高校数学 - 極限

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第12回は極限です。

教科書では段階的に極限の考え方を学習するのに、離散的な数列の極限と連続的な関数の極限を分けています。復習は一気にしたいと思います。

しかし、よくよく数学とは一点に「収束」する、だとか巡り巡って「周期的な」振る舞いをする、とかが好きですよね。結局人間はそういったことから逃れられないのかもしれない…。ちょっと最近いろいろあって思うところがあったりします(謎)。

• • • 教材
    • 数列の極限
      • 無限数列
        • 無限数列と極限
          • 極限の性質
        • 無限等比数列
      • 無限級数
        • 無限級数
        • 無限等比級数
          • 循環小数
    • 関数の極限
      • 分数関数と無理関数
        • 分数関数
        • 無理関数
        • 合成関数
        • 逆関数
      • 関数の極限と連続性
        • 関数の極限
          • 片側からの極限
          • x→∞、x→-∞の極限
          • 極限値をもつ条件
        • 指数関数・対数関数の極限
        • 三角関数の極限
        • 関数の連続性

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第3章 数列の極限
第1節 無限数列
1. 無限数列と極限
2. 無限等比数列
第2節 無限級数
1. 無限級数
2. 無限等比級数

第4章 関数の極限
第1節 分数関数と無理関数
1. 分数関数
2. 無理関数
3. 合成関数
4. 逆関数
第2節 関数の極限と連続性
1. 関数の極限
2. 指数関数・対数関数の極限
3. 三角関数の極限
4. 関数の連続性

数列の極限

無限数列

無限数列と極限

• 無限数列

後が限りなく続く数列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots$を無限級数といい、
$$\{a_n\}$$
と表す。$a_n$は数列の一般項である。

• 数列の極限

無限数列$\{a_n\}でn$の値を限りなく大きくしていくとき、一般項$a_n$の値がどうなるかということを数列の極限という。$n$を限りなく大きくすることを$n\to\infty$と表す。$\infty$は無限大と読む。

• 収束する、極限値

一般に無限数列$\{a_n\}$において$n\to\infty$とすると、$a_n$の値が一定の値$\alpha$に限りなく近づくとき、数列$\{a_n\}は\alpha$に収束する、または$\{a_n\}の極限値は\alpha$であるという。このことを記号で以下のように表す。
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\ または\\ n\to\inftyのときa_n\to\alpha$$

• 発散する

数列には一定の値に収束しないものもあり、発散するという。
数列が正の無限大に限りなく大きくなる場合、数列$\{a_n\}$は正の無限大に発散するといい、
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\ または\\ n\to\inftyのときa_n\to\infty$$

数列が負の無限大に限りなく大きくなる場合、数列$\{a_n\}$は負の無限大に発散するといい、
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty\\ または\\ n\to\inftyのときa_n\to-\infty$$

• 振動する

発散する数列、すなわち収束しない数列のうち、一定の値に収束せず、正の無限大にも、負の無限大にも発散しない数列は、振動するという。

• 無限数列$\{a_n\}$の極限の分類

$$\begin{eqnarray*} 数列の極限\left\{ \begin{array} \ 収束する \cdots 極限値\alpha \ & \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = \alpha \\ 発散する\left\{ \begin{array} \ 正の無限大に発散 & \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \infty\\ 負の無限大に発散 & \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty &\\ 振動する \end{array} \right. \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

極限の性質

• 収束する数列の極限値の性質

数列$\{a_n\},\{b_n\}$が収束し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$のとき

$$\begin{align*} 1) &\lim_{n\to\infty} ka_n=k\alpha \ \ ただしkは定数 \\ 2) &\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta, \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\alpha-\beta \\ 3) &\lim_{n\to\infty} a_n b_n=\alpha \beta \\ &\beta\neq0ならば\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta} \end{align*}$$

---

数列$\{a_n\},\{b_n\}$について、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty,\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$のとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty$、$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n b_n =\infty$は成り立つが、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)$、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n b_n$は収束する場合や、発散する場合がある。

• 数列の極限と大小関係

数列の極限と大小関係について次の性質が成り立つ。

$A) \ すべてのnについてa_n\le b_nのとき$
$$\begin{align*} &1) \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha, \lim_{n\to\infty}b_nならば\alpha\le\beta \\ &2) \lim_{n\to\infty} a_n = \inftyならば\lim_{n\to\infty} b_n \end{align*}$$
$B) \ すべてのnについてa_n\le c_n\le b_nのとき$
$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} b_n=\alphaならば\lim_{n\to\infty} c_n=\alpha \\ \end{align*}$$

---

$A)-1)$において、つねに$a_n\lt b_n$であっても$\alpha\lt \beta$とは限らない。

無限等比数列

• 無限等比数列

ある数$a$に一定の数rを次々に掛けて得られる無限数列
$$a, ar, ar^2, \cdots, ar^{n-1}, \cdots$$
を初項$a$、公比$r$の無限等比数列という。

• $\{r^n\}$の極限

一般に無限数列$\{r^n\}$の極限は$r$の値によって次のように分類される。

$$\begin{align*} &1) \ r\gt1のとき\lim_{n\to\infty}r^n=\infty \\ &2) \ r=1のとき\lim_{n\to\infty}r^n=1 \\ &3) \ |r|\lt1のとき\lim_{n\to\infty}r^n=0 \\ &4) \ r\le-1のとき\{r^n\}は振動する \end{align*}$$

このことより以下がいえる。
$$数列\{r^n\}が収束する \iff -1 \lt r \le 1$$

---

$1) \ r\gt1のとき$
$r=1+h(h\gt0)$とおくと、$nが2以上$の整数のとき二項定理より
$$r^n=(1+h)^n=1+{}_nC_1h+{}_nC_2h^2+\cdots+h^n\gt1+nh\\ (\because {}_nC_1 = n, 他の項は正)$$
ここで$n\to\infty$とすると、$1+nh\to\infty$である。よって$r\gt1$のとき
$$\lim_{n\to\infty}r^n=\infty$$

$2) \ r=1のとき$
$$\lim_{n\to\infty}r^n=\lim_{n\to\infty}1^n=1$$

$3) \ |r|\lt1すなわち-1\lt r\lt1のとき$
$r=0のとき\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=\lim_{n\to\infty}0^n=0$
$r\neq0のとき\displaystyle\frac{1}{|r|}=s$とおくと、$s\gt1$であるから$1)$より
$$\lim_{n\to\infty}|r^n|=\lim_{n\to\infty}|r|^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{s^n}=0$$
よって$|r|<1$のとき$\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=0$

$4) \ r\le-1のとき$
$r=-1$のときは$r^n$の値は$-1と1$が交互に繰り返される。
$r\lt-1のときは|r|\gt1だから\displaystyle\lim_{n\to\infty}|r|^n=\inftyで$、$r^n$の符号が交互に変わる。よって$r\le-1$のとき、$\{r^n\}$は振動する。

無限級数

無限級数

• 無限級数

一般に無限数列$\{a_n\}$の各項を順に加えていった式
$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots \tag{1}$$
を無限級数といい、和の記号$\sumを使って\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$と表す。

• 部分和

$数列\{a_n\}の初項から第n項までの和$
$$S_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$$
を無限級数$(1)$の第$n$項までの部分和という。

• 収束する、和

無限級数$(1)$で部分和$S_n$の作る無限数列
$$S_1,S_2,S_2,\cdots,S_n,\cdots$$
が収束し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S$のとき、無限級数$(1)$は$S$に収束するという。このとき極限値$S$を無限級数$(1)$の和といい、
$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots=S$$
または
$$\sum_{n=1}^\infty a_n=S$$
と表す。

• 発散する

部分和の数列$\{S_n\}$が発散するとき、無限級数$(1)$は発散するという。

無限等比級数

• 無限等比級数

無限等比数列から作られる無限級数
$$a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots$$
を初項$a$、公比$r$の無限等比級数といい、$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}$と表す。

• 無限等比級数の収束と発散

$a\neq0$のとき、無限等比級数
$$a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots$$
は、
$$\begin{align*} & |r|\lt1のとき収束しその和は\frac{a}{1-r}である\\ & |r|\ge1のとき発散する \end{align*}$$

---

$a=0$のとき、部分和はつねに$0$で、$r$の値に関係なく$0$に収束するから$a\neq0$のときについて考える。

無限等比級数の第$n$項までの部分和を$S_n$とすると
$r\neq1$のとき
$$\begin{align*} S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \\ &=\frac{a(1-r^n)}{1-r} \end{align*}$$

$1) |r|\lt1$のとき
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n=0$だから
$$\lim_{n\to\infty} S_n= \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r}$$
よって無限等比級数は収束し、その和は$\displaystyle\frac{a}{1-r}$である。

$2) |r|\gt1またはr=-1$のとき
数列$\{r^n\}$は発散するから$\{S_n\}$も発散し、無限等比級数も発散する。

$r=1$のとき
$$S_n=a+a+a+\cdots+a=na$$
だから$\{S_n\}$は発散し、無限等比級数も発散する。

循環小数

分数を小数で表すと有限小数となるか、または
$$\frac{1}{3}=0.333\cdots \ \ \ \frac{8}{27}=0.296296\cdots$$
のように同じ数字の並びが繰り返される循環小数になる、この時$0.\dot{3}, 0.\dot{2}9\dot{6}$などのように表す。

循環小数は収束する無限等比級数として考えることで分数で表すことができる。

例) $0.\dot{4}\dot{5}$
$$\begin{align*} 0.\dot{4}\dot{5}&=0.45+0.0045+0.000045+\cdots \\ &=0.45+0.45\times0.01+0.45\times0.01^2+\cdots \end{align*}$$
右辺は公比0.01の無限等比数列であるから収束する。よって
$$0.\dot{4}\dot{5}=\frac{0.45}{1-0.01}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$$

関数の極限

分数関数と無理関数

分数関数

• 分数関数

$xの分数式で表される関数をxの分数式$という。

分数式の定義域は$分母が0になるxの値$を除く実数全体である。

• 直角双曲線

関数$\displaystyle y=\frac{k}{x}$のグラフは直角双曲線と呼ばれる曲線で、$k$の符号により対象となる。原点に関して対称で、$x$軸、$y$軸が漸近線になっている。

• 分数関数のグラフ

分数関数$\displaystyle y=\frac{k}{x-p}+qのグラフはy=\frac{k}{y}$のグラフを$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ並行した直角双曲線で、漸近線は$x=p, y=q$の2直線である。

$$\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}はy=\frac{k}{x-p}+q$$ の形に変形することでグラフを描くことができる。

無理関数

• 無理式、無理関数

根号内に文字を含む式を無理式といい、$x$の無理式で表される関数を$x$の無理関数という。

無理関数の定義域は根号内が正または$0$になる実数全体である。

• 無理関数のグラフ

無理関数$y=\sqrt{ax+b}$のグラフは、軸が$x$軸、頂点が点$\displaystyle\left( -\frac{b}{a} , 0 \right)$の放物線の上半分で、$k$の符号により向きが異なる。

合成関数

• 合成関数

一般に$2$つの関数$f(x)$、$g(x)$について、$f(x)$の値域が$g(x)$の定義域に含まれるとき、$x$に$g(f(x))$を対応される関数と考えることができる。この関数$g(f(x))$を$f(x)$と$g(x)$の合成関数といい、$y=(g\circ f)(x)$と表す。すなわち
$$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

逆関数

• 逆関数

一般に関数$y=f(x)$に対して、その逆の対応が関数になっているとき、この関数を$y=f(x)$の逆関数という。

$f(x)の逆関数をf^{-1}(x)$と書くことがある。

逆関数を求めるには$x$について解き、$xとy$を入れ替える。

関数の極限と連続性

関数の極限

• 極限値

関数$f(x)$において$x$が定義域の中で$a$以外の値を取りながら、$a$に限りなく近づくとき、$f(x)$の値が一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば、$xがa$に近づくときの$f(x)$の極限値は$\alpha$である、といい、
$$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$$
または
$$x\to aのときf(x)\to \alpha$$
と表す。

• 極限値の性質

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \alpha, \lim_{x\to a} g(x) = \beta$のとき

$$\begin{align*} 1) \ &\lim_{x\to a} kf(x)=k\alpha \ \ ただしkは定数 \\ 2) \ &\lim_{x\to a} \left\{ f(x)+g(x) \right\} = \alpha+\beta \\ &\lim_{x\to a} \left\{ f(x)-g(x) \right\} = \alpha-\beta \\ 3) \ &\lim_{x\to a} f(x)g(x)=\alpha\beta \\ &\beta\neq0ならば\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta} \end{align*}$$

関数$f(x)がx=a$で定義されていないときでも、$xがaに近づくときのf(x)の極限値$が存在する場合がある。

• 極限値の発散

関数$f(x)$において、$x\to a$のとき$f(x)$の値が限りなく大きくなる場合、$f(x)$は正の無限大に発散するといい、
$$\lim_{x\to a} f(x)=\infty$$
または
$$x\to aのときf(x)\to \infty$$
と表す。

また関数$f(x)$において、$x\to aのときf(x)の値$が負で、その絶対値が限りなく大きくなる場合、$f(x)$は負の無限大に発散するといい、
$$\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$$
または
$$x\to aのときf(x)\to -\infty$$
と表す。

片側からの極限

連続でない点における関数の極限を考えるとき、$x$の近づき方を制限することがある。
$$xがaより大きい方からaに近づくことを x \to a+0 \\ xがaより小さい方からaに近づくことを x \to a-0$$
のように表す。とくに$a=0$のときは$x\to 0+0, x\to 0-0$をそれぞれ$x\to +0, x\to-0$のように書く。

一般に関数$f(x)$について次が成り立つ。
$$\lim_{x\to a+0} f(x) = \lim_{x\to a-0} f(x) =\alphaならば\lim_{x\to a+0} f(x) = \alpha$$

x→∞、x→-∞の極限

$x$の値が限りなく大きくなることを$x\to\infty$と表す。また$x$の値が負でその絶対値が限りなく大きくなることを$x\to\infty$と表す。このような場合にも関数$f(x)$の極限、$\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x), \lim_{x\to-\infty} f(x)$を考える事がある。

極限値をもつ条件

ある関数が定数を伴い与えられ、極限値を持つ定数を求める問題がある。このときは数学IIの微分積分にあった以下の式にて解決する。
$$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=k, \lim_{x\to a} g(x)=0のとき \lim_{x\to a} f(x) = 0\\ (\because \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x) = k \cdot 0 = 0)$$

指数関数・対数関数の極限

グラフと対比することで下記となる。

指数関数$y=a^x$

$a\gt1$のとき

$$\lim_{x\to\infty} a^x=\infty \\ \lim_{x\to\infty} a^x=0$$
$0\lt a\lt1$のとき

$$\lim_{x\to\infty} a^x= 0\\ \lim_{x\to\infty} a^x=\infty$$

対数関数$y=log_a x$

$a\gt1$のとき

$$\lim_{x\to\infty} a^x=\infty \\ \lim_{x\to\infty} a^x=-\infty$$
$0\lt a\lt1$のとき

$$\lim_{x\to\infty} a^x=-\infty\\ \lim_{x\to\infty} a^x=\infty$$

三角関数の極限

$x$の値が限りなく大きくなるとき、関数$y=\sin x, y=\cos x$の値は$-1と1$の間のすべての値を繰り返してとり、一定の値には近づかない。したがって$\displaystyle\lim_{x\to\infty} \sin x,\lim_{x\to\infty} \cos x$は存在しない。

関数$y=\tan x$についても$\displaystyle\lim_{x\to\infty} \tan x$は存在しない。また
$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \tan x=\infty \\ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}+0} \tan x=-\infty \\ $$
となり、$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \tan x$は存在しない。

• 関数の極限と大小関係の性質

関数の極限と大小関係について次の性質が成り立つ。

$A) \ aの近くでxの値がつねにf(x)\le g(x)のとき$
$$\begin{align*} &1) \lim_{x\to a} f(x) = \alpha, \lim_{x\to a} g(x) = \betaならば\alpha\le\beta \\ &2) \lim_{x\to a} f(x) = \inftyならば\lim_{x\to a} g(x) = \infty \end{align*}$$
$B) \ aの近くでxの値がつねにf(x)\le h(x)\le g(x)のとき$
$$\begin{align*} &\lim_{x\to a} f(x) = \alpha, \lim_{x\to a} g(x) = \alphaならば\lim_{x\to a} h(x) = \alpha \end{align*}$$

$B)$をはさみうちの原理という。

---

• $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$の極限

$$\begin{align*} \lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}{x}&=0 \tag{1} \\ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}&=1 \tag{2} \end{align*}$$

---

$(1)について-1\le \sin x\le1$であるから、$x\gt0$のとき
$$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$$
となる。ここで
$$\lim_{x\to \infty} \left(-\frac{1}{x} \right) = 0, \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$$
だから
$$\lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$$

$(2)について$

$A) \ x\to+0$のとき、$\displaystyle0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$として、半径$r$、中心角$x$の扇形$OAP$をつくり、点$A$における円の接線が直線$OP$と交わる点を$T$とする。このとき面積について
$$\begin{align*} & \triangle OAP \lt (扇形OAP) \lt \triangle OAT \\ & \frac{1}{2} r^2 \sin x \lt \frac{1}{2} r^2 x \lt \frac{1}{2} r^2 \tan x \end{align*}$$
よって$\sin x \lt x \tan x$

$\sin x \gt 0$だから
$$1 \lt \frac{x}{\sin x} \lt \frac{1}{\cos x}$$
これより
$$1 \gt \frac{\sin x}{x} \gt cos x$$
ここで$\displaystyle\lim_{x\to+0} \cos x=1だから\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$

関数の連続性

• 連続、不連続

一般に関数$f(x)$において
$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$
が成り立つとき、$関数f(x)はx=aで連続である$という。

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$が存在しないときや、存在しても$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\neq f(a)$であるとき、この関数は$x=a$で連続ではない。このとき$f(x)はx=aで不連続である$という。

$関数f(x)がx=aで連続である$とは以下のことを指す。
$1) \ aがf(x)の定義域に属する$
$2) \ x\to aのときのf(xの極限値\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)が存在し$、$f(a)$に等しい

• ガウス記号

$実数aに対してa$を超えない最大の整数を$\lbrack a\rbrack$と書き、$\lbrack \ \rbrack$をガウス記号という。負の値のときに注意。

• 区間

$x$の値の範囲を区間という。

• 区間で連続

関数$f(x)$が、ある区間に属するすべての値で連続であるとき、関数$f(x)$はその区間で連続であるという。

• 区間で連続な関数

ある区間で連続な関数$f(x), g(x)と定数k$について、次の関数も同じ区間で連続である。
$$\begin{align*} &1) \ kf(x) \\ &2) \ f(x)+g(x), f(x)-g(x) \\ &3) \ f(x)g(x), \frac{f(x)}{g(x)} \ (区間のすべてのxでg(x)\neq0のとき) \end{align*}$$

• 連続関数の性質

$f(x)$が$a\le x \le b$で連続で、$f(a)$と$f(b)$が異符号ならば、$a$と$b$との間に$f(c)=0$となる$c$が少なくとも$1$つ存在する。

• 中間値の定理

$f(x)がa\le x \le bで連続$で、$f(a)\neq f(b)$のとき、$f(a)とf(b)$の間の値$k$に対して
$$f(c)=k, a\lt c\lt b$$
となる$c$が少なくとも$1$つ存在する。