高校数学 - ベクトル - きのむくままに

久しぶりに数学を復習しようと思い立ちました。この記事はそのメモです。またLatexで数式を書くための練習です。第3回はベクトルです。

ベクトルの定義、次元の拡張など未来に備えた卵のような構成です。またベクトル方程式では今まで直交座標系で関数を用いて表現していたことをベクトルでも表現でき、それらは等価であることを学んでいます。この先の学習が楽しみです。ところでベクトルの範囲のLatexのタイプ量、多いですね。疲れます(笑)。

2/20 学習完了です

教材

新編数学B 平成26年度用

編者: 高橋陽一郎
出版社: 啓林館
発行日: 2013-12-10
ISBN: ISBN978-4-402-04576-6
価格: C4341 ￥00000E

学習範囲 (目次より)
第2章平面上のベクトル
第1節ベクトルとその演算
1. ベクトル
2. ベクトルの和・差・実数倍
3. ベクトルの成分
4. ベクトルの内積

第2節ベクトルと図形
1. 位置ベクトル
2. 位置ベクトルと図形
3. ベクトル方程式

第3章空間座標とベクトル
第1節空間のベクトル
1. 空間の点の座標
2. 空間のベクトル
3. 空間のベクトルの内積
4. 位置ベクトル

平面上のベクトル

ベクトルとその演算

ベクトル

平行移動
図形を一定の方向に向きを変えずにずらして、その図形を移すことを平行移動という。
始点
線分の始まりの点。
終点
線分の終わりの点。
有向線分
向きを考えた線分。
ベクトル
向きと大きさだけを考えてその位置は問題にしないとき、これをベクトルという。
有向線分ABであらわされたベクトルという。
$\overrightarrow {AB}$
等しい
2つのベクトル $\overrightarrow a$ 、 $\overrightarrow b$ が等しいとは、 $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ の向きが同じで、大きさが等しいことである。これを以下の式で表す。
$\overrightarrow a = \overrightarrow b$
平行四辺形ABCDがあるとき、 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ である。
ベクトルの大きさ
ベクトルの大きさを以下の式で表す。
$\mid \overrightarrow a \mid$
$\overrightarrow a = \overrightarrow{AB}$ のとき、 $\mid \overrightarrow a \mid$ は線分 $AB$ の長さであり、 $\mid \overrightarrow{AB} \mid$ ともかく。
単位ベクトル
大きさが1であるベクトルを単位ベクトルという。

ベクトルの和・差・実数倍

ベクトルの和

和
2つのベクトル $\overrightarrow a$ 、 $\overrightarrow b$ が与えられたとき、点Aを定め、
$\overrightarrow {AB}=\overrightarrow a$ となる点 $B$
$\overrightarrow {BC}=\overrightarrow b$ となる点 $C$
をとると、 $\overrightarrow {AC}$ であらわされるベクトルが決まる。これを $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ の和といい、 $\overrightarrow a+ \overrightarrow b$ と書く。すなわち以下の関係が成り立つ。
$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}$
可換則
$\overrightarrow a+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
$(\overrightarrow a + \overrightarrow b) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + (\overrightarrow b + \overrightarrow c)$
零ベクトル
$\overrightarrow {AB}$ は始点 $A$ と終点 $B$ が一致する場合にもベクトルと考え、その大きさは0とし、これを零ベクトルといい、 $\overrightarrow 0$ で表す。零ベクトルの向きはどのように考えてもよいものとする。

ベクトルの差

差
2つのベクトル $\overrightarrow a$ 、 $\overrightarrow b$ に対して、点 $O$ を定め、 $\overrightarrow {BA}$ であわらされるベクトルを $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ の差といい、
$\overrightarrow a-\overrightarrow b$
とかく。また以下の関係が成り立つ。
$\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA}$
逆ベクトル
$\overrightarrow 0$ でないベクトル $\overrightarrow a$ に対して、 $\overrightarrow a$ と向きが反対で大きさが等しいベクトルを $\overrightarrow a$ の逆ベクトルといういい、 $-\overrightarrow a$ とかく。
逆ベクトルについては以下が成り立つ。
$\overrightarrow a +(- \overrightarrow a) = 0\\ \overrightarrow a +(-\overrightarrow b) = \overrightarrow a - \overrightarrow b$

ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍
一般の $\overrightarrow 0$ でないベクトル $\overrightarrow a$ と正の実数 $k$ に対してベクトルの実数倍 $k\overrightarrow a$ を次のように定める。

$k\overrightarrow a$ は $\overrightarrow a$ と向きが同じで、大きさが $\mid \overrightarrow a \mid$ の $k$ 倍のベクトル
$(-k)\overrightarrow a$ は $\overrightarrow a$ と向きが反対で、大きさが $\mid \overrightarrow a \mid$ の $k$ 倍のベクトル

$k=0$ の時は $k\overrightarrow a = \overrightarrow 0$ 、また $\overrightarrow a = \overrightarrow 0$ の場合は任意の実数 $k$ に対して $k\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$ と定める。
特に $1\overrightarrow a = \overrightarrow a$ である。また、 $(-k)\overrightarrow a = -k\overrightarrow a$ となる。
ベクトルの和および実数倍の計算
$k, l$ を実数とするとき以下の法則が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} k(l\overrightarrow a) &=& (kl)\overrightarrow a\\ (k+l)\overrightarrow a &=& k\overrightarrow a + l\overrightarrow a\\ k(\overrightarrow a + \overrightarrow b) &=& k \overrightarrow a + k \overrightarrow b \end{eqnarray*}$

ベクトルの平行

平行
$\overrightarrow 0$ でない2つのベクトル $\overrightarrow a$ 、 $\overrightarrow b$ が同じ向きか、または反対向きの時、
$\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ は平行であるといい、下記で表す。
$\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b または\overrightarrow a /\!/ \overrightarrow b$
$\overrightarrow a \neq \overrightarrow b, \overrightarrow b \neq \overrightarrow 0$ のとき、 $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \iff \overrightarrow b = k \overrightarrow a$ となる実数kがある。

ベクトルの分解

ある一つのベクトルをほかの2つのベクトルで表現する。

$\overrightarrow p = m \overrightarrow a + n \overrightarrow b$
ここで、 $m$ と $n$ は $\overrightarrow p$ に対して一通りに定まる実数である。

$\overrightarrow 0$ でなく平行でない2つのベクトル $\overrightarrow a$ 、 $\overrightarrow b$ に対して次のことが成り立つ。
$\begin{eqnarray*} m \overrightarrow a + n \overrightarrow b = m' \overrightarrow a + n'\overrightarrow b &\iff& m=m', n=n'\\ とくにm\overrightarrow a+ n \overrightarrow b=\overrightarrow 0 &\iff& m=n=0 \end{eqnarray*}$

平面上に $\overrightarrow 0$ でなく平行でない2つのベクトル $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ があるとき、1点 $O$ を決めて、 $\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}, \overrightarrow b=\overrightarrow{OB}$ となるように点 $A, B$ をとる。
この平面上のベクトル $\overrightarrow p$ に対し、 $\overrightarrow p=\overrightarrow{OP}$ となる点 $P$ をとり、 $P$ を通って直線 $OB, OA$ に平行な直線が、直線 $OA, OB$ と交わる点をそれぞれ $Q, R$ とすると、
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}$
である。 $Q,R$ はそれぞれ直線 $OA, OB$ 上にあるから
$\overrightarrow{OQ}=m\overrightarrow a, \overrightarrow{OR}=n\overrightarrow b$
の形でかける。よって $\overrightarrow p$ は $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ を使って次のように表される。
$\overrightarrow p=m\overrightarrow a+n\overrightarrow b$
ここで $m, n$ は $\overrightarrow p$ に対して一通りに定まる実数である。このことから $\overrightarrow 0$ でなく平行でない2つのベクトル $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ に対して次のことが成り立つ。
$\begin{eqnarray*} m\overrightarrow a+n\overrightarrow b=m'\overrightarrow a + n'\overrightarrow b &\iff& m=m', n=n'\\ m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 &\iff& m=n=0 \end{eqnarray*}$

ベクトルの成分

基本ベクトル
平面上のベクトルを次の形
$\overrightarrow a = a_1\overrightarrow {e_1}+a_2 \overrightarrow {e_2}$
で表すとき、この $\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}$ を単位ベクトルという。
成分
$a_1,a_2$ を $\overrightarrow a$ の成分といい、 $a_1$ を $\overrightarrow a$ の $x$ 成分、 $a_2$ を $\overrightarrow a$ の $y$ 成分という。
$\overrightarrow a$ はその成分によって決まるから次のように表す。
$\overrightarrow a = (a_1, a_2)$
なお、基本ベクトル、零ベクトルは成分で表すと以下となる。
$\overrightarrow e_1 = (1,0), \overrightarrow e_2=(0,1), \overrightarrow 0=(0,0)$
等価
2つのベクトル $\overrightarrow a=(a_1,a_2), \overrightarrow b=(b_1,b_2)$ が等しくなるのは $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ の $x$ 成分、 $y$ 成分がそれぞれ等しい場合であるので、
$\overrightarrow a=\overrightarrow b \iff a_1=b_1, a_2=b_2$
である。
ベクトルの大きさ
$\overrightarrow a=(a_1,a_2)$ のとき
$|\overrightarrow a|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$

$\overrightarrow a=(a_1,a_2)$ の大きさは $\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}$ とあわらした時の線分 $OA$ の長さと一致する。三平方の定理より、 $\overrightarrow a$ の大きさ $|a|$ を求めることができる。

和・差・実数倍の成分

$\begin{eqnarray*} (a_1,a_2)+(b_1,b_2)&=&(a_1+b_1, a_2+b_2)\\ (a_1,a_2)-(b_1,b_2)&=&(a_1-b_1, a_2-b_2)\\ k(a_1,a_2)&=&(ka_1,ka_2) \end{eqnarray*}$
2点 $A(a_1, a_2),B(b_1,b_2)$ に対して
$\overrightarrow{OA}=(a_1,a_2)\\ \overrightarrow{OB}=(b_1,b_2)$
であるから、
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ &=&(b_1,b_2)-(a_1,a_2)\\ &=&(b_1-a_1,b_2-a_2) \end{eqnarray*}$

ベクトルの内積

なす角
$\overrightarrow 0$ でない2つのベクトル $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ に対して $\overrightarrow a=\overrightarrow{OA},\overrightarrow b=\overrightarrow{OB}$ とするとき、 $\angle AOB$ の大きさ $\theta$ は $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ によって決まる。これを $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ のなす角という。ただし $0^\circ\le\theta\le180^\circ$ とする。
内積
ベクトル $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ のなす角が $\theta$ のとき以下を内積と定義する。
$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos\theta$
$\overrightarrow a=\overrightarrow 0$ または $\overrightarrow b=\overrightarrow 0$ のときは $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$ とする。
$\overrightarrow a=\overrightarrow b$ のときはなす角 $\theta$ は $0^\circ$ で、 $\cos\theta=\cos 0^\circ=1$ であるから
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow a\cdot\overrightarrow a&=&|\overrightarrow a|^2\\ |\overrightarrow a|&=&\sqrt{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a} \end{eqnarray*}$
垂直
$\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ のなす角が $90^\circ$ のとき $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ は垂直であるといい、 $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b$ で表す。 $\cos90^\circ=0$ より下記が成り立つ。
$\overrightarrow a\neq\overrightarrow 0, \overrightarrow b\neq\overrightarrow 0のとき\\ \overrightarrow a\perp\overrightarrow b \iff \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$

内積と成分

内積と成分
$\overrightarrow a=(a_1,a_2),\overrightarrow b=(b_1,b_2)のとき\\ \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=a_1 b_1+a_2 b_2$

平面上の2つのベクトル $\overrightarrow a=(a_1,a_2), \overrightarrow b=(b_1,b_2)$ について内積 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b$ を成分で表す。
$\overrightarrow a\neq \overrightarrow 0,\overrightarrow b\neq\overrightarrow 0$ として $\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}, \overrightarrow b=\overrightarrow{OB},\angle AOB=\theta$ とする。 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると
$\begin{eqnarray*} AB^2=OA^2+OB^2-2\times OA\times OB \cos\theta \tag{1} \end{eqnarray*}$
であり、 $\theta$ が $0^\circ$ や $180^\circ$ のときも成り立つ。ここで $AB^2=\mid \overrightarrow b-\overrightarrow a\mid^2, OA^2=\mid\overrightarrow a\mid^2, OB^2=\mid\overrightarrow b\mid^2$ で
$\begin{eqnarray*} OA\times OB\times \cos\theta&=&\mid\overrightarrow a\mid\mid\overrightarrow b\mid\cos\theta\\ &=&\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b \end{eqnarray*}$
であるから、(1)は次のようになる。
$\mid\overrightarrow b-\overrightarrow a\mid^2=\mid\overrightarrow a\mid^2+\mid\overrightarrow b\mid^2-2(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b)$
すなわち
$2(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b)=\mid\overrightarrow a\mid^2+\mid\overrightarrow b\mid^2-\mid\overrightarrow b-\overrightarrow a\mid^2 \tag{2}$
であり、ここで $\overrightarrow b-\overrightarrow a=(b_1-a_1, b_2-a_2)$ だから(2)の右辺を成分であらわすと
$\begin{eqnarray*} 2(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b)&=&({a_1}^2+{a_2}^2)+({b_1}^2+{b_2}^2)-\{(b_1-a_1)^2+(b_2-a2)^2\}\\ &=&2(a_1 b_1+a_2 b_2) \end{eqnarray*}$
である。

二つのベクトルのなす角の計算

$\overrightarrow 0$ でない2つのベクトル $\overrightarrow a=(a_1,a_2)$ と $\overrightarrow b=(b_1,b_2)$ のなす角 $\theta$ とすると内積の定義から次が成り立つ。

$\cos\theta = \frac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}= \frac{a_1 b_1+a_2 b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}$

内積と計算法則

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b&=&\overrightarrow b\cdot\overrightarrow a\\ \overrightarrow a\cdot(\overrightarrow b+\overrightarrow c)&=&\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot\overrightarrow c\\ \overrightarrow a\cdot(\overrightarrow b-\overrightarrow c)&=&\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b-\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\\ (k\overrightarrow a)\cdot\overrightarrow b&=&\overrightarrow a\cdot(k\overrightarrow b)=k(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b) \end{eqnarray*}$
また上記より以下が導かれる。
$\begin{eqnarray*} (\overrightarrow b+\overrightarrow c)\cdot\overrightarrow a&=&\overrightarrow b\cdot\overrightarrow a+\overrightarrow c\cdot\overrightarrow a\\ (\overrightarrow b-\overrightarrow c)\cdot\overrightarrow a&=&\overrightarrow b\cdot\overrightarrow a-\overrightarrow c\cdot\overrightarrow a \end{eqnarray*}$

ベクトルと図形

位置ベクトル

基点、位置ベクトル

平面上で点 $O$ を固定しておくと、この平面上の点 $A$ の位置は $\overrightarrow OA=\overrightarrow a$ となるベクトル $\overrightarrow a$ で決まる。この $\overrightarrow a$ の事を $O$ を基点とする点 $A$ のいちベクトルといい、 $\boldsymbol A (\overrightarrow a)$ で表す。

また2点 $\boldsymbol A(\overrightarrow a), \boldsymbol B(\overrightarrow b)$ が与えられた時、以下が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ &=&\overrightarrow b - \overrightarrow a \end{eqnarray*}$

分点の位置ベクトル

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点

2点 $A(\overrightarrow a), B(\overrightarrow b)$ に対して、線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の位置ベクトルは
$\frac{n\overrightarrow a + m \overrightarrow b}{m+n}$
特に線分 $AB$ の中点の位置ベクトルは
$\frac{\overrightarrow a+\overrightarrow b}{2}$

線分 $AB$ を $AP:PB=m:n$ に内分する点 $P$ を考える。
$\overrightarrow{AP}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow p - \overrightarrow a, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow b - \overrightarrow a$ だから
$\overrightarrow p - \overrightarrow a = \frac{m}{m+n}(\overrightarrow b - \overrightarrow a)$
よって
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow p &=& \overrightarrow a + \frac {m}{m+n}(\overrightarrow b - \overrightarrow a)\\ &=& \frac{n\overrightarrow a+m\overrightarrow b}{m+n} \end{eqnarray*}$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点

$\overrightarrow q = \frac{-n\overrightarrow a+m\overrightarrow b}{m-n}$

位置ベクトルと図形

三角形の重心

三角形において、頂点から対辺の中点への線分の交点を重心という。
$\overrightarrow g=\frac{\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c}{3}$

三点 $A(\overrightarrow a), B(\overrightarrow b), C(\overrightarrow c)$ を頂点とする $\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M(\overrightarrow m)$ とする。 $AM$ を $2:1$ に内分する点を $G(g)$ とする。点 $M$ は $BC$ の中点であることから
$\overrightarrow m=\frac{\overrightarrow b+\overrightarrow c}{2}$
点 $G$ は線分 $AM$ を $2:1$ に内分するので
$\overrightarrow g=\frac{\overrightarrow a+2\overrightarrow m}{2+1}=\frac{\overrightarrow a + 2 \times \frac{\overrightarrow b + \overrightarrow c}{2}}{3}=\frac{\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c}{3}$

一直線上にある3点

点 $P$ が直線 $AB$ 上にある $\iff \overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ がある。

ベクトル方程式

ベクトルに平行な直線

定点 $A(\overrightarrow a)$ を通り、 $\overrightarrow 0$ でないベクトル $\overrightarrow d$ に平行な直線を $g$ とする。点 $P(\overrightarrow p)$ が直線 $g$ 上にあるための条件は、
$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow d$
となる実数 $t$ が存在することである。
$\overrightarrow p - \overrightarrow a=t\overrightarrow d$
であるから、下記のように表現できる。
$\overrightarrow p = \overrightarrow a + t\overrightarrow d$
これを直線 $g$ のベクトル方程式といい、 $\overrightarrow d$ を方向ベクトル、 $t$ を媒介変数という。

2点を通る直線

$2$ 点 $A(\overrightarrow a), B(\overrightarrow b)$ を通る直線 $g$ のベクトル方程式は、下記で表される。
$\overrightarrow p = (1-t)\overrightarrow a + t\overrightarrow b$

先の方向ベクトル $\overrightarrow d$ を $\overrightarrow{AB}$ としたものであるから下記のように導出される。
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow p &=& \overrightarrow a+t\overrightarrow d\\ &=& \overrightarrow a + t\overrightarrow{AB}\\ &=& \overrightarrow a + t(\overrightarrow b -\overrightarrow a)\\ &=& (1-t)\overrightarrow a + t\overrightarrow b \end{eqnarray*}$

また $s=1-t$ とすると次のように表すこともできる。
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow p &=& s\overrightarrow a + t \overrightarrow b\\ s+t&=&1 ( s \ge0, t\ge0 ) \end{eqnarray*}$

ベクトルに垂直な直線

点 $A(\overrightarrow a)$ を通り $\overrightarrow 0$ でないベクトル $\overrightarrow n$ に垂直な直線を $g$ とするとき、以下で表され、 $\overrightarrow n$ を直線 $g$ の法線ベクトルという。
$\overrightarrow n\cdot(\overrightarrow p - \overrightarrow a) = 0$
また点 $P$ の座標を $(x,y)$ 、点 $A$ の座標を $(x_1,y_1)$ 、 $\overrightarrow n=(a,b)$ とすると成分表示で以下となる。
$a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$

点 $P(\overrightarrow p)$ が直線 $g$ 上にあるための条件は $P$ が $A$ と一致する場合も考えて
$\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow n または \overrightarrow{AP}=\overrightarrow 0$
であるから、内積を用いて表現すると
$\overrightarrow n\cdot\overrightarrow {AP} = 0$
$\overrightarrow {AP}=\overrightarrow p-\overrightarrow a$ であるから
$\overrightarrow n\cdot(\overrightarrow p - \overrightarrow a) = 0$

円のベクトル方程式

円は点 $P(\overrightarrow p)$ が点 $C(\overrightarrow c)$ を中心とする半径 $r$ の距離にある点の集合であることから、
$\mid\overrightarrow{CP}\mid=r$
であり、これを位置ベクトルで表すと
$\mid\overrightarrow p - \overrightarrow c\mid=r \tag{1}$
となる。また内積を使って表すと、 $\mid\overrightarrow p-\overrightarrow c\mid^2=r^2$ 、また、 $\mid\overrightarrow p-\overrightarrow c\mid^2=(\overrightarrow p-\overrightarrow c)\cdot(\overrightarrow p-\overrightarrow c)$ だから
$(\overrightarrow p-\overrightarrow c)\cdot(\overrightarrow p-\overrightarrow c)=r^2 \tag{2}$
(1), (2)ともに円のベクトル方程式である。

円の接線のベクトル方程式

定点 $C(\overrightarrow c)$ を中心とする半径 $r$ の円周上の点 $A(\overrightarrow a)$ における円の接線 $l$ のベクトル方程式は以下で表される。
$\begin{eqnarray*} (p-a)\cdot(a-c)&=&0 \tag{1}\\ (p-c)\cdot(a-c)&=&r^2 \tag{2} \end{eqnarray*}$

$l$ 上の点を $P(\overrightarrow p)$ とすると
$\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{CA}または\overrightarrow {AP} = \overrightarrow 0$
だから $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CA} = 0$ より
$(\overrightarrow p-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow a-\overrightarrow c)=0$
したがって、
$\begin{eqnarray*} \{(\overrightarrow p-\overrightarrow c)-(\overrightarrow a-\overrightarrow c)\}\cdot(\overrightarrow a-\overrightarrow c)&=&0\\ (p-c)\cdot(a-c)-\mid a-c\mid^2&=&0 \end{eqnarray*}$
$\mid\overrightarrow a-\overrightarrow c\mid=\mid\overrightarrow {CA}\mid=r$ より
$(\overrightarrow p - \overrightarrow c)\cdot(\overrightarrow a - \overrightarrow c)=r^2$

空間座標とベクトル

空間のベクトル

空間の点の座標

座標平面
一つの平面を取り、その上に直行する座標軸 $x$ 軸、 $y$ 軸をとる。次に $O$ をとおり、この平面に垂直な直線を引き、これを $z$ 軸とする。このとき3つの軸はどの2つに対しても互いに垂直である。

$x$ 軸と $y$ 軸で定まる平面を $xy$ 平面
$y$ 軸と $z$ 軸で定まる平面を $yz$ 平面
$z$ 軸と $x$ 軸で定まる平面を $zx$ 平面

といい、これらを座標平面という。

座標

空間に点 $A$ があるとき、 $A$ を通って各座標平面に平行な3つの平面を作り、それらが $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸と交わる点 $A_1,A_2,A_3$ のそれぞれの軸上での座標を $a_1,a_2,a_3$ とする。このとき3つの実数の組
$(a_1, a_2, a_3)$
を点 $A$ の座標といい、 $a_1$ を $x$ 座標、 $a_2$ を $y$ 座標、 $a_3$ を $z$ 座標という。
点 $A$ の座標が $(a_1, a_2, a_3)$ であるとき $A(a_1, a_2, a_3)$ と表す。

空間のベクトル

平行六面体

2つづつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。
空間のベクトルについても平面上のベクトルと同じように、和、差、実数倍を決めると平面のときと同じ計算法則が成り立つ。

基本ベクトル、成分、 $x$ 成分、 $y$ 成分、 $z$ 成分

空間のベクトルは3つの実数の組を用いて表すことができる。

$O$ を原点とする座標軸を考え、 $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸上の正の向きの単位ベクトルを基本ベクトルといい、それぞれ $\overrightarrow {OE_1}=\overrightarrow {e_1}, \overrightarrow {OE_2}=\overrightarrow {e_2}, \overrightarrow {OE_3}=\overrightarrow {e_3}$ とする。
与えられたベクトル $\overrightarrow a$ に対して $\overrightarrow {OA}=\overrightarrow a$ となる点 $A$ の座標を $(a_1,a_2,a_3)$ とすると、
$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {OA_1}+\overrightarrow {OA_2}+\overrightarrow {OA_3}\\ \overrightarrow {OA_1}=a_1\overrightarrow {OE_1}=a_1\overrightarrow {e_1}\\ \overrightarrow {OA_2}=a_2\overrightarrow {OE_2}=a_2\overrightarrow {e_2}\\ \overrightarrow {OA_3}=a_3\overrightarrow {OE_3}=a_3\overrightarrow {e_3}$
である。よってベクトル $\overrightarrow a$ は以下のように表せる。
$\overrightarrow a=a_1\overrightarrow {e_1}+a_2\overrightarrow {e_2}+a_3\overrightarrow {e_3}$
この $a_1,a_2,a_3$ は $\overrightarrow a$ に対してただ一通りに定まる実数である。この式 $\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2},\overrightarrow {e_3}$ の3方向への $\overrightarrow a$ の分解という。
また、 $a_1,a_2,a_3$ を $\overrightarrow a$ の成分といい、 $a_1$ を $x$ 成分、 $a_2$ を $y$ 成分、 $a_3$ を $z$ 成分という。 $\overrightarrow a$ は成分を用いて次のように表される。
$\overrightarrow a=(a_1,a_2,a_3)$

2つのベクトル $\overrightarrow a=(a_1,a_2,a_3), \overrightarrow b=(b_1,b_2,b_3)$ が等しくなるのは、その対応する成分が、それぞれ等しくなる場合である。
$\overrightarrow a=\overrightarrow b \iff a_1=b_1, a_2=b_2, a_3=b_3$

ベクトル $\overrightarrow a=(a_1,a_2,a_3)$ の大きさは、 $\mid\overrightarrow a\mid$ であり、線分 $OA$ の長さに等しいので、
$\mid\overrightarrow a\mid=\mid\overrightarrow {OA}\mid=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}$
である。

空間ベクトルの和、差、実数倍の成分

$\begin{eqnarray*} (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)&=&(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\\ (a_1,a_2,a_3)-(b_1,b_2,b_3)&=&(a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)\\ k(a_1,a_2,a_3)&=&(ka_1,ka_2,ka_3) \end{eqnarray*}$

空間ベクトルの平行

$\overrightarrow 0$ でない2つのベクトル $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ が平行になる条件は、平面の場合と同様に
$\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \iff \overrightarrow b=k\overrightarrow aとなる実数がある$
ことである。

$\overrightarrow {AB}$ の成分と大きさ

2点 $A(a_1,a_2,a_3), B(b_1,b_2,b_3)$ に対して
$\overrightarrow {AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)\\ \mid\overrightarrow {AB}\mid=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$

空間のベクトルの内積

内積の定義

空間において $\overrightarrow 0$ でない2つのベクトル $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ の内積 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b$ を次の式で定義する。
$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=\mid\overrightarrow a\mid\mid\overrightarrow b\mid\cos\theta\\ ただし0^\circ \le \theta \le180^\circ\\ \overrightarrow a=\overrightarrow 0または\overrightarrow b=\overrightarrow 0のときは\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0とする$

内積と成分

$\overrightarrow a=(a_1,a_2,a_3), \overrightarrow b=(b_1,b_2,b_3)$ のとき
$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

2つのベクトルのなす角

$\overrightarrow 0$ でない2つのベクトル $\overrightarrow a=(a_1,a_2,a_3), \overrightarrow b=(b_1,b_2,b_3)$ のなす角を $\theta$ として以下が成り立つ。
$\cos=\frac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b}{\mid\overrightarrow a\mid\mid\overrightarrow b\mid}= \frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}}$

位置ベクトル

位置ベクトルの定義

空間において基点 $O$ を定めておくと、この空間での点 $A$ の位置は $\overrightarrow {OA}=\overrightarrow a$ となるベクトル $\overrightarrow a$ で決まる。
この $\overrightarrow a$ を点 $O$ を基点とする点 $A$ の位置ベクトルといい、点 $A$ を $A(\overrightarrow a)$ で表す。

2点 $A(\overrightarrow a),B(\overrightarrow b)$ に対して次のことが成り立つ。
$\overrightarrow {AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a \\$
線分 $AB$ を
$m:nに内分する点の位置ベクトルは\frac{n\overrightarrow a+m\overrightarrow b}{m+n}\\ m:nに外分する点の位置ベクトルは\frac{-n\overrightarrow a+m\overrightarrow b}{m-n}\\ 特に線分ABの中点の位置ベクトルは\frac{\overrightarrow a+\overrightarrow b}{2}\\$
3点 $A(\overrightarrow a),B(\overrightarrow b),C(\overrightarrow c)$ に対する $\triangle ABC$ の重心の位置ベクトルは
$\frac{\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c}{3}$
3点 $A$ , $B$ , $P$ が一直線上にある条件は実数 $k$ を用いて
$\overrightarrow {AP}=k\overrightarrow {AB}$
とかける。

平面上の点の位置ベクトル

一直線上にない3点 $A,B,C$ を通る平面 $\alpha$ 上の任意の点を $P$ として $\overrightarrow {AP}$ を $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}$ を使って以下のように表される。
$\overrightarrow {AP}=s\overrightarrow {AB}+t\overrightarrow {AC}$
この $s,t$ は $\overrightarrow {AP}$ に対してただ一通りに定まる実数である。

球面の方程式

空間上の点 $A$ についてベクトル $\overrightarrow {CA}$ の大きさ $\mid\overrightarrow {CA}\mid$ とは点 $C$ から点 $A$ までの距離である。したがって $r\gt0$ として
$\mid\overrightarrow {CP}\mid=r$
を満たす点 $P$ はある点 $C$ を中心とする半径 $r$ の球面上にある。
$P(x, y, z), C(a, b, c)$ として成分で表すと
$\overrightarrow {CP}=(x-a, y-b, z-c)\\ \mid\overrightarrow {CP}\mid^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\\$
ここで $\mid\overrightarrow {CP}\mid=r$ より $\mid\overrightarrow {CP}\mid^2=r^2$ であるから
$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$