高校数学 - 複素数平面

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第10回は複素数平面です。

ようやく「らしい」単元です。電気系だと必須の知識。いえ、数学でもですけど。学習し始めは一体何やってるんだかよくわからなかったんですが、工学に応用する時点でようやく意味がわかってくるんですよね。数学、おくがふかーい。微妙にフレンズ要素…

しかし、かなり忘れていました。っていうか、もともと理解していなかったんじゃね? ってレベルでしたよ、とほほ。この先わからなくなったらここまで戻ろう!

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    • 複素数平面
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        • 複素数の極形式
          • 積の極形式
          • 商の極形式 ( division )
        • ド・モアブルの定理
          • ド・モアブルの定理 ( De Moivre’s theorem )
          • zn=αの解
      • 平面図形と複素数
        • 平面図形と複素数
          • 平行移動
          • 2点間の距離
          • 内分点・外分点
          • 辺の比と角の大きさ
          • 等式の表す図形
    • 参考サイト

教材

• 新編 数学III 平成27年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2014-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-05578-3
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第2章 複素数平面
第1節 複素数平面
1. 複素数平面
2. 複素数の極形式
3. ド・モアブルの定理
第2節 平面図形と複素数
1. 平面図形と複素数

複素数平面

複素数平面

複素数平面

複素数

• 実部 ( real part )、虚部 ( imaginary part ) 、虚数 ( imaginary number ) 、純虚数 ( pure imaginary number )、複素数 ( complex number )

複素数$z$を$2$つの実数$a,b$を用いて
$$z=a+bi \ (i^2=-1)$$
と表したとき、実数$a,b$をそれぞれ複素数$z$の実部、虚部という。また実数でない複素数を虚数、特に実部が$0$で虚部が$0$でない複素数を純虚数という。

複素数平面

• 複素数平面 ( complex plane, z-plane )、ガウス平面 ( Gauss plane )、アルガン図 ( Argand diagram )、実軸 ( real axis )、虚軸 ( imaginary axis )

複素数$a+bi \ (i^2=-1)$は、$2$つの実数の組$(a, b)$で定まるので複素数$a+bi$を座標平面上の点$(a,b)$で表すことができる。

複素数を座標平面上の点で表したとき、この平面を複素数平面、またはガウス平面という。

• 共役な複素数 (共役=共軛=きょうやく, complex conjugate )

複素数$z=a+bi$に対して$a-bi$を$z$と共役な複素数といい、$\overline z$で表す。

複素数の和と差・実数倍

• 複素数の和 ( addition )

$2$つの複素数を$\alpha=a+bi, \beta=c+di$とすると
$$\alpha+\beta=(a+c)(b+d)i$$
となる。これより、原点$O$と$2$点$A(\alpha), B(\beta)$について点$P(\alpha+\beta)$を取ると四角形$OAPB$は平行四辺形になる。これにより、$3$点$O,A,B$から点$P$の位置が求められる。

• 複素数の差 ( subtraction )

$$\alpha-\beta=\alpha-(-\beta)$$
であるから差$\alpha-\beta$は$\alpha$と$-\beta$の和として表される。$A(\alpha),B(\beta)$とすると、点$-\beta$は原点$O$に関して$B$と対象な点$B'$であるから、点$Q(\alpha-\beta)$について四角形$OQAB$は平行四辺形になる。

• 複素数の実数倍

一般に$z\neq0$のとき、複素数$z$の実数倍は以下のようになる。

$k\gt0$のとき、点$kz$は点$z$を原点を中心とする$k$倍の拡大、縮小で移した点である。
$k\lt0$のとき、点$kz$は点$z$を原点に他関して対象に移した点である。
$k=0$または$z=0$のとき、点$kz$は原点$O$になる。

複素数の絶対値

• 複素数の絶対値 ( absolute value, modulus, magnitude )

複素数平面上で原点$O$と点$z$との距離を、複素数$z$の絶対値といい、$\mid z \mid$で表す。
$z=a+bi$の絶対値は次のようになる。

$\mid z \mid = \mid a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$

• 複素数の絶対値の性質

$z=a+bi$のとき、$-z=-(a+bi)=-a-bi, \ \overline z=a-bi$だから
$$\begin{align*} &\mid -z\mid=\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\\ &\mid \overline z\mid=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2} \end{align*}$$
よって以下が成り立つ。
$$\mid z \mid=\mid -z \mid=\mid \overline z \mid$$
また$z\overline z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2$なので以下が成り立つ。
$$z\overline z=\mid z \mid^2$$

複素数の極形式

• 極形式 ( polar form )、偏角 ( argument )

複素数平面上で、$0$でない複素数$z=a+bi$を表す点を$P(z)$とする。$OP=r,OP$が実軸の正の向きとなす角を$\theta$とすると、
$$a=r\cos\theta, \ b=r\sin\theta$$

したがって複素数$z$は次のように書くことができる。
$$z=r(cos\theta+i\sin\theta) \ (r\gt 0)$$
これを複素数の極形式という。ここで$r$は$z$の絶対値$\mid z \mid$に等しい。
すなわち$r=\sqrt{a^2+b^2}$である。$\theta$を$z$の偏角といい$\arg z$で表す。

積の極形式

• 積の極形式 ( multiplication )

$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1), \ z_2=r_2(cos\theta_2+i\sin\theta_2)$のとき、
$$\begin{align*} &z_1z_2=r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\\ &\mid z_1z_2 \mid=\mid z_1\mid \mid z_2\mid=r_1r_2\\ &\arg z_1 z_2=\arg z_1+\arg z_2 \end{align*}$$

偏角については$2\pi$の整数倍の差を除き一致していることを示している。

---

$0$でない$2$つの複素数$z_1,z_2$が極形式
$$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\\ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$$
で表されるとき
$$\begin{align*} z_1 z_2&=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\dot{} r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\\ &=r_1 r_2(\cos\theta_1cos\theta_2+\cos\theta_1i\sin\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_1i\sin\theta_2)\\ &=r_1 r_2(\cos\theta_1cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2) \end{align*}$$
ここで三角関数の加法定理より
$$\cos(\theta_1+\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\\ \sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2$$
であるから
$$z_1 z_2=r_1 r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$$
この式は$z_1z_2$の極形式で以下を意味する。
絶対値は$r_1r_2$、すなわち$z_1$と$z_2$の絶対値の積
偏角は$\theta_1+\theta_2$、すなわち$z_1$と$z_2$の偏角の和

また$r_1=\mid z_1\mid, r_2=\mid z_2 \mid, \theta_1=\arg z_1, \theta_2=\arg z_2$であることから上記を求めることができる。

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参考として複素数の積を参照のこと。ただし偏角に関する記述に誤りあり。$\arg z_1z_2$とするところを$\arg z_1+z_2$としている。

• 複素数の積の図形的意味

$\alpha=r_0(cos\theta_0+i\sin\theta_0)$とするとき、
$$az=r_0(\cos\theta_0+i\sin\theta_0)z$$
の表す点$az$は、点$z$を原点の周りに$\theta_0$だけ回転し、さらに原点からの距離を$r_0$倍した点である。

参考として複素数の積を参照のこと。

商の極形式 ( division )

• 商の極形式

$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1), \ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$のとき
$$\begin{align*} &\frac{z_1}{z_2}= \frac{r_1}{r_2}{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)}\\ &\mid \frac{z_1}{z_2}\mid=\frac{\mid z_1\mid}{\mid z_2\mid}=\frac{r_1}{r_2}\\ &\arg\frac{z_1}{z_2}= \arg z_1-\arg z_2 \end{align*}$$

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積と同様に算出できる。

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参考として複素数の商を参照のこと。

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理 ( De Moivre’s theorem )

$n$が整数のとき
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

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参考サイトド・モアブルの定理 - 理工系数学のアラカルト -より。

数学的帰納法により下記段階を経て証明する。

1) $n\gt0$のとき
2) $n=0$のとき
3) $n\lt0$のとき

1) $n\gt0$のとき
$n=1$の場合、$(\cos\theta+i\sin\theta)^1=\cos(1\times\theta)+i\sin(1\times\theta)$より成立する。
$n=k(kは正の整数)$の場合、与式が成立すると仮定すると
$$\begin{align*} (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}&=(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}(\cos \theta+i\sin \theta)\\ &=(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos \theta+i\sin \theta)\\ &=\cos k\theta\cos \theta+i\cos k\theta \sin \theta+i\sin k\theta\cos \theta+i^2\sin k\theta \sin \theta\\ &=\cos k\theta\cos \theta-\sin k\theta \sin \theta+i(\sin \theta \cos k\theta+\cos \theta\sin k\theta)\\ \end{align*}$$
ここで三角関数の加法定理により
$$\begin{align*} (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}&=\cos(k\theta+\theta)+i\sin(k\theta+\theta)\\ &=\cos\{(k+1)\theta\}+i\sin\{(k+1)\theta\} \end{align*}$$
すなわち$n=k+1$に対しても与式は成立する。以上から$n\gt0$のとき、与式は成立する。

2) $n=0$のとき
与式の左辺は
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^0=1$$
であり、与式の右辺は
$$\cos (0\times\theta)+i\sin (0\times\theta)=1+i\times 0=1$$
となり、与式は成立する。

3) $n\lt0$のとき
与式を
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=(\cos\theta+i\sin\theta)^{-(-n)}=\frac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{(-n)}}$$
ここで$n$が負の整数であることから$-n$は正の整数であり、1)の結果から分母
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^{(-n)}=\cos (-n)\theta+i\sin (-n)\theta$$
が成り立つ。これらから
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\frac{1}{\cos (-n)\theta+i\sin (-n)\theta}$$
が成り立つ。右辺を変形し
$$\begin{align*} \frac{1}{\cos (-n)\theta+i\sin (-n)\theta}&=\frac{\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta}{(\cos (-n)\theta+i\sin (-n)\theta)(\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta)}\\ &=\frac{\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta}{(\cos^2(-n)\theta+\sin^2(-n)\theta)}\\ &=\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta \end{align*}$$
ゆえに
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos (-n)\theta-i\sin (-n)\theta$$
$\cos(-n)\theta=\cos n\theta, \sin(-n)\theta=-\sin n\theta$より
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$
となり、負の整数についても与式は成立する。

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zⁿ=αの解

参考サイトド・モアブルの定理と複素数の$n$乗根 (「複素数平面」お気楽学習ノート) | OpenBookより。

補助問題)
$n$は整数として$1$の$n$乗根をすべて求めよ。$(z^n=1を解け)$

解)
A. $z^3=1$を求める。
$z$を複素数とし極形式で表現すると
$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \ (r\gt0, \ 0\le\theta\lt 2\pi) \tag{1}$$
であり、ド・モアブルの定理より
$$z^3=r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)$$

$z^3=1$の両辺の絶対値と偏角を比較し、$r^3=1$
ここで$r\gt0$より$r=1$
また$3\theta=0+2\pi\times k \ (kは整数)$より
$$\theta=\frac{2}{3}\pi\times k$$
ここで$0\le\theta \lt2\pi$となる$k$は$0, 1, 2$だから
$$\theta=0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$$
よって$(1)$より$z^3=1$の解は
$$z=1,\frac{-1+\sqrt3 i}{2}, \frac{-1-\sqrt3 i}{2}$$
である。

ここで、解$\displaystyle z=\frac{-1+\sqrt3 i}{2}$は極形式で
$$w=\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi$$
であり、複素平面上で半径$1$の円上で偏角$\frac{2}{3}\pi$の点である。同様に解$\displaystyle z=\frac{-1-\sqrt3 i}{2}$は極形式で
$$w=\cos\frac{4}{3}\pi+i\sin\frac{4}{3}\pi$$
である。

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B. $z^n=1$を求める。

$z$を複素数とし極形式で表現すると
$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \ (r\gt0, \ 0\le\theta\lt 2\pi) \tag{1}$$
であり、
$$r(\cos\theta+i\sin\theta)^n=1$$
である。ここで$\mid z\mid=1$より$r=1$、またド・モアブルの定理より
$$\cos n\theta+i\sin n\theta=1$$
$1$を極形式で表現し
$$\cos n\theta+i\sin n\theta=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k) \ (k=0, 1, 2, \cdots)$$
これを満たす$\theta$は三角関数の角を比較することにより
$$n\theta=2\pi k$$
となり$0\le\theta\lt 2\pi$より$z^n=1$の解は$z=\cos\theta+i\sin\theta$としたとき
$$\theta=2\pi\frac{ k}{n} \ (0\le k \lt n) \ (k=0, 1, \cdots, n-1)$$

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問題)
$n$は整数として複素数$\alpha$の$n$乗根をすべて求めよ。$(z^n=\alphaを解け)$

解)
複素数$z$を$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$とするとド・モアブルの定理により
$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=\alpha$$
複素数$\alpha$を極形式で表現して$\alpha=\mid \alpha\mid(\cos\phi+i\sin\phi)$とし、
$$r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=\mid\alpha\mid(\cos\phi+i\sin\phi)$$
となる。両辺の絶対値と偏角を比較すると
$$r^n=\mid\alpha\mid\\ n\theta=\phi+2\pi k$$
これより
$$r=\sqrt[n]{\mid\alpha\mid}$$
また
$$\theta=\frac{\phi+2\pi k}{n}$$
となる。ここで$\theta$は$0\le\theta\lt 2\pi$となるように考えると
$$\begin{align*} &\frac{\phi}{n} \le \frac{\phi+2\pi k}{n} \lt \frac{\phi}{n} + 2\pi\\ \end{align*}$$
であり、
$$\begin{align*} &\frac{\phi}{n} \le \frac{\phi}{n}+2\pi\frac{k}{n} \lt \frac{\phi}{n} + 2\pi \ (k=0, 1, \cdots, n-1) \end{align*}$$

以上をまとめると、任意の複素数$\alpha$の$n$乗根は、
$$z_k=\sqrt[n]{\mid \alpha\mid}(\cos n\theta_k+i\sin\theta_k)\\ \theta_k=\frac{\arg\alpha+2\pi k}{n} \ (k=0, 1, \cdots, n-1)$$

平面図形と複素数

平面図形と複素数

平行移動

複素数$z$に対して複素数$\alpha$を加えたとき、複素平面上で
$$w=z+\alpha$$
の表す点$w$は、点$z$を$\alpha$だけ平行移動した点となる。

2点間の距離

複素数平面上で2点$A(\alpha),B(\beta)$間の距離は
$$AB=\mid \beta-\alpha\mid$$

内分点・外分点

複素数平面上で2点$A(\alpha),B(\beta)$に対して線分$AB$を$m:n$に
$$内分する点は\frac{n\alpha + m\beta}{m+n}\\ 外分する点は\frac{-n\alpha + m\beta}{m-n}$$
とくに$2$点$A(\alpha),B(\beta)$を結ぶ線分の中点は
$$\frac{\alpha+\beta}{2}$$
である。

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複素数平面上で2点$A(\alpha),B(\beta)$に対して、線分$AB$を$m:n$に内分する点を$P(z)$とする。
点$A,P,B$をそれぞれ$-\alpha$だけ平行移動すると、$A$は原点$O$に移り、$P$は点$Q(z-\alpha)$に$B$は点$C(\beta-\alpha)$に移る。このとき$3$点$O,Q,C$は一直線上にあり、$Q$は点$C$の原点からの距離を$\displaystyle\frac{m}{m+n}$倍した点であるから
$$z-\alpha=\frac{m}{m+n}(\beta-\alpha)$$
よって
$$z=\alpha+\frac{m}{m+n}(\beta-\alpha)=\frac{n\alpha+m\beta}{m+n}$$
外分点も同様に求める事ができる。

辺の比と角の大きさ

$3$点$A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$を頂点とする$\triangle ABC$において
$$\frac{AC}{AB}=\left|\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right|\\ \angle BAC=\arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$$

また
$$\begin{align*} &\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}が実数 \iff 3点A,B,Cが一直線上にある\\ &\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}が純虚数 \iff AB\perp AC \end{align*}$$

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$3$点$A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$を頂点とする$\triangle ABC$で、$A$を原点に移す平行移動で点$B,C$がそれぞれ点$B'(z_1),C'(z_2)$に移ったとすると
$$z_1 = \beta-\alpha\\ z_2 = \gamma-\alpha$$
これより$\triangle ABC$において
$$\frac{AC}{AB}=\frac{OC'}{OB'}=\frac{| z_2|}{| z_1|} = \frac{| \gamma-\alpha |}{| \beta-\alpha |}=\left| \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} \right|$$

また辺$AC$が辺$AB$と作る角$\angle BAC$は
$$\angle BAC=\angle B'OC'= \arg z_2-\arg z_1 =\arg \frac{z_2}{z_1}=\arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$$

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等式の表す図形

• 垂直二等分線

複素数平面上の異なる$2$点$A(\alpha),B(\beta)$について

$$\begin{align*} |z-\alpha|=|z-\beta| &\iff 点zは2点A,Bからの距離が等しい\\ &\iff 点zは線分ABの垂直二等分線をえがく \end{align*}$$

• 円

複素数平面上の異なる$2$点$A(\alpha),B(\beta)$について

$$\begin{align*} |z-\alpha|=r &\iff 点zは点Aからの距離が等しい\\ &\iff 点zは点Aを中心とする半径rの円をえがく \end{align*}$$

• アポロニウスの円

$m$を$m\gt0,m\neq1$をみたす定数とするとき

$$\begin{align*} |z-\alpha|=m|z-\beta| \iff &点zは線分ABをm:1に内分する点と\\ &m:1に外分する点を直径の両端とする円をえがく \end{align*}$$

参考サイト

• 虚数とは何か？複素数とは何か？が一気に分かりやすくなる記事 | アタリマエ！

• 虚数や複素数の存在に納得する、もう一つの説明 - OGATA Tetsuji の数学ブログ
  複素数について概念を把握するのに良記事2本。前者は数の概念の拡張を優しく説くスタイル。後者は複素数がどのように使われることになったかを歴史を紐解きつつ解説。どちらの記事にも感銘を受けました。感動。

• ド・モアブルの定理と複素数のn乗根 (「複素数平面」お気楽学習ノート) | OpenBook
  ド・モアブルの定理と、複素数のn乗根の一般解を導出している、私が読んだ中では一番わかりやすく詳しいサイト。たいへんお世話になりました!

• 複素数 - Wikipedia

• 複素平面 - Wikipedia
  いわずと知れたWikipedia。

• 0はなぜ何をかけても0になるのか？ゼロの掛け算について | アタリマエ！
  やばいやばいです、このサイト。上の虚数のわかりやすい説明をしているサイトです。この筆者、話がうまい! 本の紹介がうまい! 気がついたらぽちっとなっ?! 財布と時間がやばいですよ… 内容的には大学の数学を扱っているので、この先お世話になりそうです。

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  これであなたもじゃぱりとしょかんのふれんずなんだね!