高校数学 - 集合

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。初回は集合です。

• • • 場合の数と確率
      • 序説 集合
      • 集合
    • 場合の数
      • 集合の要素の個数
      • 場合の数
    • 数と式
      • 命題と集合
        • 命題と集合
        • 逆と対偶
    • 教材
    • 参考サイト

教材

• 新編 数学A 平成25年度用
  編者: 高橋陽一郎
  出版社: 啓林館
  発行日: 2012-12-10
  ISBN: ISBN978-4-402-03692-7
  価格: C4341 ￥00000E
  
  学習範囲 (目次より)
  第1章 場合の数と確率
  序節 集合
  第1節 場合の数

  1. 集合の要素の個数
  2. 場合の数

• 新編 数学I 平成25年度用
  編者: 高橋陽一郎
  出版社: 啓林館
  発行日: 平成24年12月10日
  ISBN: ISBN978-4-402-03692-8
  価格: C4341 ￥00000E
  
  学習範囲 (目次より)
  第1章 数と式
  第4節 集合と命題

  1. 集合
  2. 命題と集合
  3. 逆と対偶

場合の数と確率

序説 集合

集まりを考える。

集合

• 集合 ( set )
  あるものに属するものがはっきり決まっているものの集まり。

• 要素 ( element )
  集合に属する一つ一つのもの。「その集合の要素( membership )」と表現する。
  例えば自然数のうち、5以下の自然数の集合をAとする。この時1は集合Aの要素といい、下記式で表す。
  $$1 \in A$$
  6は集合Aの要素ではなく、下記式で表す。
  $$6 \notin A$$
  集合を表すには二通りの表現がある。

  1. その要素を書き並べる。
     $$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$$
  2. その要素が満たす条件を書く。
     $$A = \{x\mid xは5以下の自然数\}$$

• 部分集合 ( subset )
  2つの集合がA,BについてAの要素がすべてBの要素になっているとき、AはBの部分集合であるという。
  $$A \subset B\ または\ B \supset A$$
  集合A自身もAの部分集合である。
  2つの集合A, Bの要素がすべて一致するとき、AとBは等しいという。
  $$A = B$$

• 共通集合 ( intersection, product )
  2つの集合A, Bについて、AとBの両方に属する要素全体の集合を、AとBの共通部分という。
  $$A \cap B$$

• 和集合 ( union, sum )
  AとBの少なくとも一方に属する要素全体の集合をAとBの和集合という。
  $$A \cup B$$

• 空集合 ( empty set )
  要素を一つも持たない特別な集合を空集合という。
  $$\phi$$

• 全体集合 ( universal set )
  考えるもの全体の集合を全体集合という。
  $$U$$

• 補集合 ( complement )
  全体集合Uの中で、集合Aに属さないよううその集合をAの補集合という。
  $$\bar A$$

• ド・モルガンの法則 ( De Morgan’s laws )
  積と和の否定を簡単に計算するのに使える法則。
  Latexの書き方を後で調べること
  $$\overline{A \cap B} = \bar A \cup \bar B \\ \overline{A \cup B} = \bar A \cap \bar B$$

場合の数

集合の要素の個数

• 有限集合 ( finite set )
  有限個の要素からなる集合を有限集合という。有限集合Aの要素の個数を$n(A)$で表す。
  ふたつの集合A、Bがあるとき、その共通集合と和集合を考える。要素の数を$n(A)$、$n(B)$、$n(A \cap B)$、$n(A \cup B)$とする。この時
  $$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$
  である。また$n(A \cap B) = \phi$のとき
  $$n(A \cup B) = n(A) + n(B)$$
  である。
  全体集合$U$の部分集合$A$とその補集合$\bar A$について
  $$A \cup \bar A = U\\ A \cap \bar A = \phi$$
  だから
  $$n(U) = n(A) + n(\bar A)\\ n(\bar A) = n(U) - n(A)$$
  となる。

場合の数

• 場合の数 ( number of cases )
  ある事柄について、考えられるすべての場合を数え上げるとき、その総数を場合の数という。

• 樹形図 ( tree diagram )
  起こりうるあらゆる場合を順序良く整理し、漏れや重複がないようにするために樹形図などを使う。規則性の発見。

• 和の法則
  事柄$A$の起こり方が$m$通りある。事柄$B$の起こり方が$n$通りある。$A$と$B$は同時に起こらないとき、$A$と$B$のいずれかが起こる場合の数は、$m+n$通りである。
  さいころを同時に投げ、和が5の倍数となる下記の例などでは、この二つは同時に起こらないので、和の法則が成り立つ。

  1. 和が5になる
  2. 和が10になる

• 積の法則
  事柄$A$の起こり方が$m$通りあり、それぞれの場合に対して事柄$B$の起こり方が$n$通りずつある。この時$A$、$B$がともに起こる場合の数は$m \times n$通りである。

数と式

命題と集合

命題と集合

• 命題 ( proposition )
  正しいか正しくないかがはっきり決まる事柄を述べた文や式のことを命題という。

• 真 ( truth )
  ある命題が正しいとき、その命題は真である、という。

• 偽 ( falsity )
  ある命題が正しくないとき、その命題は偽である、という。

• 仮定と結論 ( antecedent condition, consequent condition )
  命題が「条件 ( condition ) pならば条件qである」の形に述べられているとき、pを命題の仮定、pを命題の結論という。
  $$p \Rightarrow q$$

• 反例 ( counterexample )
  命題$p \Rightarrow q$が偽であることを示すためには$P \subset Q$が成り立たないこと、すなわちPの要素でありQの要素でないものがあるといえばいい。このような例を命題$P \Rightarrow Q$の反例という。

• 十分条件と必要条件 ( necessity, sufficiency )
  二つの条件p、qについて、命題$p \Rightarrow q$が真であるとき、pはqの十分条件、qはpの必要条件であるという。

• 必要十分条件 ( necessary and sufficient condition )
  二つの条件p、qについて、二つの命題$p \Rightarrow q$、$q \Rightarrow p$がともに真であるとき、pはqの十分条件、qはpの必要条件であるという。
  $$p \Leftrightarrow q$$

• 同値 ( equivalence )
  $p \Leftrightarrow q$であるとき、pとqは同値である、という。

• 否定 ( negative )
  条件pに対して、条件「pでない」をpの否定という。補集合と同じもの。
  $$\bar p$$

逆と対偶

• 逆 ( conversion )
  命題$p \Rightarrow q$に対して仮定pと結論qを入れ替えた命題$q \Rightarrow p$をもとの命題の逆という。
  真である命題の逆は必ずしも真ではない。

• 対偶 ( contraposition )
  命題$p \Rightarrow q$に対して命題$\bar q \Rightarrow \bar p$を対偶という。
  命題「$p \Rightarrow q$」とその対偶「$\bar q \Rightarrow \bar p$」の真偽は一致する。

• 裏 ( inversion )
  命題$p \Rightarrow q$に対して、命題$\bar p \Rightarrow \bar q$をもとの命題の裏という。

• 背理法 ( proof by contradiction, reduction to the absurd, apagogical argument )
  ある命題を証明するのに、それを直接示すのではなく、その命題が成り立たないと仮定して推論を行っていくと矛盾が生じることを示すことによって、その命題が成り立つことを証明する方法を背理法という。

参考サイト

• Set (mathematics) - Wikipedia
• Necessity and sufficiency - Wikipedia
• Contraposition - Wikipedia
• LaTeXコマンド集