高校数学 - 指数関数・対数関数

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第4回は指数関数・対数関数です。

いまだにlogとlnの区別ができません。分野毎に底が違っているのになかなかなれることができず、いつも悩みます。そのまえに指数の扱い、苦手なんですよね。コンピュータで表示される対数表示、eってなになにー!? すっごーい! かばんちゃん! って思わずいいたくなっちゃいます。

教材

新編数学II 平成26年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2013-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-04563-0
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第4章指数関数と対数関数
第1節指数と指数関数
1. 0や負の整数の指数
2. 指数の拡張
3. 指数関数

第2節対数と対数関数
1. 対数
2. 対数関数
3. 常用対数

指数関数と対数関数

指数と指数関数

0や負の整数の指数

指数法則

指数

実数 $a$ について $a$ の $n$ 個の積を $a^n$ と書き、 $n$ を $a^n$ の指数という。

累乗

$a, a^2,a^3,\cdots$ をまとめて $a$ の累乗という。 $n$ が自然数以外の場合は冪乗(べきじょう)という。

0や負の整数の指数

指数の範囲を0、負の整数まで拡張する。
$a\neq0$ で $n$ が正の整数のとき
$a^0=1, a^{-1}=\frac{1}{a^n}$

指数法則

$\begin{eqnarray*} a^m \times a^n &=& a^{m+n}\\ (a^m)^n &=& a^{mn}\\ (ab)^n &=& a^nb^n\\ a^m\div a^n &=& a^{m-n} \end{eqnarray*}$

指数の拡張

指数の範囲を有理数まで拡張する。

累乗根

一般に $n$ が2以上の整数のとき $n$ 乗して $a$ になる数、すなわち
$x^n=a$
を満たす $x$ の値を $n$ の $a$ 乗根という。
2乗根、3乗根、4乗根、 $\cdots$ を総称し、累乗根という。

一般に、 $a$ の $n$ 乗根について、以下がいえる。

$n$ が奇数の時
$a$ の $n$ 乗根はただ一つある。これを $\sqrt[ n ]{ a }$ と書く。
$n$ が偶数の時
正の数 $a$ の $n$ 乗根は正、負1つづつある。これらをそれぞれ $\sqrt[ n ]{ a },-\sqrt[ n ]{ a }$ と書く。負の数 $a$ の $n$ 乗根は存在しない。

$n$ 乗根の定義から $n$ が偶数、奇数のいずれであっても以下がいえる。
$\begin{eqnarray*} a\gt0のとき \sqrt[n]{a^n}&=&a\\ a=0のとき \sqrt[n]{0}&=&0 \end{eqnarray*}$

累乗根の性質

$a\gt0, b\gt 0$ で $m,n$ が正の整数のとき
$\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{a})^n&=&a\\ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}&=&\sqrt[n]{ab}\\ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}&=&\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\ (\sqrt[n]{a})^m&=&\sqrt[n]{a^m}\\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}&=&\sqrt[mn]{a} \end{eqnarray*}$

有理数の指数

指数が有理数のとき、 $a$ の累乗を次のように定める。
$a \gt 0$ で、 $m$ が整数、 $n$ が正の整数のとき
$a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\\ とくにa^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

指数法則

$a\gt0, b\gt 0$ で $p,q$ が有理数のとき
$\begin{eqnarray*} a^p \times a^q &=& a^{p+q}\\ (a^p)^q &=& a^{pq}\\ (ab)^p &=& a^pb^p\\ a^p\div a^q &=& a^{p-q} \end{eqnarray*}$

指数関数

指数関数のグラフ

$y=\frac{1}{2}^x$ のグラフと $y=2^x$ のグラフ
指数関数

一般に $a\gt0, a\neq1$ のとき、 $y=a^x$ で表される関数を、 $a$ を底とする指数関数という。

指数関数の性質

指数関数 $y=a^x$ の性質
1. 定義域は実数全体、値域は正の実数全体である。また $a^p=a^q$ となるのは $p=q$ のとき。
2. グラフは定点 $(0,1)$ をとおり、 $x$ 軸が漸近線である。
3. $a\gt1$ のとき $x$ の値が増加すると $y$ の値も増加する。
  $0\lt a\lt 1$ のとき $x$ の値が増加すると $y$ の値は減少する。

$\begin{eqnarray*} a\gt1のときにp\lt q &\iff& a^p\lt a^q\\ 0\lt a\lt 1のときにp\lt q &\iff& a^p\gt a^q \end{eqnarray*}$

指数を含む方程式・不等式

指数関数の性質を利用し問題を解く方法を解説。詳細は略。

対数と対数関数

対数

一般に $a\gt0, a\neq1$ のとき任意の正の数 $M$ に対して
$M=a^x$
となる $x$ の値 $p$ がただ1つ定まる。この値を $a$ を底とする $M$ の対数といい、
$\log_{a}M$
とかく。このとき $M$ をこの対数の真数という。対数の真数は常に正である。

指数と対数の関係

$a\gt0, a\neq 1, M \gt 0$ のとき
$a^p=M \iff p=\log_{a}M$

対数の性質

$a^0=1, a^1=a$ より
$\log_{a}1=0, \log_{a}a=1$
また対数の定義から
$\log_{a}a^r=r$

積、商、累乗の対数
$a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0$ で $r$ が実数のとき
$\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N\\ \log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\\ \log_{a}M^r=r\log_{a}M$

底の変換公式

$a, b, c$ が正の数で $a\neq1, b\neq1, c\neq1$ のとき
$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\\ \log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

$\log_{a}b=x$ とおくと $a^x=b$
$c$ を底とする両辺の対数を考えると
$\log_{c}a^x=log_{c}b$
すなわち $x\log_{c}a=\log_{c}b$
$a\neq1$ より $\log_{c}a\neq0$ だから
$x=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$
よって
$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

対数関数

対数関数のグラフ

$a\gt0, a\neq1$ のとき、正の数 $x$ に対応して $\log_{a}x$ の値がただひとつ定まる。この対応で決まる関数 $y=\log_{a}x$ を $a$ を底とする対数関数という。

$y=\log_{2}x$ のグラフ
対数関数

$y=\log_{\frac{1}{2}}x$ のグラフ
対数関数2

対数関数の性質

対数関数 $y=\log_{a}x$ の性質

定義域は正の実数全体、値域は実数全体である。また $\log_{a}p=\log_{a}q$ となるのは $p=q$ のときである。
グラフは定点 $(1,0)$ をとおり、 $y$ 軸が漸近線である。
$a\gt1$ のとき $x$ の値が増加すると $y$ の値も増加する。
$a\lt a\lt1$ のとき $x$ の値が増加すると $y$ の値は減少する。
$\begin{eqnarray*} a\gt1のときにp\lt q &\iff& \log_{a}p\lt \log_{a}q\\ 0\lt a\lt 1のときにp\lt q &\iff& \log_{a}p\gt \log_{a}q \end{eqnarray*}$

常用対数

$10$ を底とする対数 $\log_{10}N$ を $N$ の常用対数という。

きのむくままに