n p^n & 1 \\ \hline \end{array}$$

この表の確率をすべて足し合わせたものは、二項定理の展開式の右辺
$$(p+q)^n = {}_nC_0 q^n + {}_nC_1 pq^{n-1} + \cdots + {}_nC_r p^rq^{n-r} +\cdots + {}_nC_n p^n$$
になっていることから、このような確率分布を二項分布といい、$B(n, p)$で表す。また、このとき確率変数$X$は二項分布$B(n, p)$に従うという。

• 二項分布の平均と標準偏差

$X$が二項分布$B(n,p)$に従うとき、$p+q=1$とすると
$$\begin{align*} &平均 E(X)=np &標準偏差 \sigma(X)=\sqrt{npq} \end{align*}$$

---

確率変数$X$の確率分布が二項分布で
$$P(X=r)={}_n C_rp^rq^{n-r} \ \ (r=0,1,\cdots,n, \ p+q=1)$$
のとき、$X$の平均と標準偏差を求める。
この二項分布は、$1$回の試行で起こる確率が$p$の事象$A$と考えると、試行を独立に$n$回繰り返すときに$A$が起こる回数$X$の確率分布である。
今、第$i$回目の試行で「$Aが起こるとき1$、 起こらないとき$0$」の値を取る確率変数を$X_i$とすると
$$XはX_1, X_2, \cdots,X_nのなかの1の個数$$
であるから$X=X_1+X_2+\cdots+X_n$である。このとき、確率変数$X_1, X_2, \cdots,X_n$は互いに独立であるから、その和$X=X_1+X_2+\cdots+X_n$の平均と分散について、次のことがいえる。
$$\begin{align*} E(X)&=E(X_1)+E(X_1)+\cdots+E(X_n) \tag{1} \\ V(X)&=V(X_1)+V(X_1)+\cdots+V(X_n) \tag{2} \end{align*}$$
ところで$X_i$の確率分布は
$$\begin{array}{|c|cc|c|} \hline X & 1 & 0 & 計 \\ \hline 確率 & p & q & 1 \\ \hline \end{array}$$
だから、
$$\begin{align*} E(X_i)&=p \\ V(X_i)&=pq \end{align*}$$
である。したがって
$$\begin{align*} E(X)&=np \\ V(X)&=npq \end{align*}$$
である。また標準偏差は$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$であることから、
$$\sigma(X)=\sqrt{npq}$$
である。

正規分布

連続的な確率変数

• 連続的な確率変数

連続的な値を取る変数$X$についても、そのとる値の範囲の確率が定まっているとき、$X$を確率変数といい、確率変数$X$が$a以上b以下$の値をとる確率を$P(a\le X \le b)$と表す。

• 確率密度関数、分布曲線

一般に確率変数$X$が連続的な値をとり、その値が$\alpha\le X \le \beta$の範囲にある確率$P(\alpha\le X \le \beta)$が図のように、曲線$y=f(x),x軸,直線x=\alpha,x=\beta$で囲まれた図形の面積で表されているとき、関数$y=f(x)$を$X$の確率密度関数といい、曲線$y=f(x)$を分布曲線という。
また$X$のとりうる値の範囲が$a\le X \le b$のとき、曲線$y=f(x),x軸,直線x=\alpha,x=\beta$で囲まれた図形の面積は$1$となる。

正規分布

• 正規分布、標準正規分布

確率変数$X$のとり得る値が実数全体で、$X$の確率密度関数が
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$$
であるとき、この$X$の確率分布を、平均$m,標準偏差\sigma$の正規分布といい、$N(m, \sigma^2)$で表す。このとき確率変数$X$は正規分布$N(m,\sigma^2)$に従うという。

ここで$e$は無理数で、$e=2.71828\cdots$である。

確率変数$X$が正規分布$N(m, \sigma^2)$に従うとき、
$$U=\frac{X-m}{\sigma}$$
とおくと、$U$の確率分布は平均$0$、標準偏差$1$の正規分布$N(0,1)$となる。正規分布$N(0, 1)$を標準正規分布といい、その確率密度関数は次のようになる。

$$f(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}$$

標準正規分布は次の性質を持つ確率分布である。

$1) \ y=f(u)$のグラフは$y$軸に対して対称な山形の曲線である。
$2) \ U$の値が$-k\le U \le k$の範囲にある確率は、次の図のような斜線部分の面積となり、$k$が大きくなると$1$に近づく。

$k=1$

$k=2$

$k=3$

標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数$U$に対して確率
$$P (0\le U \le u_0)$$
を$u_0$のいろいろな値に対して計算して表にまとめたものを正規分布表という。

• 正規分布による二項分布の近似

確率変数$X$が二項分布$B(n, p)$に従うとき、$n$が大きければ、
$$U=\frac{X-np}{\sqrt{npq}} \ \ (p+q=1)$$
はほぼ標準正規分布$N(0,1)$に従うとしてよい。

---

二項分布$B(n,p)$に従う確率変数$X$については

$$\begin{align*} m&=E(X)=np \\ \sigma&=\sigma(X)=\sqrt{npq} \ \ (p+q=1) \end{align*}$$
であり

$\displaystyle U=\frac{X-m}{\sigma}$とおくと、確率変数$U$の平均は$0$、標準偏差は$1$となり、$n$に無関係である。
$U$の取る値を適当な階級に分け、対応する確率を求めグラフを書くとき、$n$の値を大きくし、分割の幅を細かくすると、グラフは標準正規分布の分布曲線に近くなる。

• $P(m-k\sigma \le X \le m+k\sigma)$の確率

正規分布$N(m, \sigma^2)$に従う確率変数$X$について
$$\begin{align*} &P(m-\sigma \le X \le m+\sigma)=0.6827 \\ &P(m-2\sigma \le X \le m+2\sigma)=0.9545 \\ &P(m-3\sigma \le X \le m+3\sigma)=0.9973 \end{align*}$$
である。すなわち、正規分布$N(m,\sigma^2)$において、$X$の値が平均から$\pm\sigma$の範囲にある確率は$68\%$以上、平均から$\pm2\sigma$の範囲にある確率は$95\%$以上、平均から$\pm3\sigma$の範囲にある確率は$99\%$以上である。

統計的な推測

母集団と標本

• 全数調査、標本調査

調査の対象全体をもれなく調べる全数調査と、一部を抜き出して調べ、それから全体を推測しようとする標本調査がある。

• 母集団、標本、抽出、標本の大きさ

標本調査では調べようとする調査の対象全体を母集団といい、調査のために母集団から抜き出された要素の全体を標本という。

標本を抜き出すことを抽出といい、標本に含まれる要素の個数を標本の大きさという。

• 乱数賽、乱数表、無作為抽出、任意抽出

標本に偏りのでないように公平な抽出をする必要がある。そのため、乱数賽という特殊なサイコロや、乱数表を用いたり、コンピュータに発生させた乱数を利用したりする。このような標本の抜き出し方を無作為抽出、または任意抽出という。

母集団から$n$個の標本を$n$個無作為抽出した確率変数$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$を、ある分布を持つ母集団からの大きさ$n$の無作為標本という。

• 母平均と標本平均、復元抽出、非復元抽出

母集団から標本を抽出するとき、抽出のたびに要素をもとに戻し、改めて次を抽出する方法を復元抽出という。一方、もとに戻さないで続けて抽出する方法を非復元抽出という。

母集団から抽出された大きさnの無作為標本$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$が復元抽出によって得られたものであれば、$X_1, X_2, \cdots, X_n$は独立である。

ただし、母集団の要素の数が極めて大きいときは非復元抽出でも$X_1, X_2, \cdots, X_n$が独立であるとして取り扱っても、差し支えないことが知られている。

これからは十分に大きな数の要素からなる母集団を考える。よってある母集団から抽出される大きさ$n$の無作為標本は、いずれも母集団の確率分布に従う$n$個の独立な確率変数の組であるとみなしてよい。
このとき母集団についての平均、標準偏差をそれぞれ、母平均、母標準偏差という。

---

• 標本平均の平均と標準偏差

母平均$m$,母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさnの無作為標本$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$を抽出するとき、
$$\frac{1}{n} (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$$
を標本平均といい、$\overline X$で表す。
1) 標本平均$\overline X$の平均$E(\overline X)$は$m$に等しい。
2) 標本平均$\overline X$の標準偏差$\sigma(\overline X)$は$\displaystyle\frac{\sqrt{n}}{\sigma}$に等しい。

---

平均標本$\overline X$の平均と標準偏差について考える。

$1\le k \le n$について
$$E(X_k)=m, \ \ V(X_k)=\sigma^2$$
だから、$\overline Xの平均E(\overline X)$は、
$$E(\overline X)=\frac{1}{n} \left\{ E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n)\right\} =m$$
である。また、$X_1, X_2, \cdots, X_n$は独立であるから、$\overline X$の分散$V(\overline X)$は
$$V(\overline X)=\frac{1}{n^2} \left\{ V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_n)\right\} =\frac{\sigma^2}{n}$$
である。したがって$\overline X$の標準偏差$\sigma(\overline X)$は
$$\sigma(\overline X)=\sqrt{V(\overline X)}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
となる。

---

• 標準平均の標準化

一般に、統計調査において、平均$m$,標準偏差$\sigma$の母集団から、大きさ$n$の標本を無作為抽出するとき、標本平均$\overline X$について
$$E(\overline X)=m, \ \ $\sigma(\overline X)$ = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}$$
である。

さらに$n$が大きいとき、次のことが知られている。
母平均$m$,母標準偏差$\sigma$の母集団から抽出された大きさ$n$の標本平均$\overline X$について、$n$が大きいとき$\displaystyle U=\frac{\overline X - m}{\sigma}$の確率分布は、ほぼ標準正規分布とみなすことができる。

推定

• 推定、区間推定

母集団の分布が持っている定数の値が未知のときに、与えられた標本からその値を推測する方法を推定という。

母集団の特性を示す定数を推定するときには、標本から得られた量にある幅を取って考えることが多い。これを区間推定という。

• 母平均の推定

母平均$m$に対する信頼度$95\%$の信頼区間は、標本の大きさ$n$が大きいとき、標本平均の値を$\overline x$, 標本の標準偏差の値を$s$とすると
$$\left[ \overline x -1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline x +1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$

また母平均$m$に対する信頼度$99\%$の信頼区間は
$$\left[ \overline x -2.58 \times \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline x +2.58 \times \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$

---

母平均$m$、母標準偏差$\sigma$の母集団から無作為抽出した大きさ$n$の標本の標本平均$\overline X$については、$n$が大きいとき
$$\vert \overline X -m\vert \le 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
となる確率が$0.95$である。これを変形し、
$$\overline X - 1.96\times \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \overline X + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
となるので、これが成り立つことが確率$0.95$でいえることになる。ここで示される範囲を、$m$に対する信頼度$95\%$の信頼区間といい、以下で表す。

$$\left[ \overline x -1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline x +1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$

$\overline X$は変数だから、信頼区間は$\overline X$の値によって変化する。このとき$\overline X$のすべての値$\overline x$について信頼区間が$m$を含むとは限らないが、$95\%$の確率で信頼区間は$m$を含むといえる。

よって$100$回の標本抽出において$95$回ぐらいは区間
$$\overline X - 1.96\times \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \overline X + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
が$m$を含むということになる。これが信頼度$95\%$の信頼区間の意味である。

そこで、母集団から大きさ$n$の標本を無作為抽出して、それから標本平均の値$\overline x$を求めれば、$\sigma$の値がわかっているときは母平均$m$の値が推定できることになる。しかし実際には母標準偏差$\sigma$はわからない場合がほとんどである。しかし$n$が大きいときには$\sigma$を標本の標準偏差の値$s$で置き換えても、大きな違いは生じないことが知られている。

これより上記区間推定が成り立つ。

---

• 母比率の推定

ある性質について、母集団を構成する要素が、それを持つか持たないのどちらかのとき、その性質を持つ要素の割合をその母比率という。

その性質をもてば$1$、もたなければ$0$の値をとる確率変数を$X$とすると、その平均は

$$E(X)=0\times(1-p)+1\times p=p$$
であるから確率変数$X$の平均を推定すればよい。

参考サイト

• 期待値の求め方（期待値の定義）
  確率変数の1次式の平均を使わないと、どういう考え方になるかが分かりました。

• 二項分布 - Minitab
  二項分布の説明で一番分かりやすかったサイト。

• 13-1. 二項分布 | 統計学の時間 | 統計WEB

• 高校数学の復習からはじめる二項分布の導出 - 廿TT
  こちらも二項分布について優しく解説してくれている。

• 二項分布 - Minitab

• ミクの歌って覚える統計入門
  ミクさんが華麗に統計を歌い上げるサイト。たまりません(笑 ぜひ全曲制覇して確率入門を突破しましょ!

• 期待値と分散に関する公式一覧 | 高校数学の美しい物語
  もはや定番です。公式とその証明が詳しく解説されています。

高校数学 - 極限

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第12回は極限です。

教科書では段階的に極限の考え方を学習するのに、離散的な数列の極限と連続的な関数の極限を分けています。復習は一気にしたいと思います。

しかし、よくよく数学とは一点に「収束」する、だとか巡り巡って「周期的な」振る舞いをする、とかが好きですよね。結局人間はそういったことから逃れられないのかもしれない…。ちょっと最近いろいろあって思うところがあったりします(謎)。

• • • 教材
    • 数列の極限
      • 無限数列
        • 無限数列と極限
          • 極限の性質
        • 無限等比数列
      • 無限級数
        • 無限級数
        • 無限等比級数
          • 循環小数
    • 関数の極限
      • 分数関数と無理関数
        • 分数関数
        • 無理関数
        • 合成関数
        • 逆関数
      • 関数の極限と連続性
        • 関数の極限
          • 片側からの極限
          • x→∞、x→-∞の極限
          • 極限値をもつ条件
        • 指数関数・対数関数の極限
        • 三角関数の極限
        • 関数の連続性

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第3章 数列の極限
第1節 無限数列
1. 無限数列と極限
2. 無限等比数列
第2節 無限級数
1. 無限級数
2. 無限等比級数

第4章 関数の極限
第1節 分数関数と無理関数
1. 分数関数
2. 無理関数
3. 合成関数
4. 逆関数
第2節 関数の極限と連続性
1. 関数の極限
2. 指数関数・対数関数の極限
3. 三角関数の極限
4. 関数の連続性

数列の極限

無限数列

無限数列と極限

• 無限数列

後が限りなく続く数列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots$を無限級数といい、
$$\{a_n\}$$
と表す。$a_n$は数列の一般項である。

• 数列の極限

無限数列$\{a_n\}でn$の値を限りなく大きくしていくとき、一般項$a_n$の値がどうなるかということを数列の極限という。$n$を限りなく大きくすることを$n\to\infty$と表す。$\infty$は無限大と読む。

• 収束する、極限値

一般に無限数列$\{a_n\}$において$n\to\infty$とすると、$a_n$の値が一定の値$\alpha$に限りなく近づくとき、数列$\{a_n\}は\alpha$に収束する、または$\{a_n\}の極限値は\alpha$であるという。このことを記号で以下のように表す。
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\ または\\ n\to\inftyのときa_n\to\alpha$$

• 発散する

数列には一定の値に収束しないものもあり、発散するという。
数列が正の無限大に限りなく大きくなる場合、数列$\{a_n\}$は正の無限大に発散するといい、
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\ または\\ n\to\inftyのときa_n\to\infty$$

数列が負の無限大に限りなく大きくなる場合、数列$\{a_n\}$は負の無限大に発散するといい、
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty\\ または\\ n\to\inftyのときa_n\to-\infty$$

• 振動する

発散する数列、すなわち収束しない数列のうち、一定の値に収束せず、正の無限大にも、負の無限大にも発散しない数列は、振動するという。

• 無限数列$\{a_n\}$の極限の分類

$$\begin{eqnarray*} 数列の極限\left\{ \begin{array} \ 収束する \cdots 極限値\alpha \ & \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = \alpha \\ 発散する\left\{ \begin{array} \ 正の無限大に発散 & \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \infty\\ 負の無限大に発散 & \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty &\\ 振動する \end{array} \right. \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

極限の性質

• 収束する数列の極限値の性質

数列$\{a_n\},\{b_n\}$が収束し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$のとき

$$\begin{align*} 1) &\lim_{n\to\infty} ka_n=k\alpha \ \ ただしkは定数 \\ 2) &\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta, \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\alpha-\beta \\ 3) &\lim_{n\to\infty} a_n b_n=\alpha \beta \\ &\beta\neq0ならば\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta} \end{align*}$$

---

数列$\{a_n\},\{b_n\}$について、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty,\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$のとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty$、$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n b_n =\infty$は成り立つが、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)$、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n b_n$は収束する場合や、発散する場合がある。

• 数列の極限と大小関係

数列の極限と大小関係について次の性質が成り立つ。

$A) \ すべてのnについてa_n\le b_nのとき$
$$\begin{align*} &1) \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha, \lim_{n\to\infty}b_nならば\alpha\le\beta \\ &2) \lim_{n\to\infty} a_n = \inftyならば\lim_{n\to\infty} b_n \end{align*}$$
$B) \ すべてのnについてa_n\le c_n\le b_nのとき$
$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} b_n=\alphaならば\lim_{n\to\infty} c_n=\alpha \\ \end{align*}$$

---

$A)-1)$において、つねに$a_n\lt b_n$であっても$\alpha\lt \beta$とは限らない。

無限等比数列

• 無限等比数列

ある数$a$に一定の数rを次々に掛けて得られる無限数列
$$a, ar, ar^2, \cdots, ar^{n-1}, \cdots$$
を初項$a$、公比$r$の無限等比数列という。

• $\{r^n\}$の極限

一般に無限数列$\{r^n\}$の極限は$r$の値によって次のように分類される。

$$\begin{align*} &1) \ r\gt1のとき\lim_{n\to\infty}r^n=\infty \\ &2) \ r=1のとき\lim_{n\to\infty}r^n=1 \\ &3) \ |r|\lt1のとき\lim_{n\to\infty}r^n=0 \\ &4) \ r\le-1のとき\{r^n\}は振動する \end{align*}$$

このことより以下がいえる。
$$数列\{r^n\}が収束する \iff -1 \lt r \le 1$$

---

$1) \ r\gt1のとき$
$r=1+h(h\gt0)$とおくと、$nが2以上$の整数のとき二項定理より
$$r^n=(1+h)^n=1+{}_nC_1h+{}_nC_2h^2+\cdots+h^n\gt1+nh\\ (\because {}_nC_1 = n, 他の項は正)$$
ここで$n\to\infty$とすると、$1+nh\to\infty$である。よって$r\gt1$のとき
$$\lim_{n\to\infty}r^n=\infty$$

$2) \ r=1のとき$
$$\lim_{n\to\infty}r^n=\lim_{n\to\infty}1^n=1$$

$3) \ |r|\lt1すなわち-1\lt r\lt1のとき$
$r=0のとき\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=\lim_{n\to\infty}0^n=0$
$r\neq0のとき\displaystyle\frac{1}{|r|}=s$とおくと、$s\gt1$であるから$1)$より
$$\lim_{n\to\infty}|r^n|=\lim_{n\to\infty}|r|^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{s^n}=0$$
よって$|r|<1$のとき$\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=0$

$4) \ r\le-1のとき$
$r=-1$のときは$r^n$の値は$-1と1$が交互に繰り返される。
$r\lt-1のときは|r|\gt1だから\displaystyle\lim_{n\to\infty}|r|^n=\inftyで$、$r^n$の符号が交互に変わる。よって$r\le-1$のとき、$\{r^n\}$は振動する。

無限級数

無限級数

• 無限級数

一般に無限数列$\{a_n\}$の各項を順に加えていった式
$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots \tag{1}$$
を無限級数といい、和の記号$\sumを使って\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$と表す。

• 部分和

$数列\{a_n\}の初項から第n項までの和$
$$S_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$$
を無限級数$(1)$の第$n$項までの部分和という。

• 収束する、和

無限級数$(1)$で部分和$S_n$の作る無限数列
$$S_1,S_2,S_2,\cdots,S_n,\cdots$$
が収束し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S$のとき、無限級数$(1)$は$S$に収束するという。このとき極限値$S$を無限級数$(1)$の和といい、
$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots=S$$
または
$$\sum_{n=1}^\infty a_n=S$$
と表す。

• 発散する

部分和の数列$\{S_n\}$が発散するとき、無限級数$(1)$は発散するという。

無限等比級数

• 無限等比級数

無限等比数列から作られる無限級数
$$a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots$$
を初項$a$、公比$r$の無限等比級数といい、$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}$と表す。

• 無限等比級数の収束と発散

$a\neq0$のとき、無限等比級数
$$a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots$$
は、
$$\begin{align*} & |r|\lt1のとき収束しその和は\frac{a}{1-r}である\\ & |r|\ge1のとき発散する \end{align*}$$

---

$a=0$のとき、部分和はつねに$0$で、$r$の値に関係なく$0$に収束するから$a\neq0$のときについて考える。

無限等比級数の第$n$項までの部分和を$S_n$とすると
$r\neq1$のとき
$$\begin{align*} S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \\ &=\frac{a(1-r^n)}{1-r} \end{align*}$$

$1) |r|\lt1$のとき
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n=0$だから
$$\lim_{n\to\infty} S_n= \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r}$$
よって無限等比級数は収束し、その和は$\displaystyle\frac{a}{1-r}$である。

$2) |r|\gt1またはr=-1$のとき
数列$\{r^n\}$は発散するから$\{S_n\}$も発散し、無限等比級数も発散する。

$r=1$のとき
$$S_n=a+a+a+\cdots+a=na$$
だから$\{S_n\}$は発散し、無限等比級数も発散する。

循環小数

分数を小数で表すと有限小数となるか、または
$$\frac{1}{3}=0.333\cdots \ \ \ \frac{8}{27}=0.296296\cdots$$
のように同じ数字の並びが繰り返される循環小数になる、この時$0.\dot{3}, 0.\dot{2}9\dot{6}$などのように表す。

循環小数は収束する無限等比級数として考えることで分数で表すことができる。

例) $0.\dot{4}\dot{5}$
$$\begin{align*} 0.\dot{4}\dot{5}&=0.45+0.0045+0.000045+\cdots \\ &=0.45+0.45\times0.01+0.45\times0.01^2+\cdots \end{align*}$$
右辺は公比0.01の無限等比数列であるから収束する。よって
$$0.\dot{4}\dot{5}=\frac{0.45}{1-0.01}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$$

関数の極限

分数関数と無理関数

分数関数

• 分数関数

$xの分数式で表される関数をxの分数式$という。

分数式の定義域は$分母が0になるxの値$を除く実数全体である。

• 直角双曲線

関数$\displaystyle y=\frac{k}{x}$のグラフは直角双曲線と呼ばれる曲線で、$k$の符号により対象となる。原点に関して対称で、$x$軸、$y$軸が漸近線になっている。

• 分数関数のグラフ

分数関数$\displaystyle y=\frac{k}{x-p}+qのグラフはy=\frac{k}{y}$のグラフを$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ並行した直角双曲線で、漸近線は$x=p, y=q$の2直線である。

$$\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}はy=\frac{k}{x-p}+q$$ の形に変形することでグラフを描くことができる。

無理関数

• 無理式、無理関数

根号内に文字を含む式を無理式といい、$x$の無理式で表される関数を$x$の無理関数という。

無理関数の定義域は根号内が正または$0$になる実数全体である。

• 無理関数のグラフ

無理関数$y=\sqrt{ax+b}$のグラフは、軸が$x$軸、頂点が点$\displaystyle\left( -\frac{b}{a} , 0 \right)$の放物線の上半分で、$k$の符号により向きが異なる。

合成関数

• 合成関数

一般に$2$つの関数$f(x)$、$g(x)$について、$f(x)$の値域が$g(x)$の定義域に含まれるとき、$x$に$g(f(x))$を対応される関数と考えることができる。この関数$g(f(x))$を$f(x)$と$g(x)$の合成関数といい、$y=(g\circ f)(x)$と表す。すなわち
$$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

逆関数

• 逆関数

一般に関数$y=f(x)$に対して、その逆の対応が関数になっているとき、この関数を$y=f(x)$の逆関数という。

$f(x)の逆関数をf^{-1}(x)$と書くことがある。

逆関数を求めるには$x$について解き、$xとy$を入れ替える。

関数の極限と連続性

関数の極限

• 極限値

関数$f(x)$において$x$が定義域の中で$a$以外の値を取りながら、$a$に限りなく近づくとき、$f(x)$の値が一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば、$xがa$に近づくときの$f(x)$の極限値は$\alpha$である、といい、
$$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$$
または
$$x\to aのときf(x)\to \alpha$$
と表す。

• 極限値の性質

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \alpha, \lim_{x\to a} g(x) = \beta$のとき

$$\begin{align*} 1) \ &\lim_{x\to a} kf(x)=k\alpha \ \ ただしkは定数 \\ 2) \ &\lim_{x\to a} \left\{ f(x)+g(x) \right\} = \alpha+\beta \\ &\lim_{x\to a} \left\{ f(x)-g(x) \right\} = \alpha-\beta \\ 3) \ &\lim_{x\to a} f(x)g(x)=\alpha\beta \\ &\beta\neq0ならば\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta} \end{align*}$$

関数$f(x)がx=a$で定義されていないときでも、$xがaに近づくときのf(x)の極限値$が存在する場合がある。

• 極限値の発散

関数$f(x)$において、$x\to a$のとき$f(x)$の値が限りなく大きくなる場合、$f(x)$は正の無限大に発散するといい、
$$\lim_{x\to a} f(x)=\infty$$
または
$$x\to aのときf(x)\to \infty$$
と表す。

また関数$f(x)$において、$x\to aのときf(x)の値$が負で、その絶対値が限りなく大きくなる場合、$f(x)$は負の無限大に発散するといい、
$$\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$$
または
$$x\to aのときf(x)\to -\infty$$
と表す。

片側からの極限

連続でない点における関数の極限を考えるとき、$x$の近づき方を制限することがある。
$$xがaより大きい方からaに近づくことを x \to a+0 \\ xがaより小さい方からaに近づくことを x \to a-0$$
のように表す。とくに$a=0$のときは$x\to 0+0, x\to 0-0$をそれぞれ$x\to +0, x\to-0$のように書く。

一般に関数$f(x)$について次が成り立つ。
$$\lim_{x\to a+0} f(x) = \lim_{x\to a-0} f(x) =\alphaならば\lim_{x\to a+0} f(x) = \alpha$$

x→∞、x→-∞の極限

$x$の値が限りなく大きくなることを$x\to\infty$と表す。また$x$の値が負でその絶対値が限りなく大きくなることを$x\to\infty$と表す。このような場合にも関数$f(x)$の極限、$\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x), \lim_{x\to-\infty} f(x)$を考える事がある。

極限値をもつ条件

ある関数が定数を伴い与えられ、極限値を持つ定数を求める問題がある。このときは数学IIの微分積分にあった以下の式にて解決する。
$$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=k, \lim_{x\to a} g(x)=0のとき \lim_{x\to a} f(x) = 0\\ (\because \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x) = k \cdot 0 = 0)$$

指数関数・対数関数の極限

グラフと対比することで下記となる。

指数関数$y=a^x$

$a\gt1$のとき

$$\lim_{x\to\infty} a^x=\infty \\ \lim_{x\to\infty} a^x=0$$
$0\lt a\lt1$のとき

$$\lim_{x\to\infty} a^x= 0\\ \lim_{x\to\infty} a^x=\infty$$

対数関数$y=log_a x$

$a\gt1$のとき

$$\lim_{x\to\infty} a^x=\infty \\ \lim_{x\to\infty} a^x=-\infty$$
$0\lt a\lt1$のとき

$$\lim_{x\to\infty} a^x=-\infty\\ \lim_{x\to\infty} a^x=\infty$$

三角関数の極限

$x$の値が限りなく大きくなるとき、関数$y=\sin x, y=\cos x$の値は$-1と1$の間のすべての値を繰り返してとり、一定の値には近づかない。したがって$\displaystyle\lim_{x\to\infty} \sin x,\lim_{x\to\infty} \cos x$は存在しない。

関数$y=\tan x$についても$\displaystyle\lim_{x\to\infty} \tan x$は存在しない。また
$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \tan x=\infty \\ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}+0} \tan x=-\infty \\ $$
となり、$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \tan x$は存在しない。

• 関数の極限と大小関係の性質

関数の極限と大小関係について次の性質が成り立つ。

$A) \ aの近くでxの値がつねにf(x)\le g(x)のとき$
$$\begin{align*} &1) \lim_{x\to a} f(x) = \alpha, \lim_{x\to a} g(x) = \betaならば\alpha\le\beta \\ &2) \lim_{x\to a} f(x) = \inftyならば\lim_{x\to a} g(x) = \infty \end{align*}$$
$B) \ aの近くでxの値がつねにf(x)\le h(x)\le g(x)のとき$
$$\begin{align*} &\lim_{x\to a} f(x) = \alpha, \lim_{x\to a} g(x) = \alphaならば\lim_{x\to a} h(x) = \alpha \end{align*}$$

$B)$をはさみうちの原理という。

---

• $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$の極限

$$\begin{align*} \lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}{x}&=0 \tag{1} \\ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}&=1 \tag{2} \end{align*}$$

---

$(1)について-1\le \sin x\le1$であるから、$x\gt0$のとき
$$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$$
となる。ここで
$$\lim_{x\to \infty} \left(-\frac{1}{x} \right) = 0, \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$$
だから
$$\lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$$

$(2)について$

$A) \ x\to+0$のとき、$\displaystyle0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$として、半径$r$、中心角$x$の扇形$OAP$をつくり、点$A$における円の接線が直線$OP$と交わる点を$T$とする。このとき面積について
$$\begin{align*} & \triangle OAP \lt (扇形OAP) \lt \triangle OAT \\ & \frac{1}{2} r^2 \sin x \lt \frac{1}{2} r^2 x \lt \frac{1}{2} r^2 \tan x \end{align*}$$
よって$\sin x \lt x \tan x$

$\sin x \gt 0$だから
$$1 \lt \frac{x}{\sin x} \lt \frac{1}{\cos x}$$
これより
$$1 \gt \frac{\sin x}{x} \gt cos x$$
ここで$\displaystyle\lim_{x\to+0} \cos x=1だから\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$

関数の連続性

• 連続、不連続

一般に関数$f(x)$において
$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$
が成り立つとき、$関数f(x)はx=aで連続である$という。

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$が存在しないときや、存在しても$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\neq f(a)$であるとき、この関数は$x=a$で連続ではない。このとき$f(x)はx=aで不連続である$という。

$関数f(x)がx=aで連続である$とは以下のことを指す。
$1) \ aがf(x)の定義域に属する$
$2) \ x\to aのときのf(xの極限値\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)が存在し$、$f(a)$に等しい

• ガウス記号

$実数aに対してa$を超えない最大の整数を$\lbrack a\rbrack$と書き、$\lbrack \ \rbrack$をガウス記号という。負の値のときに注意。

• 区間

$x$の値の範囲を区間という。

• 区間で連続

関数$f(x)$が、ある区間に属するすべての値で連続であるとき、関数$f(x)$はその区間で連続であるという。

• 区間で連続な関数

ある区間で連続な関数$f(x), g(x)と定数k$について、次の関数も同じ区間で連続である。
$$\begin{align*} &1) \ kf(x) \\ &2) \ f(x)+g(x), f(x)-g(x) \\ &3) \ f(x)g(x), \frac{f(x)}{g(x)} \ (区間のすべてのxでg(x)\neq0のとき) \end{align*}$$

• 連続関数の性質

$f(x)$が$a\le x \le b$で連続で、$f(a)$と$f(b)$が異符号ならば、$a$と$b$との間に$f(c)=0$となる$c$が少なくとも$1$つ存在する。

• 中間値の定理

$f(x)がa\le x \le bで連続$で、$f(a)\neq f(b)$のとき、$f(a)とf(b)$の間の値$k$に対して
$$f(c)=k, a\lt c\lt b$$
となる$c$が少なくとも$1$つ存在する。

高校数学 - 微分・積分

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第11回は数学IIの微分・積分です。

なお教科書に、極限値の不定形の話題がなかったので補足しました。また積の微分公式は数IIIに譲ります。

微分・積分の基本的な概念をわかりやすく吸収できるいい単元です。わたしはわりと好きでした。ああでも、このさきに何があるのかつきよみは知る由もなかった… 大学とかで勉強する解析学って一体どうゆうことだよ、なにそれおいしいの? わけわかんないんですよ、ほんとに。結局当時は公式覚えて、まあ使えるところで使うって感じで乗り切り感がすごかったです。

とかいってたらさーばるちゃんに、すっごーい! とか言われそう… いや、解析学はすごいんだけどね、私は中身わかってないんだよね… orz
だからこその復習です!

• • • 教材
    • 微分と積分
      • 微分係数と導関数
        • 平均変化率と微分係数
        • 導関数
        • 接線の方程式
      • 導関数の応用
        • 関数の値の増加・減少
        • 方程式・不等式への応用
      • 積分
        • 不定積分
        • 定積分
        • 面積と定積分
    • 参考サイト

教材

• 新編 数学II 平成26年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2013-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-04563-0
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第5章 微分と積分
第1節 微分係数と導関数
1. 平均変化率と微分係数
2. 導関数
3. 接線の方程式
第2節 導関数の応用
1. 関数の値の増加・減少
2. 方程式・不等式への応用
第3節 積分
1. 不定積分
2. 定積分
3. 面積と定積分

微分と積分

微分係数と導関数

平均変化率と微分係数

• 平均変化率 ( mean rate of change )

一般に関数$x=f(x)$において、$x$の値が$a$から$b$まで変わるとき、$x$の値の変化$b-a$に対する$y$の値の変化$f(b)-f(a)$の割合を、$x$の値が$a$から$b$まで変わるときの$f(x)$の平均変化率という。
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

• 極限値 ( limit )

関数$f(x)$において$x$が$a$と異なる値を取りながら限りなく$a$に近づくとき、$f(x)$が一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば、$\alpha$を$x$が$a$に近づくときの$f(x)$の極限値といい、下記のように書く。
$$\begin{align*} &x\rightarrow aのときf(x)\rightarrow \alpha\\ &\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\alpha \end{align*}$$

• 極限値の性質

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha, \ \lim_{x\to a}g(x)=\beta$とし、$k$を定数とすると

$$\begin{align*} &\lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha\\ &\lim_{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=\alpha+\beta\\ &\lim_{x\to a}\{f(x)g(x)\}=\alpha\beta\\ &\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x}=\frac{\alpha}{\beta} \ (\beta\neq0) &\end{align*}$$

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k \ (一定)かつ\lim_{x\to a}g(x)=0 \ \implies \lim_{x\to a}f(x)=0$$

---

$$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x) \right\}=k\cdot 0=0$$

---

• 不定形 ( limit of indeterminate forms )

$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$において、$\displaystyle\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to a}{g(x)}=0$のとき、これを不定形といい、便宜的に$\frac{0}{0}$と書くことがある。$f(x),g(x)$がともに整式の場合、分母・分子を因数分解し、$(x-a)$で約分することにより求めることができる。

• 微分係数 ( differential coefficient )

一般に$x$の値が$a$から$a+h$まで変わるときの関数$y=f(x)$の平均変化率で、$h$が$0$でない値を取りながら、$0$に限りなく近づくとき、この平均変化率がある決まった値に近づくならば、その極限値を関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数 または 変化率といい、$f'(a)$で表す。微分係数は下記のように書く。
$$\begin{align*} &f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ &f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ \end{align*}$$

導関数

• 導関数 ( derivative, a derivative function )

一般に関数$y=f(x)$において$x$の値$a$に微分係数$f'(a)$を対応させる関数$f'(x)$を考え、これを$f(x)$の導関数といい、下記のように書く。
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
導関数の式において$x$の値の変化$h$を$x$の増分といい、$y$の値の変化$f(x+h)-f(x)$を$y$の増分という。

導関数は下記のようにも表される。
$$f'(x)\\ \frac{ dy }{ dx }\\ \frac{ d }{ dx }f(x)$$

$x$の関数$f(x)$からその導関数$f'(x)$を求めることを、関数$f(x)$を$x$について微分する、あるいは単に微分するという。

• $x^n$の導関数
  $$nが自然数のとき(x^n)'=nx^{(n-1)}\\ 定数cについて(c)'=0$$

• 導関数の計算

一般に下記等式が成り立つ。
$$\begin{align*} &\{kf(x)\}'=kf'(x)\\ &\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)\\ &\{f(x)-g(x)\}'=f'(x)-g'(x)\\ \end{align*}$$

• 微分係数の計算

関数$f(x)$の導関数$f'(x)$がわかると$x=a$における$f(x)$の微分係数$f'(a)$は$f'(x)$に$x=a$を代入して微分係数を求められる。

接線の方程式

• 接線 ( tangent )・接点 ( point of tangency )

関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f('a)$はこの関数のグラフ上の点$(a, f(a))$における接線の傾きである。

---

関数$y=f(x)$のグラフのことを曲線$y=f(x)$という。曲線$y=f(x)$上に、$x$座標がそれぞれ$a,+a+h$となる$2$点$A,B$をとると$x$の値が$a$から$a+h$まで変わるときの$f(x)$の平均変化率
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
は直線$AB$の傾きを表す。
ここで$h$を$0$に限りなく近づけると、点$B$は曲線$y=f(x)$上を動きながら点$A$に近づき、直線$AB$はある直線$AT$に近づく。
この直線$AT$のことを点$A$における曲線$y=f(x)$の接線といい、点$A$をこの接線の接点という。
また直線$AB$の傾きは$\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$で$h$を$0$に近づけると$f'(a)$に近づくので、接線$AT$の傾きは$f'(a)$である。

---

• 接線の方程式

曲線$y=f(x)$上の点$(a, f(a))$における接線の方程式は
$$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$
点$(a,f(a))$における法線の方程式は
$$y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$$

導関数の応用

関数の値の増加・減少

• 関数の値の増加・減少

関数$y=f(x)$の値の増減は導関数を用いて次のように判別できる。
$$\begin{align*} &f'(x)\gt0となるxの値の範囲で増加する\\ &f'(x)\lt0となるxの値の範囲で増加する\\ &f'(x)=0となるxの値の範囲で一定 \end{align*}$$

• 増減表 ( first derivative test table )

例)
関数$y=x^3-3x$の値の増減を調べる。

導関数$y'=3x^2-3$は
$$\begin{align*} y'&=3 x^2 -3\\ &=3(x+1)(x-1) \end{align*}$$
$y'=0$となる$x$の値を求め、$y'$の符号の変化を調べて$y$の値の増減を表にする。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline y & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow \end{array}$$

これより$y$の値は
$$\begin{align*} &x\le -1, 1\le xのとき増加\\ &-1 \le x \le 1のとき減少 \end{align*}$$

注) 上記関数は$x\lt-1$の範囲で増加しているが、$x=-1$も含めて$x\le -1$の範囲で増加しているという。減少する範囲についても同様。

---

• 極大 ( maximal, local maximum )、極小 ( minimal, local minimum )、極値 ( extremum )

関数$f(x)$の値が$x=a$を境目として増加から減少に変わるとき、$f(x)$は$x=a$で極大になるといい、その$f(a)$を極大値という。
すなわち、f$'(x)$の符号が正から負に変わるとき、極大になる。

関数$f(x)$の値が$x=a$を境目として減少から増加に変わるとき、$f(x)$は$x=a$で極小になるといい、その$f(a)$を極小値という。
すなわち、$f'(x)$の符号が負から正に変わるとき、極小になる。

極大値と極小値を合わせて極値という。

---

• 最大 ( maximum ), 最小 ( minimum )

ある範囲における関数$f(x)$の最大値、最小値を調べるには、範囲内の極値と区間の両端での値$f(a), f(b)$を求め、比較する。

方程式・不等式への応用

• 方程式の実数解の個数

1) 方程式$f(x)=0$の実数解は、$y=f(x)$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標である。
2) 方程式$f(x)=k$の実数解は、$y=f(x)$のグラフと直線$y=k$の共有点の$x$座標である。

$f(x)$のグラフを増減表を用いて書き、x軸あるいは直線との交点を求めることで方程式の実数解の個数を求めることができる。

---

• 不等式の証明

$f(x)\gt g(x)$の証明は$f(x)-g(x)=h(x)$とおき、$h(x)$の増減を調べ、常に$h(x)\gt0$が成り立つ、すなわち$h(x)$の最小値が正であることを示す。

積分

不定積分

• 原始関数 ( antiderivative, primitive function )

関数$F(x)$に対して$f(x)$を導関数に持つ関数$F(x)$、すなわち
$$F'(x)=f(x)$$
であるような関数$F(x)$を$f(x)$の原始関数という。

• 不定積分 ( antiderivative, primitive integral or indefinite integral )

関数$f(x)$の原始関数の$1$つを$F(x)$とすると、$f(x)$の任意の原始関数は
$$F(x)+C \ ただしCは任意の定数$$
とかける。これを$f(x)$の不定積分といい
$$\int f(x)dx$$
で表す。

$f(x)$の不定積分を求めることを$f(x)$を積分するといい、定数$C$を積分定数という。

$F'(x)=f(x)$のとき
$$\int f(x)dx = F(x)+C \ (Cは積分定数)$$
$\displaystyle \int 1dx$は$\displaystyle \int dx$と表記する。

• $x^n$の不定積分

$n$が$0$または自然数のとき
$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

• 定数倍、和、差の不定積分
  $$\begin{align*} &\int kf(x)dx = k \int f(x)dx\\ &\int \{f(x)+g(x)\}dx = \int f(x)dx+\int g(x)dx\\ &\int \{f(x)-g(x)\}dx = \int f(x)dx-\int g(x)dx \end{align*}$$

定積分

• 定積分 ( definite integral )

一般に関数$f(x)$の原始関数の$1$つを$F(x)$とすると、$F(b)-F(a)$は原始関数の選び方に関係なく決まる。この$F(b)-F(a)$を$f(x)$の$a$から$b$までの定積分といい、
$$\int_a^b f(x)dx$$
と表す。$a$をこの定積分の下端、$b$を上端という。
$$\int_a^b f(x)dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b)-F(a)$$

---

• 定積分の性質

$$\begin{align*} &\int_a^b kf(x)dx = k \int_a^b f(x)dx\\ &\int_a^b \{f(x)+g(x)\}dx = \int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx\\ &\int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx = \int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx \end{align*}$$
$$\begin{align*} &\int_a^a f(x)dx = 0\\ &\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx\\ &\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx\\ \end{align*}$$

---

• 微分と定積分

$a$が定数のとき
$$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$$

---

一般に$F(t)$が$f(t)$の原始関数のとき
$$\int_a^x f(t)dt=\left[ F(t) \right]_a^x = F(x)- F(a)$$
だから、
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=\frac{d}{dx}\left\{ F(x)-F(a) \right\} = F'(x)=f(x)$$

面積と定積分

• 面積と定積分

曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は
$1) \ a \le x \le b$において、$f(x)\le0$のとき
$$S=\int_a^b f(x)dx$$
$2) \ a \le x \le b$において、$f(x)\ge0$のとき
$$S=-\int_a^b f(x)dx$$

---

$a \le x \le b$の範囲の$x$の値に対して$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S(x)$とする。
$h\gt0$のとき、$x$の値が$x$から$x+h$まで変化したときの$S(x)$の変化量$S(x+h)-S(x)$は、図の色部分の面積になる。

このとき、この部分の面積と横の長さが$h$、縦の長さが$f(t)$である長方形の面積が等しくなるよう$t$を$x$と$x+h$の間に取ると
$$S(x+h)-S(x)=h\times f(t)$$
より
$$\frac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(t)$$
ここで$h\rightarrow 0$とすると$t\rightarrow x$であるから$f(t)\rightarrow f(x)$となり
$$\lim_{h\to 0}\frac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(x)$$
すなわち
$$S'(x) = f(x)$$
このことは$h\gt0$のときも成り立つ。よって$S(x)$は$f(x)$の原始関数である。したがって$S(a)=0, S(b)=S$であるから
$$\int_a^b f(x) dx= \left[ S(x) \right]_a^b = S(b)-S(a)=S(b)=S$$
以上より$a \le x \le b$の範囲で$f(x) \ge0$のとき、曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a, x=b$とで囲まれた部分の面積$S$は、定積分
$$\int_a^b f(x)dx$$
と等しい。

---

• $2$曲線間の面積

$2$曲線$y=f(x), y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$a \le x \le b$において、$f(x)\le g(x)$のとき
$$S =\int_a^b\left\{ f(x)-g(x) \right\}$$

---

$a \le x \le b$の範囲で、$f(x) \ge g(x) \ge 0$の場合、$y=f(x)$と$y=g(x)$で挟まれた範囲の面積$S$は
$$S=\int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx\\ =\int_a^b \left\{ f(x)-g(x) \right\}dx$$
つぎに$g(x)\ge0$でない場合を考える。$2$曲線$y=f(x),y=g(x)$は$y$軸方向にkだけ移動すると
$$y=f(x)+k, \ y=g(x)+k$$
となる。ここで$k$を十分大きく取ると$a \le x \le b$の範囲で$g(x)+k\ge0$とできる。よって求める面積$S$は
$$S=\int_a^b \left\{ (f(x)+k)-(g(x)+k) \right\}dx=\int_a^b\left\{ f(x)-g(x)\right\} dx$$

---

参考サイト

• 不定形の極限値(limit of indeterminate forms)
  不定形の扱いについて定理を説明されています。

• 微分法 - Wikipedia

• 積分法 - Wikipedia
  まさか微分の英語があんなにたくさんあるとは知らなかったです。 微分や積分の黎明期からずいぶん発展したので、色んな言葉ができてきたんだろうな、と推測します。

高校数学 - 複素数平面

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第10回は複素数平面です。

ようやく「らしい」単元です。電気系だと必須の知識。いえ、数学でもですけど。学習し始めは一体何やってるんだかよくわからなかったんですが、工学に応用する時点でようやく意味がわかってくるんですよね。数学、おくがふかーい。微妙にフレンズ要素…

しかし、かなり忘れていました。っていうか、もともと理解していなかったんじゃね? ってレベルでしたよ、とほほ。この先わからなくなったらここまで戻ろう!

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        • 複素数の極形式
          • 積の極形式
          • 商の極形式 ( division )
        • ド・モアブルの定理
          • ド・モアブルの定理 ( De Moivre’s theorem )
          • zn=αの解
      • 平面図形と複素数
        • 平面図形と複素数
          • 平行移動
          • 2点間の距離
          • 内分点・外分点
          • 辺の比と角の大きさ
          • 等式の表す図形
    • 参考サイト

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第2章 複素数平面
第1節 複素数平面
1. 複素数平面
2. 複素数の極形式
3. ド・モアブルの定理
第2節 平面図形と複素数
1. 平面図形と複素数

複素数平面

複素数平面

複素数平面

複素数

• 実部 ( real part )、虚部 ( imaginary part ) 、虚数 ( imaginary number ) 、純虚数 ( pure imaginary number )、複素数 ( complex number )

複素数$z$を$2$つの実数$a,b$を用いて
$$z=a+bi \ (i^2=-1)$$
と表したとき、実数$a,b$をそれぞれ複素数$z$の実部、虚部という。また実数でない複素数を虚数、特に実部が$0$で虚部が$0$でない複素数を純虚数という。

複素数平面

• 複素数平面 ( complex plane, z-plane )、ガウス平面 ( Gauss plane )、アルガン図 ( Argand diagram )、実軸 ( real axis )、虚軸 ( imaginary axis )

複素数$a+bi \ (i^2=-1)$は、$2$つの実数の組$(a, b)$で定まるので複素数$a+bi$を座標平面上の点$(a,b)$で表すことができる。

複素数を座標平面上の点で表したとき、この平面を複素数平面、またはガウス平面という。

• 共役な複素数 (共役=共軛=きょうやく, complex conjugate )

複素数$z=a+bi$に対して$a-bi$を$z$と共役な複素数といい、$\overline z$で表す。

複素数の和と差・実数倍

• 複素数の和 ( addition )

$2$つの複素数を$\alpha=a+bi, \beta=c+di$とすると
$$\alpha+\beta=(a+c)(b+d)i$$
となる。これより、原点$O$と$2$点$A(\alpha), B(\beta)$について点$P(\alpha+\beta)$を取ると四角形$OAPB$は平行四辺形になる。これにより、$3$点$O,A,B$から点$P$の位置が求められる。

• 複素数の差 ( subtraction )

$$\alpha-\beta=\alpha-(-\beta)$$
であるから差$\alpha-\beta$は$\alpha$と$-\beta$の和として表される。$A(\alpha),B(\beta)$とすると、点$-\beta$は原点$O$に関して$B$と対象な点$B'$であるから、点$Q(\alpha-\beta)$について四角形$OQAB$は平行四辺形になる。

• 複素数の実数倍

一般に$z\neq0$のとき、複素数$z$の実数倍は以下のようになる。

$k\gt0$のとき、点$kz$は点$z$を原点を中心とする$k$倍の拡大、縮小で移した点である。
$k\lt0$のとき、点$kz$は点$z$を原点に他関して対象に移した点である。
$k=0$または$z=0$のとき、点$kz$は原点$O$になる。

複素数の絶対値

• 複素数の絶対値 ( absolute value, modulus, magnitude )

複素数平面上で原点$O$と点$z$との距離を、複素数$z$の絶対値といい、$\mid z \mid$で表す。
$z=a+bi$の絶対値は次のようになる。

$\mid z \mid = \mid a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$

• 複素数の絶対値の性質

$z=a+bi$のとき、$-z=-(a+bi)=-a-bi, \ \overline z=a-bi$だから
$$\begin{align*} &\mid -z\mid=\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\\ &\mid \overline z\mid=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2} \end{align*}$$
よって以下が成り立つ。
$$\mid z \mid=\mid -z \mid=\mid \overline z \mid$$
また$z\overline z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2$なので以下が成り立つ。
$$z\overline z=\mid z \mid^2$$

複素数の極形式

• 極形式 ( polar form )、偏角 ( argument )

複素数平面上で、$0$でない複素数$z=a+bi$を表す点を$P(z)$とする。$OP=r,OP$が実軸の正の向きとなす角を$\theta$とすると、
$$a=r\cos\theta, \ b=r\sin\theta$$

したがって複素数$z$は次のように書くことができる。
$$z=r(cos\theta+i\sin\theta) \ (r\gt 0)$$
これを複素数の極形式という。ここで$r$は$z$の絶対値$\mid z \mid$に等しい。
すなわち$r=\sqrt{a^2+b^2}$である。$\theta$を$z$の偏角といい$\arg z$で表す。

積の極形式

• 積の極形式 ( multiplication )

$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1), \ z_2=r_2(cos\theta_2+i\sin\theta_2)$のとき、
$$\begin{align*} &z_1z_2=r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\\ &\mid z_1z_2 \mid=\mid z_1\mid \mid z_2\mid=r_1r_2\\ &\arg z_1 z_2=\arg z_1+\arg z_2 \end{align*}$$

偏角については$2\pi$の整数倍の差を除き一致していることを示している。

---

$0$でない$2$つの複素数$z_1,z_2$が極形式
$$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\\ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$$
で表されるとき
$$\begin{align*} z_1 z_2&=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\dot{} r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\\ &=r_1 r_2(\cos\theta_1cos\theta_2+\cos\theta_1i\sin\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_1i\sin\theta_2)\\ &=r_1 r_2(\cos\theta_1cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2) \end{align*}$$
ここで三角関数の加法定理より
$$\cos(\theta_1+\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\\ \sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2$$
であるから
$$z_1 z_2=r_1 r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$$
この式は$z_1z_2$の極形式で以下を意味する。
絶対値は$r_1r_2$、すなわち$z_1$と$z_2$の絶対値の積
偏角は$\theta_1+\theta_2$、すなわち$z_1$と$z_2$の偏角の和

また$r_1=\mid z_1\mid, r_2=\mid z_2 \mid, \theta_1=\arg z_1, \theta_2=\arg z_2$であることから上記を求めることができる。

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参考として複素数の積を参照のこと。ただし偏角に関する記述に誤りあり。$\arg z_1z_2$とするところを$\arg z_1+z_2$としている。

• 複素数の積の図形的意味

$\alpha=r_0(cos\theta_0+i\sin\theta_0)$とするとき、
$$az=r_0(\cos\theta_0+i\sin\theta_0)z$$
の表す点$az$は、点$z$を原点の周りに$\theta_0$だけ回転し、さらに原点からの距離を$r_0$倍した点である。

参考として複素数の積を参照のこと。

商の極形式 ( division )

• 商の極形式

$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1), \ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$のとき
$$\begin{align*} &\frac{z_1}{z_2}= \frac{r_1}{r_2}{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)}\\ &\mid \frac{z_1}{z_2}\mid=\frac{\mid z_1\mid}{\mid z_2\mid}=\frac{r_1}{r_2}\\ &\arg\frac{z_1}{z_2}= \arg z_1-\arg z_2 \end{align*}$$

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積と同様に算出できる。

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参考として複素数の商を参照のこと。

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理 ( De Moivre’s theorem )

$n$が整数のとき
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

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参考サイトド・モアブルの定理 - 理工系数学のアラカルト -より。

数学的帰納法により下記段階を経て証明する。

1) $n\gt0$のとき
2) $n=0$のとき
3) $n\lt0$のとき

1) $n\gt0$のとき
$n=1$の場合、$(\cos\theta+i\sin\theta)^1=\cos(1\times\theta)+i\sin(1\times\theta)$より成立する。
$n=k(kは正の整数)$の場合、与式が成立すると仮定すると
$$\begin{align*} (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}&=(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}(\cos \theta+i\sin \theta)\\ &=(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos \theta+i\sin \theta)\\ &=\cos k\theta\cos \theta+i\cos k\theta \sin \theta+i\sin k\theta\cos \theta+i^2\sin k\theta \sin \theta\\ &=\cos k\theta\cos \theta-\sin k\theta \sin \theta+i(\sin \theta \cos k\theta+\cos \theta\sin k\theta)\\ \end{align*}$$
ここで三角関数の加法定理により
$$\begin{align*} (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}&=\cos(k\theta+\theta)+i\sin(k\theta+\theta)\\ &=\cos\{(k+1)\theta\}+i\sin\{(k+1)\theta\} \end{align*}$$
すなわち$n=k+1$に対しても与式は成立する。以上から$n\gt0$のとき、与式は成立する。

2) $n=0$のとき
与式の左辺は
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^0=1$$
であり、与式の右辺は
$$\cos (0\times\theta)+i\sin (0\times\theta)=1+i\times 0=1$$
となり、与式は成立する。

3) $n\lt0$のとき
与式を
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=(\cos\theta+i\sin\theta)^{-(-n)}=\frac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{(-n)}}$$
ここで$n$が負の整数であることから$-n$は正の整数であり、1)の結果から分母
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^{(-n)}=\cos (-n)\theta+i\sin (-n)\theta$$
が成り立つ。これらから
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\frac{1}{\cos (-n)\theta+i\sin (-n)\theta}$$
が成り立つ。右辺を変形し
$$\begin{align*} \frac{1}{\cos (-n)\theta+i\sin (-n)\theta}&=\frac{\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta}{(\cos (-n)\theta+i\sin (-n)\theta)(\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta)}\\ &=\frac{\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta}{(\cos^2(-n)\theta+\sin^2(-n)\theta)}\\ &=\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta \end{align*}$$
ゆえに
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta$$
$\cos(-n)\theta=\cos n\theta, \sin(-n)\theta=-\sin n\theta$より
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$
となり、負の整数についても与式は成立する。

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zⁿ=αの解

参考サイトド・モアブルの定理と複素数の$n$乗根 (「複素数平面」お気楽学習ノート) | OpenBookより。

補助問題)
$n$は整数として$1$の$n$乗根をすべて求めよ。$(z^n=1を解け)$

解)
A. $z^3=1$を求める。
$z$を複素数とし極形式で表現すると
$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \ (r\gt0, \ 0\le\theta\lt 2\pi) \tag{1}$$
であり、ド・モアブルの定理より
$$z^3=r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)$$

$z^3=1$の両辺の絶対値と偏角を比較し、$r^3=1$
ここで$r\gt0$より$r=1$
また$3\theta=0+2\pi\times k \ (kは整数)$より
$$\theta=\frac{2}{3}\pi\times k$$
ここで$0\le\theta \lt2\pi$となる$k$は$0, 1, 2$だから
$$\theta=0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$$
よって$(1)$より$z^3=1$の解は
$$z=1,\frac{-1+\sqrt3 i}{2}, \frac{-1-\sqrt3 i}{2}$$
である。

ここで、解$\displaystyle z=\frac{-1+\sqrt3 i}{2}$は極形式で
$$w=\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi$$
であり、複素平面上で半径$1$の円上で偏角$\frac{2}{3}\pi$の点である。同様に解$\displaystyle z=\frac{-1-\sqrt3 i}{2}$は極形式で
$$w=\cos\frac{4}{3}\pi+i\sin\frac{4}{3}\pi$$
である。

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B. $z^n=1$を求める。

$z$を複素数とし極形式で表現すると
$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \ (r\gt0, \ 0\le\theta\lt 2\pi) \tag{1}$$
であり、
$$r(\cos\theta+i\sin\theta)^n=1$$
である。ここで$\mid z\mid=1$より$r=1$、またド・モアブルの定理より
$$\cos n\theta+i\sin n\theta=1$$
$1$を極形式で表現し
$$\cos n\theta+i\sin n\theta=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k) \ (k=0, 1, 2, \cdots)$$
これを満たす$\theta$は三角関数の角を比較することにより
$$n\theta=2\pi k$$
となり$0\le\theta\lt 2\pi$より$z^n=1$の解は$z=\cos\theta+i\sin\theta$としたとき
$$\theta=2\pi\frac{ k}{n} \ (0\le k \lt n) \ (k=0, 1, \cdots, n-1)$$

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問題)
$n$は整数として複素数$\alpha$の$n$乗根をすべて求めよ。$(z^n=\alphaを解け)$

解)
複素数$z$を$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$とするとド・モアブルの定理により
$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=\alpha$$
複素数$\alpha$を極形式で表現して$\alpha=\mid \alpha\mid(\cos\phi+i\sin\phi)$とし、
$$r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=\mid\alpha\mid(\cos\phi+i\sin\phi)$$
となる。両辺の絶対値と偏角を比較すると
$$r^n=\mid\alpha\mid\\ n\theta=\phi+2\pi k$$
これより
$$r=\sqrt[n]{\mid\alpha\mid}$$
また
$$\theta=\frac{\phi+2\pi k}{n}$$
となる。ここで$\theta$は$0\le\theta\lt 2\pi$となるように考えると
$$\begin{align*} &\frac{\phi}{n} \le \frac{\phi+2\pi k}{n} \lt \frac{\phi}{n} + 2\pi\\ \end{align*}$$
であり、
$$\begin{align*} &\frac{\phi}{n} \le \frac{\phi}{n}+2\pi\frac{k}{n} \lt \frac{\phi}{n} + 2\pi \ (k=0, 1, \cdots, n-1) \end{align*}$$

以上をまとめると、任意の複素数$\alpha$の$n$乗根は、
$$z_k=\sqrt[n]{\mid \alpha\mid}(\cos n\theta_k+i\sin\theta_k)\\ \theta_k=\frac{\arg\alpha+2\pi k}{n} \ (k=0, 1, \cdots, n-1)$$

平面図形と複素数

平面図形と複素数

平行移動

複素数$z$に対して複素数$\alpha$を加えたとき、複素平面上で
$$w=z+\alpha$$
の表す点$w$は、点$z$を$\alpha$だけ平行移動した点となる。

2点間の距離

複素数平面上で2点$A(\alpha),B(\beta)$間の距離は
$$AB=\mid \beta-\alpha\mid$$

内分点・外分点

複素数平面上で2点$A(\alpha),B(\beta)$に対して線分$AB$を$m:n$に
$$内分する点は\frac{n\alpha + m\beta}{m+n}\\ 外分する点は\frac{-n\alpha + m\beta}{m-n}$$
とくに$2$点$A(\alpha),B(\beta)$を結ぶ線分の中点は
$$\frac{\alpha+\beta}{2}$$
である。

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複素数平面上で2点$A(\alpha),B(\beta)$に対して、線分$AB$を$m:n$に内分する点を$P(z)$とする。
点$A,P,B$をそれぞれ$-\alpha$だけ平行移動すると、$A$は原点$O$に移り、$P$は点$Q(z-\alpha)$に$B$は点$C(\beta-\alpha)$に移る。このとき$3$点$O,Q,C$は一直線上にあり、$Q$は点$C$の原点からの距離を$\displaystyle\frac{m}{m+n}$倍した点であるから
$$z-\alpha=\frac{m}{m+n}(\beta-\alpha)$$
よって
$$z=\alpha+\frac{m}{m+n}(\beta-\alpha)=\frac{n\alpha+m\beta}{m+n}$$
外分点も同様に求める事ができる。

辺の比と角の大きさ

$3$点$A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$を頂点とする$\triangle ABC$において
$$\frac{AC}{AB}=\left|\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right|\\ \angle BAC=\arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$$

また
$$\begin{align*} &\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}が実数 \iff 3点A,B,Cが一直線上にある\\ &\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}が純虚数 \iff AB\perp AC \end{align*}$$

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$3$点$A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$を頂点とする$\triangle ABC$で、$A$を原点に移す平行移動で点$B,C$がそれぞれ点$B'(z_1),C'(z_2)$に移ったとすると
$$z_1 = \beta-\alpha\\ z_2 = \gamma-\alpha$$
これより$\triangle ABC$において
$$\frac{AC}{AB}=\frac{OC'}{OB'}=\frac{| z_2|}{| z_1|} = \frac{| \gamma-\alpha |}{| \beta-\alpha |}=\left| \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} \right|$$

また辺$AC$が辺$AB$と作る角$\angle BAC$は
$$\angle BAC=\angle B'OC'= \arg z_2-\arg z_1 =\arg \frac{z_2}{z_1}=\arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$$

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等式の表す図形

• 垂直二等分線

複素数平面上の異なる$2$点$A(\alpha),B(\beta)$について

$$\begin{align*} |z-\alpha|=|z-\beta| &\iff 点zは2点A,Bからの距離が等しい\\ &\iff 点zは線分ABの垂直二等分線をえがく \end{align*}$$

• 円

複素数平面上の異なる$2$点$A(\alpha),B(\beta)$について

$$\begin{align*} |z-\alpha|=r &\iff 点zは点Aからの距離が等しい\\ &\iff 点zは点Aを中心とする半径rの円をえがく \end{align*}$$

• アポロニウスの円

$m$を$m\gt0,m\neq1$をみたす定数とするとき

$$\begin{align*} |z-\alpha|=m|z-\beta| \iff &点zは線分ABをm:1に内分する点と\\ &m:1に外分する点を直径の両端とする円をえがく \end{align*}$$

参考サイト

• 虚数とは何か？複素数とは何か？が一気に分かりやすくなる記事 | アタリマエ！

• 虚数や複素数の存在に納得する、もう一つの説明 - OGATA Tetsuji の数学ブログ
  複素数について概念を把握するのに良記事2本。前者は数の概念の拡張を優しく説くスタイル。後者は複素数がどのように使われることになったかを歴史を紐解きつつ解説。どちらの記事にも感銘を受けました。感動。

• ド・モアブルの定理と複素数のn乗根 (「複素数平面」お気楽学習ノート) | OpenBook
  ド・モアブルの定理と、複素数のn乗根の一般解を導出している、私が読んだ中では一番わかりやすく詳しいサイト。たいへんお世話になりました!

• 複素数 - Wikipedia

• 複素平面 - Wikipedia
  いわずと知れたWikipedia。

• 0はなぜ何をかけても0になるのか？ゼロの掛け算について | アタリマエ！
  やばいやばいです、このサイト。上の虚数のわかりやすい説明をしているサイトです。この筆者、話がうまい! 本の紹介がうまい! 気がついたらぽちっとなっ?! 財布と時間がやばいですよ… 内容的には大学の数学を扱っているので、この先お世話になりそうです。

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  これであなたもじゃぱりとしょかんのふれんずなんだね!