高校数学 - 微分・積分

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第11回は数学IIの微分・積分です。

なお教科書に、極限値の不定形の話題がなかったので補足しました。また積の微分公式は数IIIに譲ります。

微分・積分の基本的な概念をわかりやすく吸収できるいい単元です。わたしはわりと好きでした。ああでも、このさきに何があるのかつきよみは知る由もなかった… 大学とかで勉強する解析学って一体どうゆうことだよ、なにそれおいしいの? わけわかんないんですよ、ほんとに。結局当時は公式覚えて、まあ使えるところで使うって感じで乗り切り感がすごかったです。

とかいってたらさーばるちゃんに、すっごーい! とか言われそう… いや、解析学はすごいんだけどね、私は中身わかってないんだよね… orz
だからこその復習です!

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教材

• 新編 数学II 平成26年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: [啓林館]
発行日: 2013-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-04563-0
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第5章 微分と積分
第1節 微分係数と導関数
1. 平均変化率と微分係数
2. 導関数
3. 接線の方程式
第2節 導関数の応用
1. 関数の値の増加・減少
2. 方程式・不等式への応用
第3節 積分
1. 不定積分
2. 定積分
3. 面積と定積分

微分と積分

微分係数と導関数

平均変化率と微分係数

• 平均変化率 ( mean rate of change )

一般に関数$x=f(x)$において、$x$の値が$a$から$b$まで変わるとき、$x$の値の変化$b-a$に対する$y$の値の変化$f(b)-f(a)$の割合を、$x$の値が$a$から$b$まで変わるときの$f(x)$の平均変化率という。
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

• 極限値 ( limit )

関数$f(x)$において$x$が$a$と異なる値を取りながら限りなく$a$に近づくとき、$f(x)$が一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば、$\alpha$を$x$が$a$に近づくときの$f(x)$の極限値といい、下記のように書く。
$$\begin{align*} &x\rightarrow aのときf(x)\rightarrow \alpha\\ &\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\alpha \end{align*}$$

• 極限値の性質

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha, \ \lim_{x\to a}g(x)=\beta$とし、$k$を定数とすると

$$\begin{align*} &\lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha\\ &\lim_{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=\alpha+\beta\\ &\lim_{x\to a}\{f(x)g(x)\}=\alpha\beta\\ &\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x}=\frac{\alpha}{\beta} \ (\beta\neq0) &\end{align*}$$

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k \ (一定)かつ\lim_{x\to a}g(x)=0 \ \implies \lim_{x\to a}f(x)=0$$

---

$$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x) \right\}=k\cdot 0=0$$

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• 不定形 ( limit of indeterminate forms )

$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$において、$\displaystyle\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to a}{g(x)}=0$のとき、これを不定形といい、便宜的に$\frac{0}{0}$と書くことがある。$f(x),g(x)$がともに整式の場合、分母・分子を因数分解し、$(x-a)$で約分することにより求めることができる。

• 微分係数 ( differential coefficient )

一般に$x$の値が$a$から$a+h$まで変わるときの関数$y=f(x)$の平均変化率で、$h$が$0$でない値を取りながら、$0$に限りなく近づくとき、この平均変化率がある決まった値に近づくならば、その極限値を関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数 または 変化率といい、$f'(a)$で表す。微分係数は下記のように書く。
$$\begin{align*} &f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ &f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ \end{align*}$$

導関数

• 導関数 ( derivative, a derivative function )

一般に関数$y=f(x)$において$x$の値$a$に微分係数$f'(a)$を対応させる関数$f'(x)$を考え、これを$f(x)$の導関数といい、下記のように書く。
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
導関数の式において$x$の値の変化$h$を$x$の増分といい、$y$の値の変化$f(x+h)-f(x)$を$y$の増分という。

導関数は下記のようにも表される。
$$f'(x)\\ \frac{ dy }{ dx }\\ \frac{ d }{ dx }f(x)$$

$x$の関数$f(x)$からその導関数$f'(x)$を求めることを、関数$f(x)$を$x$について微分する、あるいは単に微分するという。

• $x^n$の導関数
  $$nが自然数のとき(x^n)'=nx^{(n-1)}\\ 定数cについて(c)'=0$$

• 導関数の計算

一般に下記等式が成り立つ。
$$\begin{align*} &\{kf(x)\}'=kf'(x)\\ &\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)\\ &\{f(x)-g(x)\}'=f'(x)-g'(x)\\ \end{align*}$$

• 微分係数の計算

関数$f(x)$の導関数$f'(x)$がわかると$x=a$における$f(x)$の微分係数$f'(a)$は$f'(x)$に$x=a$を代入して微分係数を求められる。

接線の方程式

• 接線 ( tangent )・接点 ( point of tangency )

関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f('a)$はこの関数のグラフ上の点$(a, f(a))$における接線の傾きである。

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関数$y=f(x)$のグラフのことを曲線$y=f(x)$という。曲線$y=f(x)$上に、$x$座標がそれぞれ$a,+a+h$となる$2$点$A,B$をとると$x$の値が$a$から$a+h$まで変わるときの$f(x)$の平均変化率
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
は直線$AB$の傾きを表す。
ここで$h$を$0$に限りなく近づけると、点$B$は曲線$y=f(x)$上を動きながら点$A$に近づき、直線$AB$はある直線$AT$に近づく。
この直線$AT$のことを点$A$における曲線$y=f(x)$の接線といい、点$A$をこの接線の接点という。
また直線$AB$の傾きは$\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$で$h$を$0$に近づけると$f'(a)$に近づくので、接線$AT$の傾きは$f'(a)$である。

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• 接線の方程式

曲線$y=f(x)$上の点$(a, f(a))$における接線の方程式は
$$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$
点$(a,f(a))$における法線の方程式は
$$y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$$

導関数の応用

関数の値の増加・減少

• 関数の値の増加・減少

関数$y=f(x)$の値の増減は導関数を用いて次のように判別できる。
$$\begin{align*} &f'(x)\gt0となるxの値の範囲で増加する\\ &f'(x)\lt0となるxの値の範囲で増加する\\ &f'(x)=0となるxの値の範囲で一定 \end{align*}$$

• 増減表 ( first derivative test table )

例)
関数$y=x^3-3x$の値の増減を調べる。

導関数$y'=3x^2-3$は
$$\begin{align*} y'&=3 x^2 -3\\ &=3(x+1)(x-1) \end{align*}$$
$y'=0$となる$x$の値を求め、$y'$の符号の変化を調べて$y$の値の増減を表にする。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline y & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow \end{array}$$

これより$y$の値は
$$\begin{align*} &x\le -1, 1\le xのとき増加\\ &-1 \le x \le 1のとき減少 \end{align*}$$

注) 上記関数は$x\lt-1$の範囲で増加しているが、$x=-1$も含めて$x\le -1$の範囲で増加しているという。減少する範囲についても同様。

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• 極大 ( maximal, local maximum )、極小 ( minimal, local minimum )、極値 ( extremum )

関数$f(x)$の値が$x=a$を境目として増加から減少に変わるとき、$f(x)$は$x=a$で極大になるといい、その$f(a)$を極大値という。
すなわち、f$'(x)$の符号が正から負に変わるとき、極大になる。

関数$f(x)$の値が$x=a$を境目として減少から増加に変わるとき、$f(x)$は$x=a$で極小になるといい、その$f(a)$を極小値という。
すなわち、$f'(x)$の符号が負から正に変わるとき、極小になる。

極大値と極小値を合わせて極値という。

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• 最大 ( maximum ), 最小 ( minimum )

ある範囲における関数$f(x)$の最大値、最小値を調べるには、範囲内の極値と区間の両端での値$f(a), f(b)$を求め、比較する。

方程式・不等式への応用

• 方程式の実数解の個数

1) 方程式$f(x)=0$の実数解は、$y=f(x)$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標である。
2) 方程式$f(x)=k$の実数解は、$y=f(x)$のグラフと直線$y=k$の共有点の$x$座標である。

$f(x)$のグラフを増減表を用いて書き、x軸あるいは直線との交点を求めることで方程式の実数解の個数を求めることができる。

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• 不等式の証明

$f(x)\gt g(x)$の証明は$f(x)-g(x)=h(x)$とおき、$h(x)$の増減を調べ、常に$h(x)\gt0$が成り立つ、すなわち$h(x)$の最小値が正であることを示す。

積分

不定積分

• 原始関数 ( antiderivative, primitive function )

関数$F(x)$に対して$f(x)$を導関数に持つ関数$F(x)$、すなわち
$$F'(x)=f(x)$$
であるような関数$F(x)$を$f(x)$の原始関数という。

• 不定積分 ( antiderivative, primitive integral or indefinite integral )

関数$f(x)$の原始関数の$1$つを$F(x)$とすると、$f(x)$の任意の原始関数は
$$F(x)+C \ ただしCは任意の定数$$
とかける。これを$f(x)$の不定積分といい
$$\int f(x)dx$$
で表す。

$f(x)$の不定積分を求めることを$f(x)$を積分するといい、定数$C$を積分定数という。

$F'(x)=f(x)$のとき
$$\int f(x)dx = F(x)+C \ (Cは積分定数)$$
$\displaystyle \int 1dx$は$\displaystyle \int dx$と表記する。

• $x^n$の不定積分

$n$が$0$または自然数のとき
$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

• 定数倍、和、差の不定積分
  $$\begin{align*} &\int kf(x)dx = k \int f(x)dx\\ &\int \{f(x)+g(x)\}dx = \int f(x)dx+\int g(x)dx\\ &\int \{f(x)-g(x)\}dx = \int f(x)dx-\int g(x)dx \end{align*}$$

定積分

• 定積分 ( definite integral )

一般に関数$f(x)$の原始関数の$1$つを$F(x)$とすると、$F(b)-F(a)$は原始関数の選び方に関係なく決まる。この$F(b)-F(a)$を$f(x)$の$a$から$b$までの定積分といい、
$$\int_a^b f(x)dx$$
と表す。$a$をこの定積分の下端、$b$を上端という。
$$\int_a^b f(x)dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b)-F(a)$$

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• 定積分の性質

$$\begin{align*} &\int_a^b kf(x)dx = k \int_a^b f(x)dx\\ &\int_a^b \{f(x)+g(x)\}dx = \int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx\\ &\int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx = \int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx \end{align*}$$
$$\begin{align*} &\int_a^a f(x)dx = 0\\ &\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx\\ &\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx\\ \end{align*}$$

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• 微分と定積分

$a$が定数のとき
$$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$$

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一般に$F(t)$が$f(t)$の原始関数のとき
$$\int_a^x f(t)dt=\left[ F(t) \right]_a^x = F(x)- F(a)$$
だから、
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=\frac{d}{dx}\left\{ F(x)-F(a) \right\} = F'(x)=f(x)$$

面積と定積分

• 面積と定積分

曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は
$1) \ a \le x \le b$において、$f(x)\le0$のとき
$$S=\int_a^b f(x)dx$$
$2) \ a \le x \le b$において、$f(x)\ge0$のとき
$$S=-\int_a^b f(x)dx$$

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$a \le x \le b$の範囲の$x$の値に対して$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S(x)$とする。
$h\gt0$のとき、$x$の値が$x$から$x+h$まで変化したときの$S(x)$の変化量$S(x+h)-S(x)$は、図の色部分の面積になる。

このとき、この部分の面積と横の長さが$h$、縦の長さが$f(t)$である長方形の面積が等しくなるよう$t$を$x$と$x+h$の間に取ると
$$S(x+h)-S(x)=h\times f(t)$$
より
$$\frac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(t)$$
ここで$h\rightarrow 0$とすると$t\rightarrow x$であるから$f(t)\rightarrow f(x)$となり
$$\lim_{h\to 0}\frac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(x)$$
すなわち
$$S'(x) = f(x)$$
このことは$h\gt0$のときも成り立つ。よって$S(x)$は$f(x)$の原始関数である。したがって$S(a)=0, S(b)=S$であるから
$$\int_a^b f(x) dx= \left[ S(x) \right]_a^b = S(b)-S(a)=S(b)=S$$
以上より$a \le x \le b$の範囲で$f(x) \ge0$のとき、曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a, x=b$とで囲まれた部分の面積$S$は、定積分
$$\int_a^b f(x)dx$$
と等しい。

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• $2$曲線間の面積

$2$曲線$y=f(x), y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$a \le x \le b$において、$f(x)\le g(x)$のとき
$$S =\int_a^b\left\{ f(x)-g(x) \right\}$$

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$a \le x \le b$の範囲で、$f(x) \ge g(x) \ge 0$の場合、$y=f(x)$と$y=g(x)$で挟まれた範囲の面積$S$は
$$S=\int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx\\ =\int_a^b \left\{ f(x)-g(x) \right\}dx$$
つぎに$g(x)\ge0$でない場合を考える。$2$曲線$y=f(x),y=g(x)$は$y$軸方向にkだけ移動すると
$$y=f(x)+k, \ y=g(x)+k$$
となる。ここで$k$を十分大きく取ると$a \le x \le b$の範囲で$g(x)+k\ge0$とできる。よって求める面積$S$は
$$S=\int_a^b \left\{ (f(x)+k)-(g(x)+k) \right\}dx=\int_a^b\left\{ f(x)-g(x)\right\} dx$$

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参考サイト

• 不定形の極限値(limit of indeterminate forms)
  不定形の扱いについて定理を説明されています。

• 微分法 - Wikipedia

• 積分法 - Wikipedia
  まさか微分の英語があんなにたくさんあるとは知らなかったです。 微分や積分の黎明期からずいぶん発展したので、色んな言葉ができてきたんだろうな、と推測します。