高校数学 - 三角比 - きのむくままに

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第2回は三角比です。ベクトルの内積を復習したときに余弦定理がでてきたので、先に三角比の復習を済ませました。

高校の数学Iでは、はじめは直角三角形を用いた定義を学びます。次に単位円(第一象限、第二象限)を用いた定義を学びます。高校の数学IIの三角関数で、全象限に拡張します。学習の過程で順次概念を拡張する流れが面白いですね。

正弦定理や余弦定理の意味や導出方法も完全に忘れていました。復習の機会を設けてよかったとひとしきり。また気づいたこともメモとして残しておきます。

教材

新編数学I 平成25年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: 啓林館
発行日: 平成24年12月10日
ISBN: ISBN978-4-402-03692-8
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第3章図形と計量
第1節鋭角の三角比
1. 正接・正弦・余弦
2. 三角比の相互関係
第2節鈍角の三角比
1. $0^\circ\le\theta\le180^\circ$ の三角比
2. 三角比の相互関係
第3節正弦定理と余弦定理
1. 正弦定理
2. 余弦定理
第4節図形の計量
1. 図形の面積
2. 空間図形の計量

図形と計量

鋭角の三角比

直角三角形を用いた三角比の定義。

正接・正弦・余弦

正接 ( tangent )・正弦 ( sine )・余弦 ( cosine )・三角比 ( trigonometric ratios )
$\begin{eqnarray*} \sin A &=& \frac{a}{c} \\ \cos A &=& \frac{b}{c} \\ \tan A &=& \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

$C$ を直角とする三角形 $ABC$ において $\frac{BC}{AC}$ の値を $A$ の正接、またはタンジェントといい $\tan A$ とかく。
$\frac{BC}{AB}$ の値を $A$ の正弦またはサイン、 $\frac{AC}{AB}$ の値を $A$ の余弦またはコサインといい、それぞれ $\sin A, \cos A%$ とかく。正接、正弦、余弦をまとめて三角比という。

三角比の利用

$\sin A = \frac {a}{c}$ より $a=c\sin A$ 、 $\cos A=\frac{b}{c}$ より $b=c\cos A$ となる。これを用いて $C$ を直角とする直角三角形 $ABC$ で、斜辺 $AB$ の長さと $\angle A$ の大きさから、直角をはさむ辺 $AC$ 、 $BC$ の長さを求めることができる。

三角比の相互関係

$\begin{eqnarray*} \tan A &=& \frac{\sin A}{\cos A}\\ \sin^2 A + \cos^2 A &=& 1\\ 1+\tan^2 A &=& \frac{1}{\cos^2 A} \end{eqnarray*}$

$a=c\sin A, b=c\cos A$ より
$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{c\sin A}{c\cos A}=\frac{\sin A}{\cos A}$

また三平方の定理により $a^2 + b^2 = c^2$ であるのでこれに上式を代入し、
$(c\sin A)^2 + (c\cos A)^2 = c^2$
$c^2 \neq0$ より両辺を $c^2$ で割って
$(\sin A)^2+(\cos A)^2 = 1$
ここで $(\sin A)^2,(\cos A)^2$ をそれぞれ $\sin^2 A,\cos^2 A$ と書くと
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
が成り立つ。

$A$ が鋭角のとき $\cos^2 A\neq0$ であるから $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ の両辺を $\cos^2 A$ で割ると
$\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} + \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = \frac{1}{\cos^2 A}$
となる。ここで
$\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \left( \frac{\sin A}{\cos A} \right)^2 = \tan^2 A$
より、次の式が成り立つ。
$1 + tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$

90°-Aの三角比

$\sin(90^\circ-A) = \cos A\\ \cos(90^\circ-A) = \sin A\\ \tan(90^\circ-A) = \frac{1}{\tan A}$

鈍角の三角比

単位円を用いた三角比の定義。ただし、第一象限、第二象限のみ用いる。

0°≦θ≦180°の三角比

$\begin{eqnarray*} \sin \theta &=& \frac{y}{r}\\ \cos \theta &=& \frac{x}{r}\\ \tan \theta &=& \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

一般に座標平面上に $OP=r$ 、 $OP$ と $x$ 軸の正の部分とのなす角を $\theta$ とし、その時の点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、 $\theta$ が鋭角のときの三角比は上記のように表される。 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のときの三角比も上記のように定める。ただし $\tan 90^\circ$ は分母が0になるので定義されない。

180°-θの三角比

$\begin{eqnarray*} \sin(180^\circ-\theta) &=& \sin \theta\\ \cos(180^\circ-\theta) &=& -\cos \theta\\ \tan(180^\circ-\theta) &=& -\tan \theta \end{eqnarray*}$

原点 $O$ を中心とする半径1の半円上に2点 $P, P'$ を $y$ 軸に関して対象となるようにとるとき、点 $P$ の座標を $(a, b)$ とすると点 $P'$ の座標は $(-a,b)$ である。また $OP, OP'$ と $x$ 軸の正の部分とのなす角をそれぞれ $\theta, \theta'$ とすると、 $\theta'=180^\circ-\theta$ である。したがって
$\sin \theta = b, \sin(180^\circ-\theta)=b\\ \cos \theta = a, \cos(180^\circ-\theta)=-a\\ \tan\theta = \frac{b}{a}, \tan(180^\circ-\theta)=\frac{b}{-a}=-\frac{b}{a}$

三角比の相互関係

$\begin{eqnarray*} \tan \theta &=& \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1\\ 1+\tan^2 \theta &=& \frac{1}{\cos^2 \theta} \end{eqnarray*}$

三角比と方程式

角度 $\theta$ を三角比を用いた方程式から求める方法について解説。単位円、直線の傾き、三平方の定理、三角比の表を用いるなど。

正弦定理と余弦定理

正弦定理 ( law of sines )

三角形で1辺の長さとその両端の角がわかっているとき、他の2辺の長さを求める。
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin c} = 2R\\ (ただしRは\triangle ABCの外接円の半径)$

$\triangle ABC$ で、頂点 $A,B,C$ に対する辺の長さをそれぞれ $a,b,c$ とかき、 $\angle A,\angle B,\angle C$ の大きさをそれぞれ $A,B,C$ とかくこととする。

外接円 ( circumscribed circle )
三角形の3つの頂点を通る円を、その三角形の外接円という。

$\triangle ABC$ の外接円の中心を $O$ とする。外接円の弧 $\stackrel{\frown}{BC}$ に着目すると、円周角と中心角の関係から、 $\angle BOC=2A$ である。

外接円の半径を $R$ とする。 $A$ が鋭角、直角、鈍角である場合いずれにおいても
$a=2R\sin A$
が成り立つから
$\frac{a}{\sin A} = 2R$
同様にして
$\frac{b}{\sin A} = 2R\\ \frac{c}{\sin C} = 2R$
であることがわかる。

余弦定理 ( law of cosines )

三角形で2辺の長さとその挟む角がわかっているとき、他の1辺の長さを求める。
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A\\ b^2 = c^2+a^2-2ca\cos B\\ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C$

$A$ が鋭角、あるいは直角の $\triangle ABC$ を考える。頂点 $C$ から辺 $AB$ またはその延長線上に垂線 $CH$ を下ろすと、
$CH=b\sin A, AH=b\cos A$
$B$ が鋭角の時
$BH=AB-AH = c-b\cos A$
$B$ が鈍角の時
$BH=AH-AB = b\cos A-C$

また $A$ が鈍角の場合も
$\begin{eqnarray*} CH&=&b\sin A\\ AH&=&b\cos(180^\circ-A)=-b\cos A\\ BH&=&AB+AH=c+(-b\cos A)\\ &=&c-b\cos A \end{eqnarray*}$

どの場合でも直角三角形BCHに着目すると三平方の定理により $BC^2= CH^2+BH^2$ なので
$\begin{eqnarray*} a^2&=&(b\sin A)^2+(c-b\cos A)^2\\ &=&b^2\sin^2A+c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2A\\ &=&b^2(\sin^2A+\cos^2A)+c^2-2bc\cos A \end{eqnarray*}$
$\sin^2A+cos^2A=1$ なので、
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
$b^2, c^2$ についても同様に余弦定理が得られる。

三角形の決定

三角形で2辺の長さとその間の角がわかっているとき、余弦定理、正弦定理を用いることで残りの辺の長さと角を求める。(問題と解説は略)

図形の計量

図形の面積

三角形の面積
$S=\frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

空間図形の計量

正四面体の断面に関する計量、正四面体の体積の計量について余弦定理を用いて求める。(問題と解説は略)